< 一般解の求め方 > < 1 階線形微分方程式 3 >

2010年度「数学3」

−29−

< 1 階線形微分方程式 3 >

例

t

の関数

y

に関する微分方程式

(1) dy

dt + 3y = e

^4t の一般解は

y = 1

7 e

^4t

+ Ce

^−3t

(C

は任意定数

)

である。

解であることは

dy

dt + 3y = 4

7 e

^4t

+ C × ¡

− 3e

^−3t

¢ + 3

µ 1

7 e

^4t

+ Ce

^−3t

¶

= e

^4t

よりわかる。

< ^{一般解の求め方} >

(1)

に対し，同次方程式

(2) dy

dt + 3y = 0

の一般解は

Ce

^−3tである。そこで

y

を

(3) y = C(t)e

^−3t

とおき

(1)

式を満たすように

C(t)

を定める。積の微分公式より

dy

dt + 3y = C

⁰

(t)e

^−3t

+ C(t) × ( − 3)e

^−3t

+ 3C(t)e

^−3t

= C

⁰

(t)e

^−3t

(1)

式より

dy

dt + 3y = C

⁰

(t)e

^−3t

= e

^4t とおくと

C

⁰

(t)e

^−3t

= e

^4t

⇓ C

⁰

(t) = e

^7t

C(t) = Z

e

^7t

dt = 1 7 e

^7t

+ C

であるから

(3)

式より

y = µ 1

7 e

^7t

+ C

¶

e

^−3t

= 1

7 e

^4t

+ Ce

^−3t

(

答

) y = 1

7 e

^4t

+ Ce

^−3t

(C

は任意定数

)

(

注

)

このような一般解の求め方を定数変化法という。

問 次の微分方程式を解け。

(1) dy

dt + 4y = e

^5t

(2) dy

dt − 2y = e

^5t

(3) dy

dt − 3y = e

^3t

(4) dy

dt + 4y = e

^−4t