博士論文概要

(1)

早稲田大学大学院理工学研究科

博士論文概要

論文題目

Multiplicative quadratic forms on algebraic varieties and Noether's problem for meta-abelian groups

代数多様体上で乗法的な二次形式の理論及びメタアーベル群に対するネーター問題の研究

申請者

星明考

Akinari Hoshi

氏名

数理科学専攻保型函数論研究

専攻・研究指導 (課程内のみ)

(2)

本論文は互いに関連する二つの主題からなる.

Multiplicative quadratic forms on algebraic varieties

K^を標数が2と異なる体とする．二次形式の「乗法性」に関する理論はEuler，Hamilton，Cayley 等の先駆的研究を経て，1898年に Hurwitzによって示された次の定理がその研究の源流となっている: 「K上の独立変数X_i, Y_i(1≤i≤n)に対して等式

(X₁²+· · ·+X_n²)(Y₁²+· · ·+Y_n²) =Z₁²+· · ·+Z_n², (Z_i ^はX_i ^とY_j ^{の双一次形式})

が成立するのはn= 1,2,4,8 の場合に限る」. 一般に，K^{上の非退化二次形式}q(X) が「乗法的」

であるとは独立変数X= (Xi),Y = (Yi) (1≤i≤n) に対して等式

q(X)q(Y) =q(Z), Z= (Z_i), Z_i ∈K(X,Y), (1≤i≤n)

が成り立つことをいう. 乗法的二次形式の理論は1960年代にA. Pfister等によって目覚しい発展がとげられ，現在では代数群，対称空間の理論等と深く関係する数学の重要な分野を形成している．Pfisterは非等方的な乗法的二次形式はいわゆるPfister形式1, a₁ ⊗ · · · ⊗ 1, a_nに限るという結論を得た. これに対し申請者は，従来の意味(すなわちベクトル空間Kⁿ 上)では非乗法的な二次形式が,ある代数多様体V Kⁿ上に制限するとその上では古典的なHurwitz 型の双一次条件を満たす「乗法性」を持つ場合がある,という事実を見出し，これを次のように定式化した．

Definition. 体 K 上の二次形式 q が代数多様体 V Kⁿ 上で「乗法的」であるとは，非退化双一次写像ϕ : Kⁿ×Kⁿ → Kⁿ ^でϕ(V ×V) ⊂V をみたすものが存在して, 等式 q(v)q(w) = q(ϕ(v,w)) が任意のv,w∈V に対して成立するとことである．

この論文で申請者は，m-重Pﬁster形式が(2, . . . ,2)-拡大のノルム形式から自然に出現し，ある 2^m−1−1本の二次曲面の交わりの上で乗法的であることを導いた．また次のような問題提起をしている．

Problem 二次形式q^{を与えたとき，}q^がV 上乗法的となる代数多様体V ^{を決定せよ．また},代数多様体V を与えたとき，その上で乗法的となる二次形式q を決定せよ．これらの問題において乗法的であることが既知の時，双一次写像ϕを具体的に見つけることができるか？

Pﬁster形式と異なる二次形式が適当なV Kⁿ上乗法的となりうるか,という問題は基本的であ

る．申請者は，この問題に肯定的な答えを与える,以下のような,二次超曲面上で乗法的な4 変数二次形式の族を構成した.

Theorem 1. 条件 b² + 4ac = 0 を満たすa, b, c ∈ K^× に対し，V_(a,b,c) K⁴ を X₁X₂ + aX₃²+bX3X4−cX₄²= 0 で定まる二次超曲面とする．任意の λ∈K^× ^{に対し，二次形式}q(X) = X₁²+ (b²+ 4ac)acλ²X₂²+ (b²+ 4ac)aλX₃²+ (b²+ 4ac)cλX₄² ^はV_(a,b,c) 上乗法的である．さらに，

1

(3)

双一次写像ϕは次のようにして与えられる：

ϕ(X,Y) = (X₁Y₁+ (b²+ 4ac)acλ²X₂Y₂+ (b²+ 4ac)aλX₃Y₃+ (b²+ 4ac)cλX₄Y₄, X₂Y₁+X₁Y₂+ 2aX₃Y₃+bX₄Y₃+bX₃Y₄−2cX₄Y₄,

X3Y1+ 2acλX3Y2+bcλX4Y2−X1Y3−2acλX2Y3−bcλX2Y4, X₄Y₁+abλX₃Y₂−2acλX₄Y₂−abλX₂Y₃−X₁Y₄+ 2acλX₂Y₄).

