= e < 1 階線形微分方程式 1 >

2010年度「数学3」

−27−

< 1 階線形微分方程式 1 >

t

の関数

p(t)

と

q(t)

が与えられたとき、未知関数

y

に関する次の形の微分方程式

(1) dy

dt + p(t)y = q(t)

を

1

階線形微分方程式という。ここで線形というのは未知関数

y

とその導関数 ^dy

dt に関する一次式 であることを意味する。

¡

y

³ や

(

^dy_dt

)

² などのある微分方程式は非線形という。

¢

特に

q(t) = 0

のとき

(2) dy

dt + p(t)y = 0

の形の微分方程式を

1

階線形同次微分方程式という。これは移行すると

dy

dt = − p(t)y

となって変数分離形である。変数分離の方法で解を求めると、

(2)

の一般解は

( ∗ ) y = ^C e ⁻

R p(t)dt

(C

は任意定数

)

となる。今後は

( ∗ )

式を

(2)

の解の公式として使って良い。

例

dy

dt + 6t

²

y = 0

の一般解は

y = Ce

^−2t3

(C

は任意定数

)

である。

(

注

) − Z

6t

²

dt = − 2t

³

+ C

1

(C

1は積分定数

)

だから、公式

( ∗ )

より

y = Ce

^−2t3+C1となるが

Ce

^−2t3+C1

= Ce

^C1

× e

^−2t2 とかけるので

Ce

^C1 を任意定数とみなし、

C

におきかえる。

問 次の微分方程式を解け。（ただし

a

は定数とする。）

(1) dy

dt + ay = 0 (2) dy

dt − 10ty = 0 (3) dy

dt + (6t

²

+ 1)y = 0