磁気機能性流体中の超音波伝播特性 に関する基礎研究

磁気機能性流体中の超音波伝播特性 に関する基礎研究

2007

2

本 澤 政 明

目 次

第

1

6

1.1

. . . . 6

1.2

. . . . 7

1.2.1

. . . . 8

1.2.2

. . . . 9

1.3 MR

. . . . 11

1.3.1 MR

. . . . 11

1.4

. . . . 11

1.4.1

. . . . 12

1.5 UVP(Ultrasonic Velocity Profiler) . . . . 14

1.6

. . . . 14

1.7

. . . . 16

第

2

-

22 2.1

. . . . 22

2.2

[33, 43] . . . . 22

2.3

[44] . . . . 24

2.3.1

. . . . 24

2.3.2

. . . . 25

2.4

[49] . . . . 27

2.4.1

. . . . 27

2.4.2

. . . . 27

2.5

. . . . 28

2.6

. . . . 29

第

3

30 3.1

. . . . 30

3.2

. . . . 30

3.3

. . . . 31

3.4

. . . . 31

3.5

. . . . 32

3.6

. . . . 36

3.6.1

. . . . 36

3.6.2

. . . . 39

3.6.3

. . . . 39

3.6.4

. . . . 41

3.6.5

. . . . 43

第

4

-

44 4.1

. . . . 44

4.2

. . . . 44

4.2.1

. . . . 44

4.2.2

. . . . 45

4.3

(

) . . . . 48

4.3.1

. . . . 48

4.3.2

. . . . 48

4.4

. . . . 50

4.5

. . . . 51

4.5.1 Parsons

. . . . 52

4.5.2 Sokolov

. . . . 53

4.6

. . . . 54

4.6.1

. . . . 54

4.6.2

. . . . 55

4.6.3

. . . . 55

4.7

. . . . 60

4.8

. . . . 60

4.9

. . . . 60

4.10

. . . . 61

4.10.1

. . . . 61

4.10.2

. . . . 62

4.11

. . . . 62

4.11.1

. . . . 62

4.11.2

. . . . 62

4.11.3

. . . . 63

4.12

(sweep rate)

. . . . 63

4.13

. . . . 88

4.14

. . . . 89

4.15

. . . . 90

4.15.1

. . . . 90

4.15.2

. . . . 91

4.15.3

. . . . 91

4.15.4

. . . . 92

4.16

. . . . 92

4.16.1

. . . . 92

4.16.2

. . . . 94

4.16.3

. . . . 94

4.17

. . . . 95

4.17.1

. . . . 96

4.17.2

. . . . 96

4.17.3

. . . . 96

4.18 Sweep rate

. . . . 98

4.19

. . . . 98

第

5

-

99 5.1

. . . . 99

5.2

. . . . 99

5.2.1 Parsons

. . . . 99

5.2.2 Taketomi

. . . . 99

5.3

. . . . 100

5.3.1

. . . . 100

5.4

. . . . 102

5.5

. . . . 102

5.6

. . . . 102

5.7

. . . . 103

5.8

. . . . 109

5.9

. . . . 110

5.9.1

. . . . 110

5.9.2 Skumiel

. . . . 111

5.10

. . . . 112

5.10.1

. . . . 112

5.10.2

. . . . 112

5.11

. . . . 113

5.12

. . . . 114

第

6

MR

-

115 6.1

. . . . 115

6.2 MR

. . . . 115

6.3 MR

. . . . 116

6.3.1 MR

. . . . 116

6.3.2

. . . . 117

6.3.3

. . . . 118

6.3.4

. . . . 119

6.4 MR

. . . . 119

6.5 MR

. . . . 120

6.6

. . . . 121

6.7

. . . . 121

6.8

. . . . 121

6.9

(sweep rate)

