２階の定数係数線形常微分方程式

(1)

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２階の定数係数線形常微分方程式

Exercise

^解答例

基本演習1 (阪大基礎工9) 微分方程式

y⁰⁰−2y⁰+ 5y= e^x+xe^x · · ·(∗) について、以下の問いに答えて下さい。

（１）対応した同次方程式の一般解を求めて下さい。

（２）y⁰⁰−2y⁰+ 5y= e^xの解を１つ求めて下さい。

（３）y⁰⁰−2y⁰+ 5y=xe^xの解を１つ求めて下さい。

（４）（＊）の一般解を求めて下さい。

（５）y(0) =a, y⁰(0) =bのときの（＊）の解を求めて下さい。

【解答例】折角ですのでここでは複素数を使ったやり方でやってみましょう。

（１）対応する同次方程式はy⁰⁰−2y⁰+ 5y= 0であり、特性多項式を因数分解すると t²−2t+ 5 = (t−1)²+ 4 = (t−1 + 2i)(t−1−2i)

ですので、

µ d

dx−1 + 2i

∂ µ d

dx−1−2i

∂

y(x) = 0 となり、ここで°_d

dx−1−2i¢

y(x) =w(x)とおけば、

µ d

dx−1 + 2i

∂

w(x) = 0 であり、両辺に指数関数を掛ければ

e⁽⁻^1+2i)xw⁰(x) + (−1 + 2i)e⁽⁻^1+2i)xw(x) = 0 n

e⁽⁻^1+2i)xw(x)o0

= 0 e⁽⁻^1+2i)xw(x) =C

w(x) =Ce⁽¹⁻^2i)x

となって、これを元に戻せば µ d

dx−1−2i

∂

y(x) =Ce⁽¹⁻^2i)x

e⁽⁻¹⁻^2i)xy⁰(x) + (−1−2i)e⁽⁻¹⁻^2i)xy(x) =Ce⁽¹⁻^2i)xe⁽⁻¹⁻^2i)x ne⁽⁻¹⁻^2i)xy(x)o0

=Ce⁽⁻^4i)x e⁽⁻¹⁻^2i)xy(x) =Ce⁽⁻^4i)x+D

y(x) =Ce⁽¹⁻^2i)x+De^(1+2i)x となります（C, Dは任意の定数）。実関数の範囲で書き直せば

y(x) =Ce^xcos 2x+De^xsin 2x となってこれが求める一般解です。

（２）明らかに¹

4e^xは解の一つです。

（３）y(x) =v(x)e^xと置くと、

{v⁰⁰(x) + 2v⁰(x) +v(x)}e^x−2{v⁰(x) +v(x)}e^x+ 5v(x)e^x=xe^x {v⁰⁰(x) + 4v(x)}e^x=xe^x

v⁰⁰(x) + 4v(x) =x となり、v(x) =¹₄x、従ってy(x) =¹₄xe^xは（３）の方程式の一つの解です。

（４）一般解は、対応した同次式の一般解と、特殊解の和でしたから、

y(x) =1 4e^x+1

4xe^x+Ce^xcos 2x+De^xsin 2x が求める一般解です（C, Dは任意の定数）。

（５）y(0) =aによれば、

a=1

4 +C すなわち、 C=a−1 4 であり、y⁰(0) =bによれば

b=1 4 +1

4 +C+ 2D= 1

4 +a+ 2D すなわち、 D=b−a 2 −1

8

(2)

