< 置換積分法 1 >

2007年度 基礎数学ワークブック初級編「数学2」

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< ^{置換積分法} 1 >

Z

f(x)dx=F(x) +C であるとき，F(x)とg(x)の合成関数F¡

g(x)¢の導関数は n

F¡

g(x)¢o⁰

=F⁰¡ g(x)¢

×g⁰(x) = f¡ g(x)¢

×g⁰(x) であった。よって

Z f¡

g(x)¢

g⁰(x)dx=F¡ g(x)¢

+C · · · ① ここでg(x) =u とおくと g⁰(x) = du

dx より

①の左辺= Z

f(u) du dx dx

①の右辺=F(u) +C = Z

f(u)du よって

Z f¡

g(x)¢

g⁰(x)dx= Z

f(u) du dx dx=

Z

f(u)du ¡ただし u=g(x)¢ すなわちxの積分がuの積分になった。これを置換積分という。

例 ^Z cos(3x+ 2)dx を求めたい。u= 3x+ 2 とおく。

du

dx = (3x+ 2)⁰ = 3 より

Z

cos(3x+ 2)dx= 1 3

Z

cos(3x+ 2)×3dx= 1 3

Z

cos(u) du dx dx

= 1 3

Z

cos(u)du= 1

3 sin(u) +C= 1

3 sin(3x+ 2) +C

問 次の不定積分を求めよ。

(1) Z

cos(4x−3)dx (2)

Z

sin(3x+ 4)dx