. . . . 122

6.10

. . . . 127

6.11

. . . . 127

6.12

. . . . 128

6.13 Sweep rate

. . . . 128

6.14

. . . . 129

第

7

UVP

MR

130 7.1

. . . . 130

7.2

UVP

. . . . 130

7.2.1

. . . . 130

7.2.2

UVP

. . . . 131

7.2.3 UVP

. . . . 132

7.2.4

. . . . 135

7.2.5

. . . . 135

7.2.6

. . . . 136

7.2.7 UVP

. . . . 137

7.2.8

. . . . 138

7.2.9 UVP

. . . . 140

7.2.10

. . . . 141

7.3 MR

. . . . 143

7.3.1

. . . . 143

7.3.2 MR

. . . . 143

7.3.3 MR

. . . . 143

7.3.4 MR

. . . . 144

7.3.5 MR

. . . . 145

7.3.6

. . . . 146

7.4

. . . . 146

第

8

149

154

156

165

A

168 A.1

. . . . 168

A.2

. . . . 168

A.2.1

. . . . 168

A.2.2

. . . . 170

A.3

. . . . 173

付 録

B

174 B.1 Parsons

. . . . 174

B.2 Taketomi

. . . . 176

付 録

C Newton

182

第 1 ^{章 序 論}

1.1

流体力学の発展の歴史は，技術開発の発展の歴史であるということが出来るであろう。いくつ か例をあげるならば，古くは，古典流体力学と水車，ポンプといった水力機械の発展との関係性，

乱流，境界層など近代流体力学から超音速流など高速流体力学への発展は，飛行機におけるプロ ペラ機からジェット機への発展とも関連が深く，近年では，宇宙工学や原子力開発の発展に関連し て，電磁流体力学などの発展が見られている。機能性流体工学の学問分野の形成も近年のナノテ クノロジー，マイクロマシン技術の発展に関連しており，この流体力学発展の歴史の延長線上に あるということが出来る

[1]

近年の目覚しい技術発達により，超微粒子の製造

[2]

一言に機能性流体といっても様々な種類の機能性流体が存在する。ここに代表的なものをい くつか上げるならば，磁性流体，

MR

(Magnetorheological fluid

)

ER

(Electrorheologiacl fluid

)

磁場に応答する磁気機能性流体の一種である磁性流体と

MR

MR

[3, 4]

ER

ER

方，液晶は，構成粒子自身が極性を有し，その配向性を制御することで，見かけの粘度を変化さ せることができる。加える電圧は高電圧であるが，消費電力が非常に小さく，近年では，ディス プレイなどへの応用開発が進んでいる。

プラズマ流体

プラズマ流体は，気体を放電させることにより気体の一部が電離し，イオン，電子，分子など から構成された多成分の流体である。特に，圧力による影響を大きく受け，粘度や熱伝導率など が著しく変化したり，光を放射する多機能性流体である。近年では，

MHD

人工血液

血液は全身の細胞へ酸素と栄養を供給し，二酸化炭素，老廃物を廃棄する役割を果たしている。

これらの機能のうち，酸素運搬機能に着目して血液に変わる機能を持つ流体が，現在開発されて いる人工血液である。

1.2

磁性流体とは，強磁性の性質と流体としての流動する性質をあわせ持つように強磁性の微粒子 を液体中に分散させ，見かけ上流体が磁性を帯びているように人工的に作られた一種の固液混相 流体（コロイド溶液）である。水やケロシンといった溶媒に直径が約

10nm

鉄，ニッケル等の強磁性体粒子をオレイン酸などの界面活性剤を添加して安定分散させたもので，

磁性流体中の浮遊微粒子は，粒子間のファンデルワールス力や磁気吸引力，界面活性剤の反発力 によって，ブラウン運動を行っている

[5, 6]

もともと磁性流体は，

NASA

Papell

[7, 8, 9]

さらに，様々な種類の磁性流体も開発されてきている。例えば，本来，磁性流体は黒色である が，これを赤，黄，青に着色した有色磁性流体

[10]

[11]

[12]

しかしながら，学問体系としては未完成の部分も多く，新しい応用面での開発，研究も多く進 められている

(1.2.2

)

1.2.1

通常広く用いられる磁性流体は，マグネタイトを分散粒子として用い，分散媒として炭化水素 類，エステル類，エーテル，水などを用いている。ベース液，界面活性剤，分散粒子の種類，濃度 を変えることによって，様々に物性は変わるが，その物性値は，磁場の影響を大きく受ける。磁 化および粘度以外の物性値への影響については，未だ十分な研究がなされていないのが現状であ る。ここで，磁性流体の物性について，以下にいくつか記す

[13]

レオロジー特性

流体のレオロジー特性としては，流れのずり運動により生ずる内部摩擦力から定義される粘度 特性が主なものとなるが，磁場の作用する磁性流体について考えると，磁場の影響により，粒子に 回転摩擦トルクが発生し，新たな粘性散逸が生じるため，見かけ上粘度が増加したことに相当す る。この他にも，磁性流体は磁場印加により特徴的な物性変化を示し，この性質を応用して様々 な応用機器が提案されている。