なので、求める解は y(x) =1

4(1 +x)e^x+ µ

a−1 4

∂

e^xcos 2x+ µb−a

2 −1 8

∂

e^xsin 2x です。

基本演習2 (阪大基礎工13) y⁰⁰+ay⁰+by= 0の解y(x)を、

（１）b=−2a² （２）b=^a₄² （３）b= 2a² のときにそれぞれ求めて下さい（aは実定数とします）。

【解答例】（１）

y⁰⁰+ay⁰−2a²y= 0 µ d

dx+ 2a

∂ µ d dx−a

∂

y(x) = 0

ここで°_d

dx−a¢

µ d dx+ 2a

∂

w(x) = 0 e^2axw⁰(x) + 2ae^2axw(x) = 0

©e^2axw(x)™0

= 0 e^2axw(x) =C

w(x) =Ce⁻^2ax

となってw(x)の一般解が求まる（Cは任意の定数）。そこでw(x)を元に戻せば µ d

dx−a

∂

y(x) =Ce⁻^2ax e⁻^axy⁰(x)−ae⁻^axy(x) =Ce⁻^3ax

©e⁻^axy(x)™0

=Ce⁻^3ax e⁻^axy(x) =Ce⁻^3ax+D

y(x) =Ce⁻^2ax+De^ax を得る。これが求める一般解である（C, Dは任意の定数）。

（２）この場合方程式は

y⁰⁰+ay⁰+a² 4y= 0 であるが、左辺の微分作用素を因数分解すれば

y⁰⁰+ay⁰+a² 4y= 0 µ d

dx+a 2

∂2

y(x) = 0

ここで°_d

dx+^a₂¢

µ d dx+a

2

∂

w(x) = 0 e^a²^xw⁰(x) +a

2e^a²^xw(x) = 0

©e^a²^xw(x)™0

= 0 e^a²^xw(x) =C

w(x) =Ce⁻^a²^x

となってw(x)の一般解が求まる（Cは任意の定数）。そこでw(x)を元に戻せば µ d

dx+a 2

∂

y(x) =Ce⁻^a²^x e^a²^xy⁰(x) +a

2e^a²^xy(x) =C

©e^a²^xy(x)™0

=C e^a²^xy(x) =Cx+D

y(x) =Cxe⁻^a²^x+De⁻^a²^x を得る。これが求める一般解である（C, Dは任意の定数）。

（３）この場合方程式は

y⁰⁰+ay⁰+ 2a²y= 0 であるが、特性多項式が

t²+at+ 2a²=≥ t+a

2

¥2

+7a² 4 =

√ t+a

2 +i

√7a 2

! √ t+a

2 −i

√7a 2

!

(3)

Revised at 11:36, January 28, 2016 http://my.reset.jp/˜gok/math/advanced/ 3 であることから、y(x) = e⁻^a²w(x)とおけば、

y⁰(x) =−a

2e⁻^a²w(x) + e⁻^a²w⁰(x), y⁰⁰(x) = a²

4 e⁻â²^xw(x)−ae⁻â²w⁰(x) + e⁻â²w⁰⁰(x) なので、方程式は

0 =y⁰⁰+ay⁰+ 2a²y

= e⁻^a²w⁰⁰(x) + µa²

4 −a² 2 + 2a²

∂

e⁻^a²w(x)

=w⁰⁰(x) +7a² 4 w(x) となり、これは一般解

w(x) =Ccos

√7a

2 x+Dsin

√7a 2 x を持つ。従って、元の方程式の一般解は

y(x) =Ce⁻^a²cos

√7a

2 x+De⁻^a² sin

√7a 2 x である（C, Dは任意の定数）。

基本演習 3 (東大工11) 微分方程式y⁰⁰−2y⁰+ 5y= e^x, y(0) =p, y⁰(0) =qの解を求めて下さい。

【解答例】まず対応した同次式の一般解を求めます。特性多項式は t²−2t+ 5 = (t−1)²+ 4 = (t−1 + 2i)(t−1−2i) ですから、y(x) = e^xw(x)とおくと、

y⁰(x) = e^xw(x) + e^xw⁰(x), y⁰⁰(x) = e^xw(x) + 2e^xw⁰(x) + e^xw⁰⁰(x) より、

e^xw⁰⁰(x) + 4e^xw(x) = 0, すなわち w⁰⁰(x) + 4w(x) = 0

となって、この方程式は一般解w(x) =Ccos 2x+Dsin 2xをもちます。従って元の方程式（同次）の一般解は

y(x) =Ce^xcos 2x+De^xsin 2x

です（C, Dは任意の定数）。

また、元の非同次方程式は特殊解y(x) = ¹₄e^xを持つので一般解は y(x) =1

4e^x+Ce^xcos 2x+De^xsin 2x であり、これに初期条件を代入して係数を求めるとy(0) =pから

p=1

4 +C, すなわち C=p−1 4 であり、さらにy⁰(0) =qから

q= 1

4+C+ 2D=p+ 2D, すなわち D=q−p 2 となり、求める解は次の様になります：

y(x) = 1 4e^x+

µ p−1

4

∂

e^xcos 2x+q−p

2 e^xsin 2x.

