2. 積分の計算 2.1 置換積分法（解答）

微分積分学

2. 積分の計算 2.1 置換積分法（解答） 担当：市原

問題4 次の不定積分を計算しなさい.

(1)

∫

cosxsin⁷x dx

t= sinxとおくと,t⁰= cosxより,

∫

cosxsin⁷x dx=

∫

t⁷ dt=1

8t⁸+C= 1

8sin⁸x+C (Cは積分定数)

(2)

∫ 1 2 +x² dx

∫ 1

2 +x² dx=

∫ 1 2 · 1

1 + ^x₂² dx=

∫ 1

2 · 1

1 + (√x

2

)2 dx= 1

√2

∫ 1

1 + (√x

2

)2 · 1

√2 dx ここで, t= x

√2 とおくと,t⁰= 1

√2 より,

∫ 1

2 +x² dx= 1

√2

∫ 1

1 +t² dt= 1

√2arctant+C= 1

√2arctan x

√2 +C (Cは積分定数)

問題5 次の定積分を計算しなさい.

(1)

∫ 2 1

x√

4−x² dx

∫ 2 1

x√

4−x² dx=−1 2

∫ 2 1

√

4−x²·(−2x)dx

ここで, t= 4−x²とおくと,t⁰=−2xとなり,

また,xが1から2まで変化するとき,tは3から0まで変化する.

よって,

∫ 2 1

x√

4−x² dx=−1 2

∫ 0 3

√t dt=−1 2

(2 30³² −2

33³² )

=√ 3