同様に，代数多様体V ^{上では変数の個数が} 2 冪でない乗法的二次形式を具体的に構成している．これらの発見は二次形式論に新しい展開をもたらすものであり，従来のベクトル空間上の理論と同様に多くの応用が見込まれている．本論文ではその一例として，Diophantine equation の整数解に対する考察を与えている．

Noether’s problem for meta-abelian groups

「ネーターの問題」，すなわち n^{変数有理関数体}K^に対し，n^{次対称群の推移部分群}G^が変数の置換として作用するとき，不変体 K^G ^がQ 上有理的（純超越的）になるかを問う問題は,「ガロア逆問題」の重要な課題である. これに対して,これまでと異なる新しいアプローチを提示し，

位数の小さな巡回群, メタアーベル群に対して具体的なQ上の超越基底を構成することで同問題の肯定解を与えた．ネーターの問題が肯定的に解ける場合に得られる多項式は「生成的」であること,すなわち「有理数体Qの任意の拡大体上のG-拡大が全てパラメータを特殊化した多項式の分解体として得られる」ことが知られている．申請者はパラメータをさらに特殊化することにより，従来ガウス周期を用いて得られていた，モニックかつ整係数で定数項が1である 1-パラメータ巡回多項式族を多く再構成してみせた．巡回群の場合の研究は次の一般的補題に基礎をおいている. これはガウス周期の多項式が巡回群をガロア群に持つメカニズムを幾何学的に捉えなおしたもので,本論文の根幹をなすものである. e≥2を自然数とする．y₀, y₁, . . . , y_e−1を独立変数とし，添え字を mod eでみる．このとき e×e 行列R, D, U を次式で定義する．

R:= (y_i+j), D:= diag(y₀, y₁, . . . , y_e−1), U = [u_i,j]_{0≤i,j≤e−1} :=R D R⁻¹. Key lemma 1 _Q(y0, y1, . . . , ye−1)^σ=Q(ui,j| 0≤i, j≤e−1). これより，体の拡大

Q(y₀, y₁, . . . , y_e−1)/Q(u_i,j|0 ≤i, j ≤ e−1) はe次巡回拡大となる．さらに Q(y₀, y₁, . . . , y_e−1) は行列U の特性多項式の根体を成す．

Aﬀ(Z/nZ)をZ/nZ上の一次元アフィン変換群とする．定義からAﬀ(Z/nZ) ∼= (Z/nZ) (Z/nZ)^∗なる同一視を得る．σ^{を独立変数}y₀, y₁, . . . , y_n−1^{の巡回置換とし，}λ∈(Z/nZ)^∗に対して，y0-不変の置換τλを以下で定義する．

τ_λ :y_i→y_λi, (0≤i≤n−1).

F^をAﬀ(Z/nZ)のZ/nZ^{を含む部分群とし，}F = (Z/nZ)S, S ⊆(Z/nZ)^∗と表す．S^{の生成元を}

F σ

τ ×· · ·×τ

n

(4)

Q上の純超越性を議論することができる．Key lemma 1^からF^{による不変体}Q(y₀, . . . , y_n−1)^F の決定は，Q(u_i,j |0≤i, j≤n−1)へのS (∼=F/C_n)の作用の決定に帰着される．

Key lemma 2 _F _{= (Z/nZ)}_S _⊂_Aﬀ(Z/nZ)とする．このとき，Fの変数y₀, . . . , y_n−1 の置換によるQ(y₀, . . . , y_n−1)への作用は，SのQ(y₀, . . . , y_n−1)^σ =Q(u_i,j |0≤i, j ≤n−1)への作用を誘導し，任意のτ_λ ∈S に対して以下で与えられる．