基本演習4 (京大工13) y⁰⁰−4y⁰+ 3y= 0の一般解を求めて下さい。

【解答例】この方程式の左辺の微分作用素は µ d

dx−3

∂ µ d dx−1

∂

y(x) = 0 と因数分解されるので、°_d

dx−1¢

y(x) =w(x)とおけば µ d

dx−3

∂

w(x) = 0 w(x) =Ce^3x µ d

dx−1

∂

y(x) =Ce^3x e⁻^xy⁰(x)−e⁻^xy(x) =Ce^2x

©e⁻^xy(x)™0

=Ce^2x e⁻^xy(x) =Ce^2x+D

y(x) =Ce^3x+De^x となってこれが一般解です（C, Dは任意の定数）。

(4)

基本演習5 (神戸大理数17) y⁰⁰−(a+b)y⁰+aby= 0の一般解を求めて下さい。

【解答例】方程式を変形すると

y⁰⁰−ay⁰=b(y⁰−ay) (y⁰−ay)⁰=b(y⁰−ay)

y⁰−ay=Ce^bx であるから、両辺に指数関数を掛けて

e⁻âxy⁰−ae⁻âxy=Ce^(b⁻â)x

°e⁻^axy¢0

=Ce^(b⁻â)x e⁻âxy=Ce^(b⁻â)x+D

y=Ce^bx+De^ax となる（C, Dは任意の定数）。

基本演習 6 (名工大H9) （１）微分方程式y⁰⁰+ 2y⁰−3y = xe^xを解くために、

y(x) =z(x)e^xとおくと、微分方程式z⁰⁰+az⁰+bz=xが導かれる。定数a, bの値を求めて下さい。

（２）上で導かれた微分方程式z⁰⁰+az⁰+bz=xの一般解を求めて下さい。

【解答例】（１）y(x) =z(x)e^xとおけば、

y⁰⁰+ 2y⁰−3y=xe^x {z⁰⁰(x)e^x+ 2z⁰(x)e^x+z(x)e^x}+ 2{z⁰(x)e^x+z(x)e^x} −3z(x)e^x=xe^x z⁰⁰(x)e^x+ 4z⁰(x)e^x=xe^x

z⁰⁰(x) + 4z⁰(x) =x となるのでa= 4, b= 0である。

（２）（１）で求めた方程式

z⁰⁰(x) + 4z⁰(x) =x

に於いて、両辺に指数関数を書けると

e^4xz⁰⁰(x) + 4e^4xz⁰(x) =xe^4x

°e^4xz⁰(x)¢0

=xe^4x e^4xz⁰(x) =

Z

xe^4xdx

=1

4xe^4x−1 4

Z e^4xdx

=1

4xe^4x− 1

16e^4x+C z⁰(x) =1

4x− 1

16+Ce⁻^4x z(x) =1

8x²− 1

16x+Ce⁻^4x+D となって一般解が求められた（C, Dは任意の定数）。

基本演習7 (名工大14) 定数係数２階線形微分方程式 y⁰⁰−y⁰−2y= 20 cos 2x

の初期条件y(0) = 2, y⁰(0) =−4を満たす解y(x)を求めて下さい。

【解答例】この方程式の左辺の微分作用素を因数分解すれば µ d

dx−2

∂ µ d dx+ 1

∂

y(x) = 20 cos 2x

であるので、°_d

dx+ 1¢

µ d dx−2

∂

w(x) = 20 cos 2x

となる。そこで両辺に指数関数を掛ければ e⁻^2xw⁰(x)−2e⁻^2xw(x) = 20e⁻^2xcos 2x

°e⁻^2xw(x)¢0

= 20e⁻^2xcos 2x e⁻^2xw(x) = 20

Z

e⁻^2xcos 2xdx

(5)

Revised at 11:36, January 28, 2016 http://my.reset.jp/˜gok/math/advanced/ 5 であるが、ここで右辺の積分計算を行うと、

