熊本大学 数理科学総合教育
置換積分・部分積分 問題1 解答
1 置換積分法 使 次 不定積分 求 . , 積分定数 C . (1) I =
∫
xex2dx
[解]: t =x2 . dt= 2x dx 置換積分法 使 I =
∫ et
2 dt = et
2 +C = ex2 2 +C.
(2) I =
∫
sinxcos4x dx
[解]: t = cosx . dt=−sinx dx 置換積分法 使 I =∫ (
−t4)
dt=−t5
5 +C =−cos5x 5 +C.
(3) I =
∫ logx x dx
[解]: t = logx . dt = 1
xdx 置換積分法 使 I =
∫
t dt= t2
2 +C = (logx)2 2 +C.
(4) I =
∫ x
√1−x2 dx
[解]: t = 1−x2 . dt =−2x dx 置換積分法 使 I =
∫ (
− 1 2√
t )
dt=−√
t+C =−√
1−x2+C.
(5) I =
∫ x x2+ 1dx
[解]: t =x2+ 1 . dt= 2x dx 置換積分法 使 I =
∫ 1
2tdt= logt
2 +C = log (x2+ 1)
2 +C.
(6) I =
∫ cosx sin2x+ 1dx
[解]: t = sinx . dt= cosx dx 置換積分法 使 I =
∫ 1
t2+ 1dt = tan−1t+C = tan−1(sinx) +C.
(7) I =
∫ 1
x2+ 2x+ 5dx
[解]: I 被積分関数 変形 , I =
∫ 1
x2+ 2x+ 5dx=
∫ 1
(x+ 1)2+ 4 dx.
t =x+ 1 . dt= 1dx=dx 置換積分法 使 I =
∫ 1
t2 + 4dt= tan−1 2t
2 +C = tan−1(x
2 +12)
2 +C.
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(8) I =
∫ 1
√−x2+ 2x+ 3 dx
[解]: I 被積分関数 変形 , I =
∫ 1
√−x2 + 2x+ 3dx=
∫ 1
√
4−(x−1)2 dx.
t =x−1 . dt = 1dx=dx 置換積分法 使 I =
∫ 1
√4−t2 dt= sin−1 t
2 +C = sin−1 (x
2 − 1 2
) +C.
(9) I =
∫ √
1−x2dx [解]: −π
2 ≤θ ≤ π
2 ,x= sinθ . dx= cosθ dθ 置換積分法 使 I =
∫
cos2θ dθ=
∫ cos 2θ+ 1
2 dθ (三角関数 半角公式)
= θ
2 +sin 2θ
4 +C = θ+ sinθcosθ
2 +C = x√
1−x2+ sin−1x
2 +C.
(10) I =
∫ 1
√x2+ 1dx
[解]: x= sinht . 双曲線関数 公式cosh2t−sinh2t= 1 dx= cosht dt 置換積分法 使
I =
∫
1dt=t+C = sinh−1x+C.
. 双曲線関数 定義 sinhx= ex−e−x
2 使 逆関数 求 ,
sinh−1x= log (
x+√ x2+ 1
)
. ,
I = log (
x+√ x2+ 1
) +C.
2 部分積分法 使 次 不定積分 求 . , 積分定数 C . (1) I =
∫
xsinx dx
[解]: 部分積分法 , I =
∫
(−cosx)′x dx=−xcosx−
∫
(−cosx) dx=−xcosx+ sinx+C.
(2) I =
∫
xcosx dx
[解]: 部分積分法 , I =
∫
(sinx)′x dx=xsinx−
∫
sinx dx=xsinx+ cosx+C.
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(3) I =
∫
logx dx
[解]: 部分積分法 , I =
∫
(x)′logx dx=xlogx−
∫
1dx=xlogx−x+C.
(4) I =
∫
xlogx dx
[解]: 部分積分法 , I =
∫ (x2 2
)′
logx dx= x2logx
2 −
∫ x
2dx= x2logx 2 −x2
4 +C.
(5) I =
∫
x(logx)2dx [解]: 部分積分法 ,
I =
∫ (x2 2
)′
(logx)2dx= x2(logx)2
2 −
∫
xlogx dx . 右辺 不定積分 項 求 ,
∫
xlogx dx= x2logx 2 − x2
4 +C.
, I = x2(logx)2
2 − x2logx 2 +x2
4 +C.
(6) I =
∫
sin−1x dx
[解]: 部分積分法 , I =
∫
(x)′sin−1x dx=xsin−1x−
∫ x
√1−x2 dx . 右辺 不定積分 項 求 ,
∫ x
√1−x2dx =−√
1−x2+C.
, I =xsin−1x+√
1−x2+C.
(7) I =
∫
cos−1x dx
[解]: 部分積分法 , I =
∫
(x)′cos−1x dx=xcos−1x−
∫ (
− x
√1−x2 )
dx . 右辺 不定積分 項 求 ,
∫ x
√1−x2dx =−√
1−x2+C.
, I =xcos−1x−√
1−x2+C.
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(8) I =
∫
tan−1x dx
[解]: 部分積分法 , I =
∫
(x)′tan−1x dx=xtan−1x−
∫ x x2+ 1 dx . 右辺 不定積分 項 求 ,
∫ x
x2+ 1dx= log (x2+ 1)
2 +C.
, I =xtan−1x−log (x2+ 1)
2 +C.
(9) I =
∫ √
1−x2dx [解]: 部分積分法 , I =
∫
(x)′√
1−x2dx=x√
1−x2−
∫ (
− x2
√1−x2 )
dx=x√
1−x2+
∫ x2
√1−x2 dx . 右辺 不定積分 項 計算 ,
∫ x2
√1−x2 dx=
∫ −(1−x2) + 1
√1−x2 dx=−
∫ √
1−x2dx+
∫ 1
√1−x2 dx
=−I+ sin−1x+C.
整理 , I = x√
1−x2+ sin−1x
2 +C.
(10) I =
∫ √
x2+ 1dx [解]: 部分積分法 ,
I =
∫
(x)′√
x2+ 1dx=x√
x2+ 1−
∫ x2
√x2+ 1dx . 右辺 不定積分 項 計算 ,
∫ x2
√x2+ 1dx=
∫ 1 +x2−1
√1 +x2 dx=
∫ √
x2+ 1dx−
∫ 1
√x2+ 1dx
=I−log (
x+√ x2+ 1
)
整理 , I = x√
x2+ 1 + log( x+√
x2+ 1)
2 +C.
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