2010年度「数学3」 −34−
< 定数係数 2 階線形同次微分方程式 1 >
定数a, bに対し、tの関数yに関する微分方程式
(∗) d2y dt2 +ady
dt +by= 0
を定数係数2階線形同次微分方程式という。
例 前のページ例の微分方程式
(1) d2y dt2 −5dy
dt + 6y= 0
の2つの基本解はe2tとe3tであった。この基本解を求めるには 次のように考えればよい。
< 基本解の求め方 >
基本解をeλtとすると、微分方程式(1)をみたすから d2
dt2(eλt)−5d
dt(eλt) + 6eλt = 0 すなわち λ2eλt−5λeλt+ 6eλt= (λ2−5λ+ 6)eλt= 0
従って λ2−5λ+ 6 = (λ−2)(λ−3) = 0
よってλ= 2またはλ= 3より基本解はe2tまたはe3tとなる 。 一般の定数係数2階線形同次微分方程式(∗)において、λに関する2次方程式
(∗∗) λ2+aλ+b= 0
を(∗)の特性方程式という。(∗)の解を求めるためには(∗∗)の解を求めればよい。
問 次の微分方程式の一般解を求めよ。
(1) d2y dt2 −3dy
dt + 2y= 0 (2) d2y
dt2 + 4dy
dt + 3y= 0
(3) d2y dt2 −3dy
dt −4y= 0 (4) d2y
dt2 −16y= 0