Z

e⁻^2xcos 2xdx= 1

−2e⁻^2xcos 2x− Z 1

−2e⁻^2x(−2) sin 2xdx

=−1

2e⁻^2xcos 2x− Z

e⁻^2xsin 2xdx

=−1

2e⁻^2xcos 2x− 1

−2e⁻^2xsin 2x+ Z 1

−2e⁻^2x2 cos 2xdx 2

Z

e⁻^2xcos 2xdx=−1

2e⁻^2xcos 2x− 1

−2e⁻^2xsin 2x+C Z

e⁻^2xcos 2xdx=−1

4e⁻^2xcos 2x+1

4e⁻^2xsin 2x+C

となっているからこれを戻してやれば

e⁻^2xw(x) = 20 µ

−1

4e⁻^2xcos 2x+1

4e⁻^2xsin 2x+C

∂

w(x) =−5 cos 2x+ 5 sin 2x+Ce^2x

となり、更にy(x)に戻せば

µ d dx+ 1

∂

y(x) =−5 cos 2x+ 5 sin 2x+Ce^2x

となる。そこで両辺に指数関数を掛ければ

e^xy⁰(x) + e^xy(x) =−5e^xcos 2x+ 5e^xsin 2x+Ce^3x (e^xy(x))⁰ =−5e^xcos 2x+ 5e^xsin 2x+Ce^3x

e^xy(x) =−5 Z

e^xcos 2xdx+ 5 Z

e^xsin 2xdx+Ce^3x+D

となる。ここで右辺の積分を計算すれば、

Z

e^xcos 2xdx+i Z

e^xsin 2xdx

= Z

e^x(cos 2x+isin 2x)dx

= Z

e^(1+2i)xdx

= 1

1 + 2ie^(1+2i)x

= 1−2i 5 e^xe^2ix

= 1−2i

5 e^x(cos 2x+isin 2x)

= 1

5e^xcos 2x+2

5e^xsin 2x+i µ

−2

5e^xcos 2x+1

5e^xsin 2x

∂

より、

Z

e^xcos 2xdx= 1

5e^xcos 2x+2

5e^xsin 2x, Z

e^xsin 2xdx=−2

5e^xcos 2x+1

5e^xsin 2x なので（積分定数は省略した）、これを代入してやって

e^xy(x) =−5 Z

e^xcos 2xdx+ 5 Z

e^xsin 2xdx+Ce^3x+D

=−5 µ1

5e^xcos 2x+2

5e^xsin 2x

∂ + 5

µ

−2

5e^xcos 2x+1

5e^xsin 2x

∂

+Ce^3x+D

=−3e^xcos 2x−e^xsin 2x+Ce^3x+D y(x) =−3 cos 2x−sin 2x+Ce^2x+De⁻^x

を得る。これが問題の方程式の一般解である。

後は与えられた初期条件によって係数を決定してやれば良い。

y(0) = 2によれば、2 =−3 +C+Dであり、y⁰(0) =−4によれば−4 =−2 + 2C−D であるから、連立方程式： 





C+D= 5 2C−D=−2

(6)