音響学的性質

音波物性とは，音波の測定から伝播媒質内の内部構造やそのダイナミクスなどを観察し，その 基礎的性質を研究する分野であり，物質の内部の様子は，音波の音速や吸収といった測定しうる 物理量に反映される。あらゆる物質に対する内部構造解析において音波物性研究は非常に有効な 手段であり，その基本的情報を得ることができる。

磁性流体における音波物性も同様で，一様磁場の作用する磁性流体中を伝播する音速や減衰に ついては興味深い異方性が観測されてきている

[6]

磁気光学効果

磁性流体は，通常は不透明であるが，粒子濃度を極端に小さくするか，薄膜状にすると光が透 過できるようになる。ここに磁場を作用させると新たな光学異方性が生じ，様々の特異な光学現

象が観測されるようになる。これらの現象を総称して，磁気光学効果という。この性質を利用す ることで，薄膜状の磁性流体において，透過光による鎖状クラスターの可視化が可能となる。

1.2.2

磁性流体は磁性と流動性を併せ持っており，磁場勾配下におくと，磁性流体全体が磁気を帯び たように振る舞い，流体の圧力分布や流れのパターンを変えることができる。そこで，この磁性流 体特有の物理的性質を利用した様々な機器への応用研究がなされている。具体的な応用例を，表

1.1

[5, 14]

表

1.1: Application of the magnetic fluid

磁性 インクジェットプリンター，磁性流体軸シール 薬剤の誘導

磁気浮力 比重差選別装置，アクチュエーター，ダンパ スピーカーのボイスコイル保持，磁性流体研磨 レオロジー特性 ショックアブソーバ，ダンパ　

凝集性 光シャッター，磁気センサ，光分岐素子 界面特性 境界層制御，電熱制御

その他 造影剤，燃料添加剤

磁性流体ダンパー

磁性流体を磁場の印加によって保持すると同時に，磁性流体内におかれた物体に作用する磁気 力を利用して，運動を制御する装置として磁性流体ダンパーが開発されている。作動する系の運 動形態に対応して，リニアダンパー，回転粘性ダンパー，ダッシュポット型ダンパーが上げられ る。リニアダンパーは次に述べるスピーカーのボイスコイルへ応用されている。

この他にも，同調液体ダンパーの作動流体に磁性流体を用いた応用研究がなされており，磁性 流体の挙動を制御することで，本来難解であった同ダンパーのアクティブ制御が容易に実現可能な ことが判明している。これは，磁性流体すなわちダンパー自体の固有振動数が印加磁場方向，強 度に従って変化することを利用したもので，構造物振動の広範囲な振動数に対して強力な制振効 果が発揮できている

[15]

磁性流体シール

磁性流体シールは，永久磁石，磁極片，軸

(

)

磁気体積力を応用している。磁場によって軸上に磁性流体の液体

O

使用目的は，防塵用シールと真空シールに大別される。防塵用シールとしては，ハードディス クに多数採用されており，クリーンルーム用設備の駆動部としても実用化が進んでいる。真空シー ルとしては，電子顕微鏡シールへの応用が図られており，磁性流体シールを用いることで，これ まで開発された多段ステージシールの中でも最小のものが開発されている。これらのシールの欠 点は，シール耐圧が小さいこと，磁性流体の劣化が原因となり，長期間の安定動作が保証されな いことにあったが，現在までの技術革新と磁性流体の選択によってシール耐圧，耐久性能が飛躍 的に向上している。

スピーカー

従来のスピーカーでは，磁気ギャップ内でのボイスコイルのセンタリングが不完全なことから コイルの断線，コイルの振動が不安定になるなどの問題が生じ生産効率が低かった。そこで，磁 気ギャップに磁性流体を注入したところ，ボイスコイルのセンタリングが容易になり，コイルで発 生する熱の放熱効果，ダンピング性能の向上につながった。生産効率も飛躍的に向上し，現在で は磁性流体のスピーカーへの応用が一般化している。さらに，これらの利点を生かすことでマイ クロスピーカー，小型補聴器への応用もなされている

[16]

