定積分の置換積分法

§

7.2

定積分の置換積分法

 実数

a , b

が属すある区間において，関数

ϕ

は微分可能であり，関数

f

は連続で

あるとします． また，実数

p , q

が属すある区間において関数

g

は連続であるとし ます． 変数

x

と

y

とについて

y=ϕ(x)

とします． 更に，

f(x)dx=g(y)dy

で，

x=a

のとき

y=p

，

x=b

のとき

y =q

とします．

f(x)dx=g(y)dy

なので，

定理

7.1

より

Rf(x)dx = R

g(y)dy . x=a

のとき

y=p

，

x=b

のとき

y=q

なので，

hR

f(x)dxi^x=b

x=a =hR

g(y)dyi^y=q

y=p ;

定理

6.8

より，

hR

f(x)dxi^x=b

x=a = Rb

af(x)dx , h

Rg(y)dyi^y=q

y=p = Rq

pg(y)dy ,

故に

Rb

af(x)dx=Rq

pg(y)dy

．

定理（定積分の置換積分法）

実数

a

と

b

とが属すある区間において，関数

ϕ

は微分可能であり，関数

f

は連続であるとする． 更に，実数

p

と

q

とが属すあ る区間において関数

g

は連続であるとする．

y=ϕ(x)

となる変数

x , y

及び各々 の微分

dx , dy

について，

x=a

のとき

y=p, x=b

のとき

y=q , f(x)dx=g(y)dy

ならば

Rb

af(x)dx=Rq

pg(y)dy .

 定積分の置換積分では積分の上端と下端も変わることに注意して下さい．

例題 定積分

Z 4

0

1

(2x+ 1)³dx

を計算する．

〔解説〕

変数

y

を

y= 2x+ 1

とおく．

dy

dx = 2

なので

dx= 1

2dy

． よって

1

(2x+ 1)³dx = 1 y³

1

2dy = 1 2

1 y³dy .

y= 2x+ 1

より，

x= 0

のとき

y= 1

，

x= 4

のとき

y= 9

． 従って，

Z 4 0

1

(2x+ 1)³dx= Z 9

1

1 2

1

y³dy=1 2

R9

1y⁻³dy= 1 2

1

−2y^{−2 9}

1

=−1 4

1 y²

⁹

1

=− 1 4

1 81−1

=20 81 .

不定積分

Z 1

(2x+ 1)³dx

を計算してから微分積分の基本定理を適用しても計算でき る：

Z 1

(2x+ 1)³dx=− 1

4(2x+ 1)²+C

（

C

は積分定数） なので，

Z 4 0

1

(2x+ 1)³dx=

− 1 4(2x+ 1)²

⁴

0

=− 1 4

1 (2x+ 1)²

⁴

0

=− 1 4

1 9²−

1 1²

=20

81 . ^終

問題

7.2.1

定積分

Z 4

2

6

(3y−5)²dy

を計算しなさい．

例題 定積分

Z 5

3

sinπ(y−2)

3 dy

を計算する．

 変数

z

を

z= π(y−2)

3

とおく．

dz

dy = π

3

なので

dy= 3

πdz

． よって

sinπ(y−2)

3 dy = (sinz)3

πdz = 3

πsinz dz . z= π(y−2)

3

より，

y= 3

のとき

z= π

3

，

y= 5

のとき

z=π

． 従って，

Z 5 3

sinπ(y−2) 3 dy=

Z _π

π 3

3

πsinz dz= 3 π

Rπ π 3

sinz dz= 3 π

−coszπ π 3

= 3 π

−cosπ+ cosπ 3

= 3 π

1 +1 2

= 9

2π . ^終

問題

7.2.2

以下の定積分を計算しなさい．

(1) Z 3

0

sinπ(5x−3)

6 dx . (2) R4

2e^2u−5du .

例題 定積分

R2

−1xp

x²+ 1dx

を計算する．

 変数

y

を

y=x²+ 1

とおく．

dy

dx = 2x

なので

x dx= 1

2dy

． よって

xp

x²+ 1dx =p

x²+ 1x dx = √ y 1

2dy = 1 2

√y dy . x=−1

のとき

y= 2

，

x= 2

のとき

y= 5

． 従って，

R2

−1xp

x²+ 1dx= Z 5

2

1 2

√y dy=1 2

R5 2y

1 2dy= 1

2 h2

3y

3 2

i⁵

2= 1 3 h

y√ yi⁵

2

= 1 3 5√

5−2√ 2

. ^終

問題

7.2.3

以下の定積分を計算しなさい．

(1) Z ₂

−1

6x

x²+ 2dx . (2)

Z ₄

0

x

√x²+ 9dx .

例題 定積分

Z 3π

0

sint

cost+ 4dt

を計算する．

 変数

z

を

x= cost+ 4

とおく．

dx

dt =−sint

より

sint dt=−dx

．

t= 0

のと き

x= cos 0 + 4 = 5

，

t= 3π

のとき

x= cos3π+ 4 = 3

． 従って，

Z 3π 0

sint cost+ 4dt=

Z 3π 0

1

cost+ 4sint dt= Z 3

5

1

x(−dx) =− Z 3

5

1

xdx=− lnx³

5

=−ln3 + ln 5 = ln5

3 . ^終

問題

7.2.4

定積分

R

π 2

− π 2

(cost)√

sint+ 2dt

を計算しなさい．