が得られ、これを解けばC= 1, D= 4となる。従って求める解は y(x) =−3 cos 2x−sin 2x+ e^2x+ 4e⁻^x である事が分かる。

基本演習8 (東工大15) 微分方程式

y⁰⁰+ 2y⁰+y= e^x

の解で、y(0) = 1, y⁰(0) = ₄^e を満たすものを求めて下さい。

【解答例】まず同次式の一般解を求めよう。特性多項式は t²+ 2t+ 1 = (t+ 1)²

であるから、この方程式の左辺の微分作用素は因数分解すると µ d

dx+ 1

∂2

y(x) = 0 となるので、°_d

dx+ 1¢

µ d dx+ 1

∂

w(x) = 0 w(x) =Ce⁻^x µ d

dx+ 1

∂

y(x) =Ce⁻^x e^xy⁰(x) + e^xy(x) =C

e^xy(x) =Cx+D y(x) =Cxe⁻^x+De⁻^x となってこれが同次式の一般解である（C, Dは任意の定数）。

また、元の非同次式は特殊解y(x) = ¹₄e^xを持つので結局非同次式の一般解は y(x) = 1

4e^x+Cxe⁻^x+De⁻^x である。これに初期条件を代入して係数を決定すれば良い。

y(0) = 1から1 = ¹₄ +Dであり、y⁰(0) = ^e₄ によれば ^e

4 = ¹₄+C−Dとなるので C=^e+2₄ , D=³₄ であるから、求める解は

y(x) = 1

4e^x+e + 2

4 xe⁻^x+3 4e⁻^x となる事が分かった。

発展演習9 (京大工14) 微分方程式y⁰⁰+ 9y= 7 sin 3xにおいて z(x) =

µ d dx+ 3i

∂ y(x) として以下の問いに答えて下さい。

（１）°_d

dx−3i¢

z(x) = 7 sin 3xをz(x)について解いて下さい。

（２）今求めたz(x)に対して、°_d

dx+ 3i¢

y(x) =z(x)をy(x)について解いて下さい。

【解答例】（１）両辺に指数関数を掛ければ

e⁻^3ixz⁰(x)−3ie⁻^3ixz(x) = 7e⁻^3ixsin 3x

°e⁻^3ixz(x)¢₀

= 7e⁻^3ixsin 3x e⁻^3ixz(x) = 7

Z

e⁻^3ixsin 3xdx

= 7 Z

e⁻^3ix1 2i

°e^3ix−e⁻^3ix¢ dx

= 7 2i

Z °1−e⁻^6ix¢ dx

= 7 2ix− 7

12e⁻^6ix+C z(x) = 7

2ixe^3ix− 7

12e⁻^3ix+Ce^3ix

となってこれが求める一般解である（Cは任意の複素定数）。

（２）（１）の結果によれば µ d

dx+ 3i

∂

y(x) = 7

2ixe^3ix− 7

12e⁻^3ix+Ce^3ix

(7)

Revised at 11:36, January 28, 2016 http://my.reset.jp/˜gok/math/advanced/ 7 であるので、両辺に指数関数を掛けて

e^3ixy⁰(x) + 3ie^3ixy(x) = 7

2ixe^6ix− 7

12+Ce^6ix

°e^3ixy(x)¢0

= 7

2ixe^6ix− 7

12+Ce^6ix e^3ixy(x) = 7

2i Z

xe^6ixdx− 7

12x+Ce^6ix+D

= 7 2ix1

6ie^6ix− 7 2i

Z 1

6ie^6ixdx− 7

12x+Ce^6ix+D

=−7

12xe^6ix− 7

2i·6i·6ie^6ix− 7

12x+Ce^6ix+D y(x) =−7

12xe^3ix+ 7

72ie^3ix− 7

12xe⁻^3ix+Ce^3ix+De⁻^3ix

=−7

6xcos 3x+ 7

72ie^3ix+Ce^3ix+De⁻^3ix となる。ここで ⁷

72i の項は任意定数Cの中に吸収させてしまえば

=−7

6xcos 3x+Ce^3ix+De⁻^3ix となるが、実数関数の範囲で書けばこれは

=−7

6xcos 3x+Ccos 3x+Dsin 3x となる（C, Dは任意の定数）。

基本演習10 (農工大26) 微分方程式

y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y= e⁻^2x 1 +x²

の解y=y(x)のうちで条件y(0) = 0, y⁰(0) = ¹₂を満たすものを求めて下さい。

【解答例】変形すると µ d

dx+ 2

∂2

y(x) = e⁻^2x 1 +x²

ですから、ここでy(x) =g(x)e⁻^2xと置けば g⁰⁰(x)e⁻^2x= e⁻^2x

1 +x² g⁰⁰(x) = 1

1 +x² g⁰(x) = Tan⁻¹x+C

g(x) = Z

Tan⁻¹xdx+Cx+D

=xTan⁻¹x− Z x

1 +x²dx+Cx+D

=xTan⁻¹x−1

2log(1 +x²) +Cx+D となります。従って一般解はC, Dを任意定数として

y(x) = Ω

xTan⁻¹x−1

2log(1 +x²) +Cx+D æ

e⁻^2x

となります。ここで初期条件を考慮してC, Dを決定します。まずy(0) = 0によれば D= 0であり、y⁰(0) = ¹₂によれば

y⁰(x) ={g⁰(x)−2g(x)}e⁻^2x

=©

Tan⁻¹x+C−2xTan⁻¹x+ log(1 +x²)−2Cx™ e⁻^2x 1

2 =C となって結局

y(x) = Ω

xTan⁻¹x−1

2log(1 +x²) +1 2x

æ e⁻^2x となります。

基本演習11 (農工大27) 微分方程式y⁰⁰+ 3y= cos√

3xの解y=y(x)が、y(0) = 1, y⁰(0) = 1を満たすときyを求めてください。

【解答例】まず一般解を求めますが、対応した同次方程式の一般解は明らかにy = Ccos√

3x+Dsin√

3xですから、後は非同次式の解を１つ見つければ良い事になります。

(8)