医療技術への応用

近年，医療技術は飛躍的に発展している。その発展の中で，磁性流体，磁性ナノ粒子を応用した 医療技術も開発されてきている。具体例をあげるならば，磁場による薬剤の誘導

(Drug Delivery)

(Hyperthermia)

X

MRI

超音波検査の感度向上などがあげられる。

制癌剤は，正常な細胞にも大きな副作用を与えるため，患部まで薬剤を直接誘導できるという のは非常に有用である。さらに磁性流体中のフェライトはすぐれた

X

X

[17, 18]

X

MRI

[19]

[20]

磁性流体を用いた技術を特に

Magnetic Fluid Hyperthermia(MFH)

[23, 24, 25]

1.3 MR

MR(Magneto-Rheological)

µm

30%

MR

制御可能な降伏応力を示すようになる

[14, 29]

MR

MR

[25, 26]

磁性流体同様未だ進んでいないのが実情である。

1.3.1 MR

MR

[27, 28]

具体的な応用機器としては，磁性流体と同様の形態を取り，耐震ダンパー，ブレーキ，クラッ チ，

MR

[30, 31]

[32]

1.4

超音波は周波数が

20kHz

20Hz

20kHz

3

20kHz

1THz

10GHz

超音波は，あらゆる物質中を伝わり，そのうち一部の例外を除いては，気体中の音速が最も遅

い。超音波の媒質中の伝播速度は原則的には周波数によらず一定であり，その性質は，光と類似 性が高く，反射，屈折，回折，散乱，干渉，ドップラー効果，衝撃波，複屈折など波動に共通な性 質を持つ。一方，光との相違点は，縦波と横波が存在すること，弾性の他に密度にも依存するこ となどが上げられる。

音波は，媒質に対して時間的にも空間的にも周期的な圧力の変動をもたらす。この圧力変動に 応答し，物質中の欠陥や構造といった内部状態は，音速や吸収などの物理量に反映する。音波測 定から伝播媒質内の内部構造や基礎的性質を研究する分野が音波物性である。音波が「物質科学 を貫く横糸」と例えられるように，音波物性は，気体，液体，溶液，高分子，金属などに関する物 性研究において，その基本情報を得ることができる。本研究では，超音波によって，磁気機能性 流体の音波物性を計測することで，外部環境変化による内部構造変化，基本特性を探求する

[33]

なお，本論文では，以後「超音波伝播速度」を省略して「伝播速度」と記述するものとする。

1.4.1

超音波技術は，今日広く多様に社会に浸透している。たとえば，工業界で利用される洗浄，非 破壊検査，加工，医療機関での診察治療，海洋技術の水中通信，計測，一般家庭における小型洗 浄機になどがあげられる。表

1.2

[33, 34]

表

1.2: Application of the ultrasound

超音波計測 工業計測 非破壊検査

(

)

(

)

強力超音波 固体中 機械加工

(

)

(

)

気体中 集じん，浮揚

電子デバイス 通信，情報処理 フィルタ，周波数制御

(

)

超音波非破壊検査

超音波深傷法は，超音波非破壊検査法の一つとして，構造物の傷，ひび，空洞などの検査に広 く用いられている

[34, 35]

[36, 37]

電磁誘導を利用した方法が開発され，精度向上の研究

[38, 39]

超音波加工

超音波振動を利用して素材を変形，加工する方法で，素材を変形するだけの塑性加工と振動切 削を含む超音波加工に大別できる。例えば，超音波振動切削法は，バイトなど切削工具に超音波 振動を印加し，超音波振動させる事で，刃先と工作物の瞬間的な衝突で切削する方法である。切 削抵抗が低減するため，工具の寿命が延びる。また，刃物に加えた高い振動のために加工精度も 向上する。

医療における超音波診断

医療領域において超音波は，一般的に心エコーなどと呼ばれており，超音波診断装置に用いられ ている。超音波診断装置は，主に生体の形態情報を得る事に用いられている。診断装置では，超音 波パルスを体内に入射し，反射パルスの輝度を変調する事で生体内組織の情報が表示される

[40]

[34, 41]

超音波スペクトロスコピー

音波物性の実験的研究において，対象となる試料，周波数，精度に応じて適切な測定法を選ぶ 必要がある。さらには，極低音，高温，高圧など，特殊な環境下においては，それに対応する技 術が必要となる。超音波スペクトロスコピーとは，超音波領域で伝播速度や減衰の周波数分散を 測定するものと定義される。さらに，今日では周波数分散の測定に限らず，材料や物性の研究を 目的として，測定技術を適宜応用することで，音波計測，評価を行う事も併せて超音波スペクト ロスコピーという。