τ_λ :u_i,j → u_λ⁻¹_i,λ⁻¹_j. (0≤i, j≤n−1)

この結果に基づき本論文では二面体群D_n(n= 3,4,5,6)及び位数20のフロベニウス群 F₂₀^に対するネーターの問題に対し，不変体のQ上の超越基底を具体的に構成することで肯定解を与えた．

以下においては，n= 5 の場合を述べる．この場合,行列 U = [u_i,j]は以下の形をとる．

U =

⎡

⎢⎢

⎣

A B C D E B E F₁ G₁ F₂ C F₃ D G₂ G₃ D G2 G3 C F3

E F₁ G₁ F₂ B

⎤

⎥⎥

⎦ .

σ = (01234)を巡回置換，ω := τ₂ = (1243), τ := τ₋₁ = ω² = (14)(23)とする．Aﬀ(Z/5Z)の Z/5Z を含む部分群としてC₅ =σ, D₅ =σ, τ, F₂₀ =σ, ωを得る．Key lemma 2より τ 及びω ^のQ(y0, . . . , y4)^σ =Q(ui,j | 0≤i, j≤4)への作用は以下のように記述される:

τ : A →A, B →E →B, C→D →C, B →E →B, C →D →C , F₁ →F₂ →F₁, F₃ →F₃, G₁→G₁, G₂→G₃ →G₂,

ω : A →A, B →C→E →D→B, B →C →E →D →B, F₁ →G₃→F₂→G₂ →F₁, F₃ →G₁ →F₃.

これらを用いることによって，それぞれの場合にネーターの問題に肯定的解決を与える,以下の結果を得た．

Theorem 2.

Q(y₀, . . . , y₄)^C⁵ =Q(F₁−G₁,F₂−G₁,F₃−G₁,G₂−G₁,G₃−G₁)

Q(y0, . . . , y4)^D⁵ =Q(F3−G1,F1+F2−2G1,G2+G3−2G1,(F1−F2)²,(F1−F2)(G2−G3) Q(y₀, . . . , y₄)^F²⁰ =Q

a²₁+a²₂,(a²₁−a²₂)a₃,a₁a₂a₃,a₃a₄,a₅

但し， a₁=F₁−F₂, a₂ =G₂−G₃, a₃=F₃−G₁,a₄ =F₁+F₂−G₂−G₃, a5=F1+F2−2F3−2G1+G2+G3.

3

(5)

研究業績

種類別題名、発表・発行掲載誌名、発表・発行年月、連名者（申請者含む）

論文

講演

“Geometric generalization of Gaussian period relations with application to Noether's problem for meta-cyclic groups”

Tokyo Journal of Mathematics (掲載決定)

連名者 Ki-ichiro Hashimoto, ○ Akinari Hoshi

“Families of cyclic polynomials obtained from geometric generalization of Gaussian period relations”

Mathematics of Computation (掲載決定)

連名者 Ki-ichiro Hashimoto, ○ Akinari Hoshi

“Multiplicative quadratic forms on algebraic varieties”

Proceedings of the Japan Academy, Series A, volume 79, no. 4, 71-75 2003 年 4 月

“7 次フロベニウス群に対するネーター問題とその生成的次元について”

日本数学会 2004 年度年会（於筑波大学）

2004 年 3 月

“Noether's Problem for meta-abelian groups”

早稲田大学整数論研究集会（於早稲田大学）

2004 年 3 月

“On the structure of the C̲8-fixed field of Q(x̲1,…,x̲8)”

研究集会「Galois の逆問題と Galois 被覆 III」（於香川大学）

2004 年 1 月

“Geometric generalization of Gaussian period relations with application to Noether's problem for meta-cyclic groups”

日本数学会 2003 年度秋期総合分科会（於千葉大学）

2003 年 9 月

連名者橋本喜一朗， ○ 星明考

“Quintic Jacobi sums and period polynomials for finite fields”

日本数学会 2003 年度年会（於東京大学）

2003 年 3 月

(6)

6

博 士 論 文 概 要

早稲田大学大学院理工学研究科