微分積分学入門 No.9 2004.12.15
2.2
置換積分・部分積分（解答）
担当：市原問題 12 次の不定積分を置換積分を用いて求めなさい.
(1)
Z 6x2
x3+ 1 dx x3+ 1 =tと置くと, dt
dx = 3x2. よって,dx= 1 3x2dt 従って,
Z 6x2 x3+ 1 dx=
Z 6x2 t
1 3x2 dt=
Z 2 t dt= 2
Z 1
t dt= 2 log|t|+C= 2 log|x3+ 1|+C
(2) Z
sinxcos2x dx t= cosxと置くと, dt
dx =−sinx. よって,dx= 1
−sinxdt 従って,
Z
sinxcos2x dx= Z
sinx·t2· 1
−sinx dt=− Z
t2 dt=−t3
3 +C=−cos3x 3 +C
(3)
Z 1 + logx
x dx t= logxと置くと, dt
dx = 1
x. よって,dx=x dt 従って,
Z 1 + logx x dx=
Z 1 +t
x ·x dt= Z
1 +t dt=t+t2
2 +C= logx+(logx)2
2 +C
(4) Z
ex(e2x+ 1)dx t=exと置くと, dt
dx =ex. よって,dx= 1 exdt 従って,
Z
ex(e2x+ 1)dx= Z
ex(t2+ 1)· 1 ex dt=
Z
t2+ 1dt= t3
3 +t+C=e3x
3 +ex+C
(5) Z
tanx dx t= cosxと置くと, dt
dx =−sinx. よって,dx= 1
−sinxdt
従って, Z
tanx dx= Z
tanx· 1
−sinx dt=
Z cosx sinx· 1
−sinx dt=− Z 1
cosx dt
=− Z 1
t dt=−log|t|+C=−log|cosx|+C
問題 13 次の不定積分を部分積分を用いて求めなさい. (1)
Z
(2x−1)ex dx= (2x−1)ex− Z
2ex dx= (2x−1)ex−2ex+C = (2x−3)ex+C
(2) Z
(3−x) sinx dx = (3−x)(−cosx)− Z
(−1)·(−cosx) dx
= (x−3) cosx− Z
cosx dx= (x−3) cosx−sinx+C
(3) Z
logx dx =
Z
1×logx dx=x×logx− Z
x× 1 x dx
=xlogx− Z
1 dx=xlogx−x+C
(4) Z
(x2+x+ 1)ex dx = (x2+x+ 1)ex− Z
(2x+ 1)ex dx
= (x2+x+ 1)ex− µ
(2x+ 1)ex− Z
2ex dx
¶
= (x2+x+ 1)ex−(2x+ 1)ex+ Z
2ex dx
= (x2+x+ 1)ex−(2x+ 1)ex+ 2ex+C
= (x2−x+ 2)ex+C