1.5 UVP(Ultrasonic Velocity Profiler)

UVP(Ultrasound Velocity Profiler) method

[42]

(

7

)

UVP

UVP

1.6

今回，研究対象の機能性流体として磁場に応答する磁気機能性流体である磁性流体と

MR

MR

UVP

磁性流体中の伝播速度や磁場印加時の特性などの詳細なデータが明らかになっていない。

また，磁性流体，

MR

これらのことを考えると，磁性流体，

MR

つであるといえる。さらに，

MR

MR

これらの背景から，本研究では次の点を研究の目的としてあげる。

1.

MR

2.

3.

MR

4.

MR

5.

(a) UVP

(b) MR

以上に示す通り，磁性流体，

MR

MR

UVP

MR

本研究の成果は，磁性流体，

MR

MR

1.7

前述の通り，磁性流体，

MR

UVP

MR

第

1

MR

第

2

MR

第

3

計測システムにおける検定方法に関しても詳細に述べる。

第

4

考察を記す。実験結果をもとに印加磁場下における内部構造変化の解析をした。さらに，冒頭部 に磁性流体中の超音波伝播特性の理論研究や印加磁場下の内部構造変化の研究も記した。

第

5

4

4

第

6

MR

MR

第

7

2

磁性流体中の超音波伝播特性の結果をもとにした，

UVP

MR

第

8

記号一覧表

a :

∆t

(m) a _cl :

(m)

B :

(mT) C 0 :

(wt%) C _p :

(J/mol)

C v :

(J/mol)

c :

(m/s)

c 0 :

(m/s) c A : Alphen

(m/s)

c g :

(m/s) c R : Rao

(m/s) d :

(m) dl :

(m)

F ¹ :

(N) f :

(Hz)

f D :

(Hz) f N :

(Hz) f 0 :

(Hz)

f 1 :

(Hz) f 2 :

(Hz) H :

(A/m)

I :

(A) K :

(Pa)

k c : = −F ¹ /x c sin φ k α :

(1/K)

L :

(m) L ave :

(m)

L _f :

(m)

l :

(m)

l _f :

(m) l _max :

(m)

l _p :

(m)

M :

N :

N A :

n :

n ^′ :

P :

(Pa)

P ^′ :

(Pa)

P in : MR

(Pa) P ⁰ :

(Pa)

P ¹ :

(Pa) p :

(Pa)

R :

(m)

R 0 :

s :

(=ω ρ/K)

t a : 1

(s) t _c : 1

(s) t _p :

(s)

t r : 1

(s) T :

(s)

T ^′ :

(K)

T a :

(s) T c : T + T a (s)

T U V P 1 :

(s)

T _{U V P} ^′ 1 :

(s)

T 0 :

(s)

u :

(m/s)

u ⁰ :

(m/s) u max :

(m/s)

V :

(m/s)

V 0 :

(m/s)

v :

(m ³ )

v a : = v − v _mol (m ³ ) v c :

(m ³ )

v :

(m ³ )

v mol :

1mol

(m ³ ) W : Wormersley

(= R ω/ν) w : Wada

x c :

z :

(= ρc) α :

(dB/m) α _i : Leslie

(i = 1, 2, 3 · · ·)

α cl :

(α s + α h ) α d :

(dB/m) α h :

α p : Parsons

α r :

α s :

α _T : Taketomi

(α r + α t ) α t :

β _ij : ρ 0 /χ _ij

γ : C _p /C _v

γ ¹ : C 0 ^{− 1} (α ² − α ³ ) γ ² : C 0 ^{− 1} (α ² + α ³ )

∆t :

(s)

δ :

(s) ζ :

(Pa·s)

η s :

(Pa·s) Θ : v _mol /v

θ :

· :

(W/m·K)

λ : γ ² /γ ¹

µ ⁰ :

(A/m) ν :

(m ² /s)

ρ :

(kg/m ³ ) ρ 0 :

(kg/m ³ )

ρ m :

(kg/m ³ )

τ :

(s)

τ _m :

(s)

τ ⁰ :

