2010年度「数学3」 −28−
< 1 階線形微分方程式 2 >
例
t
の関数y
に関する微分方程式(1) dy
dt + 3y = 5
の一般解はy = 5
3 + Ce
−3t(C
は任意定数)
である。解であることは
dy
dt + 3y = d dt
µ 5
3 + Ce
−3t¶ + 3
µ 5
3 + Ce
−3t¶
= 0 − 3Ce
−3t+ 5 + 3Ce
−3t= 5
よりわかる。
< 一般解の求め方 >
(1)
に対し，同次方程式(2) dy
dt + 3y = 0
の一般解は
Ce
−3tである。そこでy
を(3) y = C(t)e
−3tとおき
(1)
式を満たすようにC(t)
を定める。積の微分公式よりdy
dt + 3y = (C(t))
0× e
3t+ C(t) × (e
−3t)
0+ 3y = C
0(t)e
−3t+ C(t) × ( − 3)e
−3t+ 3C(t)e
−3t= C
0(t)e
−3t(1)
式よりdy
dt + 3y = C
0(t)e
−3t= 5
とおくと
C
0(t) = 5e
3tC(t) =
Z
C
0(t)dt = Z
5e
3tdt = 5 3 e
3t+ C
であるから
(3)
式よりy =
µ 5 3 e
3t+ C
¶
e
−3t= 5
3 + Ce
−3t(答) y = 5
3 + Ce
−3t(C
は任意定数)問 次の微分方程式を解け。ただし
