次の１階方程式の一般解を求めよ．

２００７年微分方程式（ 夜）中間試験問題 2007年6月30日(土)実施

解答は結果だけでなく，それに至る過程を記述すること．結果のみの解答の場合，その問の得点は零点と する．特に１階線形方程式の一般解の公式に直接代入して求めた解答は零点とする．

1. y1= e^x2−1

2

は次の常微分方程式の解であることを示せ．

y−x−2xy= 0 2.

次の１階常微分方程式の特殊解を求めよ．

y =xcos 2x, y(0) = 1 3.

次の１階方程式の一般解を求めよ．

(1)

y−y=e^−x (2)

y−y x =y²

x² (3)

y=xy(1−y) 4.

１階の方程式

y=y²− 2 x²

の解

を用いて，この方程式を１階線形方程式に帰着せよ．

[解答]

1. y1=e^x2−1

2

について，

y₁ = 1

22xe^x2 =xe^x2.

よって

y₁ −x−2xy1=xe^x2−x−2xe^x2−1 2 = 0. y1

は解である．

2.

まず一般解を求めると

xcos 2xdx+C=1

2xsin 2x+1

4cos 2x+C.

初期条件により，

y(0) = 1

4+C= 1, ∴ C= 3 4.

特殊解

y= 1

2xsin 2x+1

4cos 2x+3 4

を得る．

3. (1)

１階線形方程式．一般解は

y=Ce^x−1 2e^−x. (2)

同次形であるから，

とおくと，

y=z+xz

代入すると，

よって

1

z²dz=

1

xdx+C.

∴ z=− 1 C+ log|x|.

∴ y =− x C+ log|x|.

別解として，方程式は

のベルヌーイ型であるから

として

についての１階線形方程式に 帰着できる．

(3)

変数分離形だから

1

y(1−y)dy=

xdx+C

∴

1

y + 1

1−ydy= x² 2 +C

∴ log|y| −log|1−y|= x²

2 +C, ∴ log

y

1−y =x²

2 +C.

よって

y

1−y =Ce^x22 y

について解くと

y= 1− 1 1 +Ce^x22. 4. y₁=y₁²−_x²2

であるから，辺辺引くと

(y−y1)= (y²−y₁²) = (y−y1)(y−y1+ 2y1)

∴ (y−y1)−2y1(y−y1) = (y−y1)². z=y−y1

とおくと，

z−2y1z=z².

これは

のベルヌーイ型であるから，両辺に

をかけると，

z⁻²z−2y1z⁻¹= 1. (z⁻¹) =−z⁻²z

であることに注意して

−z⁻²z+ 2y1z⁻¹=−1

と変形をして，

とおくと，

w+ 2y1w=−1, ∴ w+ 2

xw=−1.

これは１階線形である．

K.U.