(s) τ 1 : τ 2 − 1/f = τ 1 + δ(s)

τ 2 :

1

(s) τ mr 1 : MR

(s)

τ _mr 2 : MR

1(s) τ _mr 3 : MR

2(s) Φ :

φ :

( ^◦ ) χ ⁰ :

χ ij :

χ s :

χ T :

ψ :

ω :

(rad/s)

ω c :

(rad/s)

ϕ :

( ^◦ )

第 2 ^{章 超音波伝播物性} - ^基礎理論

2.1

第

1

特に液体構造や内部粒子間の相互作用について，熱力学に基づく平衡論的な理論から分子論的な レベルでの理論へと移行しつつある。しかし，長時間スケールでの変化の相関に関する知見も重 要となっており，この知見は前者のミクロ的観点と溶液をマクロ的な変化を扱う観点の接点とし て重要になると考えられる。「音波物性は森を見るようなもの」という言葉もある通り，音波は分 子をはじめとする内部粒子集団の運動としての物質の特性を反映しており，内部粒子一つ一つの 特性のみだけでなく溶液全体がどのような特性を持つものなのかを明らかにする。

以上の点を考えても，磁性流体，

MR

MR

MR

より複雑で研究者によっても見解に差異があることから，第

4

2.2

[33, 43]

音波が媒体中を伝播する時，その媒体の密度は周期的に変化し，音場における振動的な圧力変 化を音圧という。図

2.1

δx 1 δx 2 δx 3

p

x 1

pδx 2 δx 3

p + _∂x ^∂p

δx 2 δx 3

x 1

− _∂x ^∂p

δx 1 δx 2 δx 3

x 2

x 3

ρ

ρδx 1 δx 2 δx 3

− ∂p

∂x ¹ = ρ¨ u 1

− ∂p

∂x ² = ρ¨ u 2

− ∂p

∂x ³ = ρ¨ u 3 (2.1)

図

2.1: Theory of ultrasonic propagation

となる。ここで

u 1

u 2

u 3

δv

δv = ∂u 1

∂x ¹ + ∂u 2

∂x ² + ∂u 3

∂x ³

δx 1 δx 2 δx 3 (2.2)

となる。媒体の体積弾性率を

K

p = −K

∂u 1

∂x ¹ + ∂u 2

∂x ² + ∂u 3

∂x ³

(2.3)

Φ

˙

u 1 ≡ − ∂Φ

∂x ¹

u ˙ 2 ≡ − ∂Φ

∂x ²

u ˙ 3 ≡ − ∂Φ

∂x ³ (2.4)

式

(2.1)

p

Φ

p = ρ ˙Φ + C (2.5)

の関係がある。ここで，定数

C

(2.3)

(2.4)

u 1 , u 2 , u 3

を消去すると

˙

p = K∆Φ

∆ = ∂ ²

∂x ² 1

+ ∂ ²

∂x ² 2

+ ∂ ²

∂x ² 3

(2.6)

(2.5)

Φ

∆Φ − ρ

K Φ = 0 ¨ (2.7)

が得られる。これが，超音波伝播の基礎方程式で波動方程式である。この式から音圧と粒子速度

˙

u 1

u ˙ 2

u ˙ 3

時間変化を

exp(iωt)

x 1

x 2

x 3

式

(2.7)

d ² dx ² 1

+ s ²

Φ = 0

s ² = ρ

K

ω ² (2.8)

となる。ここで，

s

Φ = A exp i(ωt − sx ¹ ) + A ^′ exp i(ωt + sx ¹ ) (2.9)

(2.9)

c

c = ω s =

K

ρ (2.10)

という超音波音速理論の最も有名な式が得られる。式

(2.9)

(2.4)

(2.5)

p

u ˙ 1

p = Aiωρ exp i(ωt − sx 1 ) (2.11)

˙

u 1 = Ais exp i(ωt − sx 1 ) (2.12)

式

(2.11)

(2.12)

z

z ≡ p

˙ u 1

= ρc (2.13)

これは，音波の周波数によらず，音波の媒体の透過を考えるうえで非常に重要なパラメータとなる。

2.3

[44]

2.3.1

一般的事項として，

2.2

(2.10)

K

χ s

ρ

c = K

ρ = 1

ρχ s

(2.14)

K

v

K = −v ∂p

∂v

s

= ρ ∂p

∂ρ

s

(2.15)