非同次項が cos√

3x であってこれは同次式の解になってしまっていますから、 axcos√

3x+bxsin√

3xの形の解がないか探してみましょう。すると

≥

axcos√

3x+bxsin√ 3x¥00

+ 3≥

axcos√

3x+bxsin√ 3x¥

= cos√ 3x

≥ 2√

3b−1¥ cos√

3x−2√

3asin√ 3x= 0 ですからa= 0, b= ₂√¹

3であれば良い事が分かります。従って問題の方程式の一般解は y(x) =Ccos√

3x+Dsin√

3x+ 1 2√

3xsin√ 3x

である事が分かりました。後は初期条件を満たす様にC, Dを決めれば良く、まずy(0) = 1 からC= 1であり、またy⁰(0) = 1によれば

y⁰(x) =−√

3Csin√ 3x+√

3Dcos√

3x+ 1 2√

3sin√ 3x+1

2xcos√ 3x 1 =√

3D となってD= √¹

3が分かります。以上から求める解は y(x) = cos√

3x+x+ 2 2√

3 sin√ 3x である事が分かりました。

基本演習12 (東工大26) 次の問に答えて下さい。

（１）微分方程式y⁰⁰+y= 0の一般解を求めて下さい。

（２）微分方程式y⁰⁰+y= e⁻^xの一般解を求めて下さい。

【解答例】（１）cosx,sinxは共に明らかに問題の微分方程式を満たしています。したがって求める一般解はy=Ccosx+Dsinxです（C, Dは任意の定数）。

（２）対応した同次方程式の一般解は（１）で分かっていますから、後はこの非同次式の解の１つを見つければ良い事になります。

非同次項がe⁻^xですから、Ae⁻^xの形の解を探せば、

Ae⁻^x+Ae⁻^x= e⁻^x からA= ¹₂であれば良いので、結局求める一般解は

y(x) =Ccosx+Dsinx+1 2e⁻^x

です（C, Dは任意の定数）。

基本演習13 (神戸大27) 未知関数y=y(x)に関する以下の各微分方程式に対し、

その一般解を求めて下さい。

（１）2y⁰⁰−5y⁰+ 2y= 0 （２）2y⁰⁰−5y⁰+ 2y= e^x.

【解答例】（１）特性方程式は0 = 2t²−5t+ 2 = (2t−1)(t−2)ですから、同様に方程

式も µ

d dx−1

2

∂ µ d dx−2

∂

y(x) = 0 と変形されます。ここで°_d

dx−2¢

y(x) =z(x)と置けば、

µ d dx−1

2

∂

z(x) = 0 からz(x) =Ce¹²^xです（Cは任意の定数）。これを戻せば

µ d dx−2

∂

y(x) =Ce¹²^x

であって、この方程式に対応した同次方程式の一般解はy(x) =De^2xです（Dは任意の定数）。また、この方程式の解の１つをP Ce¹²^xの形で探せば、P =−²3であれば良いのでy(x) =De^2x−²₃Ce¹²^xがこの方程式の一般解となります。整理して書けばもとの方程式の一般解は

y(x) =Ce¹²^x+De^2x です（C, Dは任意の定数）。

（２）対応した同次式の一般解は求まりましたから、この方程式の１つの解が求まれば良い事になります。y(x) =Ae^xが解であると仮定するとA=−1であれば良いので、

結局求める一般解は

y(x) =Ce¹²^x+De^2x−e^x です（C, Dは任意の定数）。

基本演習14 (三重大26) 次の微分方程式の解を求めて下さい：

y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 0.

