不定積分の計算1

不定積分の計算

1

1. 次の不定積分を求めよ。

1 x dx a ≠ -1

( )

∫

^{a ( )} ( )2 sin x dx

∫

3 cos x dx

( )

∫

( )4 tan x dx

∫

5 dx

( )

∫

¹_x ( )6 e dx

∫

^x

7 dx ( )

∫

¹

cos x² ( )8

∫

¹ dx

sin x² 9 a dx a > 0, a ≠ 1

( )

∫

^{x ( )} ( )10 log x dx

∫

11 dx ( )

∫

¹

tan x² ( )12

∫

_{tan x}¹ dx

不定積分の計算

1

解答

1. 以下、積分定数を C とする。

1 x dx = + C

( )

∫

^a _{a + 1}^xa+1 ( )2 sin x dx = - cos x + C

∫

3 cos x dx = sin x + C

( )

∫

( )4 tan x dx = - log|cos x| + C

∫

5 dx = log|x| + C

( )

∫

¹_x ( )6 e dx = e + C

∫

^{x x}

7 dx = tan x + C ( )

∫

¹

cos x² ( )8

∫

¹ dx = - + C

sin x²

1 tan x 9 a dx = + C

( )

∫

^x _{log a}^ax ( )10 log x dx = x log x - x + C

∫

11 dx = - - x + C ( )

∫

¹

tan x²

1

tan x ( )12

∫

_{tan x}¹ dx = log|sin x| + C

不定積分の計算

1 No1

導出

1 x ' = nx ⋯⋯ ① とすると、n = 0 のときは明らかに ① は成り⽴たない。n が

( ) ^{n n-1}

 ⾃然数のとき、① が成り⽴つことを⽰す。

 ⼆項定理により x + h = x + C x h + C x h + ⋯ + C h( )^{n n} n 1 n-1 n 2 n-2 2

n v n

        = x + C x h + C xⁿ n 1 n-1 + ⋯ + C h h

n 2 n-2

n v n-2 2

  ∴ x ' =ⁿ lim =

h→0

x + h - x h

( )^{n n} lim

h→0

C x h + C x + ⋯ + C h h h

n 1 n-1

n 2

n-2 n v n-2 2

        = lim C x + C x + ⋯ + C h h = nx

h→0 n 1 n-1

n 2

n-2 n v n-2 n-1

 p が有理数のとき、 x ' = px が成り⽴つことを⽰す。^{p p-1}

 p = n は⾃然数, m は整数 と表され、x = x = xm

n ( ) ^p

m n

1 n

m

 y = x とおくと、 x = y  ゆえに = ny

1

n n dx

dy ^n-1 ∴ x ' = y^{p np} ' = y '^m

         = d y = y ⋅ = my ⋅ = y = x = px

dx ^m d dy ^m

dy

dx ^m-1

1 ny^n-1

m n ^m-n

m n

m-1

n p-1

別証明

 y = x （a は実数）の両辺の⾃然対数をとると log y = a log x^a

 両辺を x で微分して y = a ⋅   よって y' = a ⋅ = ax y

' 1

x

y

x ^a-1

2 = 1 を⽤いて

( ) lim

x→0

sin x x sin x ' =

( ) lim

h→0

sin x + h - sinx h

( )

= lim = cos x + ⋅ = cos x

h→0

2cos x + sin h

h 2

h

2 lim

h→0

h 2

sin^h₂

h 2

3 cos x ' = sin x + = cos x + ⋅ x + = - sin x

( ) ( ) 𝜋

2

' 𝜋

2

𝜋 2

'

4 -log|cos x| ' = - = = tan x

( ) ( ) cos x '

cos x

( ) sin x cos x

5 a > 0, a ≠ 1 のとき ( )

  log x ' =( _a ) lim = log 1 +

𝛥x→0

log x + 𝛥x - log x 𝛥x

a( ) a

𝛥xlim→0

1 𝛥x ^a

𝛥x x

 h = 𝛥xとすると、 log x ' = log 1 + h = log 1 + h = log e =

x ( a ) lim

h→0

1

xh ^a( ) 1 x lim

h→0 a( )

1

h 1

x ^a

1 xlog a

 特に a = e のとき log x ' =    ( ) 1 1 + h = e

x lim

h→0( )

1 h

6 y = a の両辺の⾃然対数をとると log y = x log a

( ) ^x

 両辺を x で微分して = log a  よって y' = a ' = y log a = a log ay'

y ^{x x}

 特に a = e のとき、 （e ' = e^x) ^x

7 tan x ' = = = =

( ) ( ) sin x cos x

' sin x 'cos x - sin x cos x ' cos x

( ) ( )

2

cos x + sin x cos x

2 2

2

1 cos x²

8 = - = - = -

( ) 1 tan x

' tan x ' tan x

( )

2

1 cos x tan x^{2 2}

1 sin x²

9 6 と同じ ( ) ( )

1

11 dx = dx = dx = - 1 dx = - - x + C ( )

∫

¹

tan x²

∫

^{cos x}

sin x

2

2

∫

^{1 - sin x}

sin x

2

2

∫

¹

sin x²

1 tan x

12 log|sin x| ' = = = ( ) ( ) sin x '

sin x

( ) cos x sin x

1 tan x