§ 7.1 不定積分の置換積分法
関数
f (x)
の不定積分R
f (x)dx
の中に現われるdx
は，元々の定義では，変数x
の微分
dx
とは特に関係がありません． しかし実は，積分計算において，不定積分の 式R
f (x)dx
の中に現われるdx
は変数x
の微分dx
であるかのように扱うことができます． そのことを述べたのが次の定理です（証明は後にします）．
定理（不定積分の置換積分法） 関数
f
とg
とは連続であり，関数ϕ
は微分可能 であるとする．y = ϕ(x)
となる変数x , y
及びそれらの微分dx , dy
について，f (x)dx = g(y) dy
ならばR
f (x)dx = R
g(y)dy .
この置換積分法の公式において次のことに注意して下さい：
f (x)
は変数としてx
だけを含む（y
を含まない）式であり，g(y)
は変数としてy
だけを含む（x
を含ま ない）式である．例解
3.5
節で述べたように，微分公式d
dx sin x = cos x
を適用できるのは，d dx
の 分母の変数x
がsin
の中身と一致するときです．一致
d
d x sin x = cos x ,
一致
d
d t sin t = cos t .
同様に，積分公式R
cosx dx = sin x + C
（C
は積分定数）を適用できるのは，cos
の中身が積分変数であるときです．一致
R cosx d x = sin x + C ,
一致
R cosy d y = sin y + C .
変数
x
の関数cos(3x + 2)
の不定積分R
cos(3x + 2) dx
を計算するには，このままで は積分公式R
cos x dx = sinx + C
を適用できません． そこで次のようにして計算し ます．変数
y
をy = 3x + 2
とおきます．dy dx = d
dx (3x + 2) = 3
なのでdy = 3 dx , dx = 1
3 dy
，よってcos(3x + 2)dx = cosy 1
3 dy = 1
3 cos y dy .
よって，積分定数をC
とおくと，R cos(3x + 2)dx = Z 1
3 cos y dy = 1 3
R cos y dy = 1
3 sin y + C
= 1
3 sin(3x + 2) + C .
終問題
7.1.1
不定積分R
sin(5x − 4) dx
を計算しなさい．例題 不定積分
Z 7
(2y + 1)
4dy
を計算する．変 数
z
をz = 2y + 1
と お く．dz dy = d
dy (2y + 1) = 2
な の で ，dz = 2 dy
，dy = 1
2 dz
，よって7
(2y + 1)
4dy = 7 z
41
2 dz = 7 2
1 z
4dz .
積分定数をC
とおくと，Z 7
(2y + 1)
4dy = Z 7
2 1
z
4dz = 7 2
R z
−4dz = 7 2
1
− 3 z
−3+ C = − 7 6z
3+ C
= − 7
6(2y + 1)
3+ C .
終問題
7.1.2
不定積分Z 9
(4y + 5)
3dy
を計算しなさい．例題 不定積分
Z 7
5u + 3 du
を計算する．変数
v
をv = 5u + 3
とおく．dv
du = 5
なので，dv = 5 du
，du = 1
5 dv
． よって7
5u + 3 du = 7 v
1
5 dv = 7 5 1 v dv .
積分定数をC
とおくと，Z 7
5u + 3 du = Z 7
5 1 v dv = 7
5 Z 1
v dv = 7
5 ln | v | + C
= 7
5 ln | 5u + 3 | + C .
終問題
7.1.3
以下の不定積分を計算しなさい．(1)
Z 9
4u + 5 du . (2) R √
6x + 5 dx .
例題 不定積分
Z
cos 4t − 5
3 dt
を計算する．変数
x
をx = 4t − 5
3
とおく．dx
dt = 4
3
なので，dx = 4
3 dt
，dt = 3
4 dx
． よってcos 4t − 5
3 dt = cosx 3
4 dx = 3
4 cos x dx .