(9)

【解答例】こんな解き方は許されるでしょうか・・・

e^2xは明らかに方程式を満たしています。また、xe^2xも、

°xe^2x¢₀₀

−4° xe^2x¢₀

+ 4xe^2x= 4e^2x+ 4xe^2x−4e^2x−8xe^2x+ 4xe^2x= 0 であって解になっています。従って線形微分方程式の解の任意の一次結合はまた解である事から

y(x) = (A+Bx)e^2x が求める一般解です（A, Bは任意の定数）。

基本演習 15 (北大26) 以下の微分方程式の一般解を求めて下さい。なお、途中の計算手順も詳しく記述して下さい。

y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y= 0.

【解答例】微分作用素を因数分解すれば µ d

dx+ 1

∂ µ d dx+ 2

∂

y(x) = 0 ですが、ここで°_d

dx+ 2¢

y(x) =z(x)と置けば z⁰+z= 0

となり、これはz(x) =Ce⁻^xである事を意味します（Cは任意の定数）。

従って µ

d dx+ 2

∂

y(x) =Ce⁻^x であり、ここでy(x) = e⁻^2xg(x)と置けば

g⁰(x)e⁻^2x=Ce⁻^x g⁰(x) =Ce^x

g(x) =Ce^x+D （Dは任意の定数）

y(x) = e⁻^2xg(x) =Ce⁻^x+De⁻^2x

が分かります。従って求める一般解はy(x) = Ce⁻^x+De⁻^2xです（C, Dは任意の定数）。

基本演習16 (神戸大26) 微分方程式y⁰⁰−2y⁰ =xe^2x について以下の問いに答えて下さい。

（１）この方程式はy= (Ax²+Bx)e^2x(A, B は定数)の形の特殊解を持つことを示し、A, Bを決めて下さい。

（２）この方程式の一般解を求めて下さい。

【解答例】（１）y= (Ax²+Bx)e^2xを方程式の左辺に代入すれば

−2©

(Ax²+Bx)e^2x™0

=©

2A+ 2(2Ax+B)2 + 4(Ax²+Bx)™

e^2x−2©

(2Ax+B) + 2(Ax²+Bx)™ e^2x

= (4Ax+ 2A+ 2B)e^2x

となるので、問題の微分方程式を満たすためにはA= ¹₄, B=−¹₄であれば良い事が分かります。

（２）対応した同次方程式y⁰⁰−2y⁰= 0においてy⁰=zと置けばz⁰−2z= 0ですから明らかにz=Ce^2xです（Cは任意の定数）。

従ってy⁰ =Ce^2xですから両辺積分すればy= ˜Ce^2x+Dを得ます（C, D˜ は任意の定数）。

以上から求める一般解はy=Ce^2x+D+¹₄(x²−x)e^2xです（C, Dは任意の定数）。

基本演習17 (滋賀県立大26) （１）未知関数y =y(x)に対する２階定数係数同次線形常微分方程式y⁰⁰−8y⁰+ 16y= 0の一般解を求めて下さい。

（２）２階定数係数非同次線形常微分方程式y⁰⁰−8y⁰+ 16y= 2 cosxの特殊解を求めて下さい(特殊解をy(x) =Asinx+Bcosxと仮定してよい）。

（３）上記（２）の非同次線形常微分方程式の一般解を書き下して下さい。

【解答例】（１）微分作用素を使って方程式を変形すれば µ d

dx−4

∂2

y(x) = 0 ですから、y(x) =g(x)e^4xと置けば

g⁰⁰(x)e^4x= 0

(10)

が得られます。従ってg⁰⁰(x) = 0であってC, Dを任意定数としてg(x) =Cx+Dとなりますから求める一般解は

y(x) = (Cx+D)e^4x です。

（２）y(x) =Asinx+Bcosxを方程式の左辺に代入すれば

(Asinx+Bcosx)⁰⁰−8 (Asinx+Bcosx)⁰+ 16 (Asinx+Bcosx)

=−Asinx−Bcosx−8(Acosx−Bsinx) + 16Asinx+ 16Bcosx

= (15A+ 8B) sinx+ (15B−8A) cosx ですからこれが問題の非同次方程式の解であるためには





15A+ 8B= 0 15B−8A= 2 であれば良く、この連立方程式を解けば

√15 8

−8 15

! √A B

!