積分定数をC
とおくと，Z
cos 4t − 5 3 dt =
Z 3
4 cos x dx = 3 4
R cos x dx = 3
4 sin x + C
= 3
4 sin 4t − 5
3 + C .
終問題
7.1.4
以下の不定積分を計算しなさい．(1) Z
sin 3x − 7
5 dx . (2) R
e
2t+3dt .
例題 不定積分
Z x
(x
2+ 1)
3dx
を計算する．変数
y
をy = x
2+ 1
とおく．dy
dx = 2x
なのでx dx = 1
2 dy
． よってx
(x
2+ 1)
3dx = 1
(x
2+ 1)
3x dx = 1 y
31
2 dy = 1 2
1 y
3dy .
積分定数をC
とおくと，Z x
(x
2+ 1)
3dx = Z 1
2 1
y
3dy = 1 2
R y
−3dy = 1 2
1
− 2 y
−2+ C = − 1 4y
2+ C
= − 1
4(x
2+ 1)
2+ C .
終問題
7.1.5
不定積分Z x
√ x
2+ 3 dx
を計算しなさい．例題 不定積分
R
sin
3t cos t dt
を計算する．変数
x
をx = sint
とおく．dx
dt = cos t
なのでcos t dt = dx
．sin
3t cos t dt = (sint)
3cos t dt = x
3dx .
積分定数をC
とおくと，R sin
3t cos t dt = R
x
3dx = 1
4 x
4+ C = 1
4 (sin t)
4+ C = 1
4 sin
4t + C .
終 問題7.1.6
不定積分R
(cos
2t + 3) sin t dt
を計算しなさい．置換積分法によって正接関数
tanx
の不定積分を求めます．tan x = sin x
cos x
でした．変数
y
をy = cos x
とおきます．dy
dx = − sinx
なのでsin x dx = − dy
． よってtanx dx = sin x
cos x dx = 1
cosx sinx dx = 1
y ( − dy) = − 1 y dy .
積分定数をC
とおくと，R tanx dx = Z
− 1 y
dy = − Z 1
y dy = − ln | y | + C = − ln | cosx | + C .
（積分公式）
R tanx dx = − ln | cos x | + C
（C
は積分定数）.
問題
7.1.7
不定積分Z
tan y
3 dy
を計算しなさい．例題 不定積分
R x
2√
x
3− 5 dx
を計算する．変数
y
をy = x
3− 5
とおく．dy
dx = 3x
2 なのでx
2dx = 1
3 dy
． 積分定数をC
とおくと，R x
2p
x
3− 5 dx = R p
x
3− 5 x
2dx = Z √
y 1 3 dy = 1
3 R y
1 2
dy = 1
3 2 3 y
3 2
+ C
= 2 9
p x
3− 5
3+ C .
終問題
7.1.8
不定積分Z x
2x
3+ 2 dx
を計算しなさい．例 置換積分法で不定積分
R
(x + 1)
2dx
を計算します． 変数y
をy = x + 1
とおき ます．dy
dx = 1
よりdx = dy
なので，積分定数をC
0 とおくと，R (x + 1)
2dx = R
y
2dy = 1
3 y
3+ C = 1
3 (x + 1)
3+ C
1= 1
3 x
3+ x
2+ x + 1 3 + C
0;
ここで，C = 1
3 + C
0 とおくと，R
(x + 1)
2dx = 1
3 x
3+ x
2+ x + C
；C
0 は定数です からC
も定数です． この定数C
を積分定数と考えると次のようになります：R (x + 1)
2dx = 1
3 x
3+ x
2+ x + C
（C
は積分定数）.
終 このように，不定積分の計算結果に現れる定数項は積分定数に含めることができ ます．定理の証明
定理
7.1
を証明します． 合成関数の微分公式（定理3.5
）を思い出して下さい： 変数y
が変数x
の関数であるとき，y = ϕ(x)
となる関数ϕ
及び関数ψ
が微分可能な らば，d
dx ψ(y) = d
dy ψ(y) · dy dx .
関数