=

√0 2

!

√A B

!

=

√15 8

−8 15

!−1√ 0 2

!

= 1 289

√15 −8 8 15

! √0 2

!

= 1 289

√−16 30

!

が得られますので求める特殊解は y(x) =−16

289sinx+ 30 289cosx です。

（３）以上の結果から非同次式の一般解は y(x) = (Cx+D)e^4x− 16

289sinx+ 30 289cosx です（C, Dは任意の定数）。

発展演習18 (佐賀大26) f(t) =Ae⁻^∏tsin(ωt+θ)が解となるような、tを独立変数とするf の２階微分方程式を一つ書いて下さい。ここでA, ∏, ω, θ は定数とします。

【解答例】線形方程式の範疇で考えれば定数係数は気にしなくて良くなります。

まず

sin(ωt+θ) =e^i(ωt+θ)−e⁻^i(ωt+θ) 2i

に注意すれば

e⁻^∏tsin(ωt+θ) =e⁽⁻^{∏+iω)t+iθ}−e⁽⁻^∏⁻^iω)t+iθ 2i

ですから、共役複素数−∏±iωを解とする２次方程式を考えます。それは解と係数の関係から

p²+ 2∏p+∏²+ω²= 0 です。従ってこれを特性方程式とする微分方程式：

f⁰⁰+ 2∏f⁰+ (∏²+ω²)f = 0 は題意を満たします。実際に計算すれば

+ 2∏©

Ae⁻^∏tsin(ωt+θ)™0

+ (∏²+ω²)Ae⁻^∏tsin(ωt+θ)

=A∏²e⁻^∏tsin(ωt+θ)−2A∏ωe⁻^∏tcos(ωt+θ)−Aω²sin(ωt+θ)

−2∏²Ae⁻^∏sin(ωt+θ) + 2∏ωe⁻^∏cos(ωt+θ) + (∏²+ω²)Ae⁻^∏tsin(ωt+θ)

= 0

となって確かに解になっています。

発展演習19 (千葉大27) 次の微分方程式の一般解y(x)を求め、与えられた初期条件を満たす解曲線の概形を図示してください。

y⁰⁰+ 2y⁰+ 17y= 0, x≥0 初期条件：y(0) = 1, y⁰(0) =−1

(11)

【解答例】微分作用素を使って変形すれば µ d

dx+ 1

∂2

y(x) + 16y(x) = 0 ですが、ここでy(x) =z(x)e⁻^xと置けば

z⁰⁰(x)e⁻^x+ 16z(x)e⁻^x= 0 z⁰⁰(x) + 16z(x) = 0

z⁰⁰(x) =−16z(x) ですからこれは簡単に解けて

z(x) =Acos 4x+Bsin 4x です（A, Bは任意の定数）。従って一般解は

y(x) =Ae⁻^xcos 4x+Be⁻^xsin 4x です。

初期条件によれば、まず1 =y(0) =Aであり、

y⁰(x) =−e⁻^xcos 4x−4e⁻^xsin 4x−Be⁻^xsin 4x+ 4Be⁻^xcos 4x y⁰(0) =−1 + 4B

とy⁰(0) =−1によればB= 0です。従って与えられた初期条件を満たす解は y(x) = e⁻^xcos 4x

です。後は省略。

発展演習20 (奈良女26) 微分方程式に関する以下の問いに答えて下さい。

（１）次の微分方程式の一般解を求めて下さい。

y⁰= y+ 1 x²+ 2x

（２）解の形としてx=ae^iωtを仮定し、以下に示す手順で微分方程式 mx⁰⁰(t) =−kx−∏x⁰(t)

を解く事にします。ここでaは正の実定数でωは複素定数とすします。

（ａ）x⁰(t)を計算し、それをxを用いて表して下さい。

（ｂ）x⁰⁰(t)を計算し、それをxを用いて表して下さい。

（ｃ）ωが満たすべき方程式を導いて下さい。

（ｄ）上で求めた方程式を解くことによってωを求めて下さい。

【解答例】（１）は今回の範囲の話ではないです。次回の範囲ですのでここでは省略。

（２）手順に従ってやるだけなのでまあ良いでしょう。興味のある方は自分でやるでしょうし。