< 2 階線形微分方程式 >

2010年度「数学3」 −32−

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階線形微分方程式

与えられた関数a(t)，b(t)，F(t)に対し，未知関数yに関する微分方程式

(∗)₁ d²y

dt² +a(t)dy

dt +b(t)y =F(t)

を2階線形微分方程式という。この形の微分方程式は場合に応じて解の形が違うが，共通して次の基本 定理が成り立つ。

<基本定理>

任意の数t0と定数α，βに対して

(∗)2 y(t0) =α, y⁰(t0) =β

を満たす(∗)₁の解y=y(t)がただ一つ存在する。

通常はt0= 0の場合を考えるので，条件(∗)2を初期条件という。

(∗)₁でF(t) = 0の場合の微分方程式 (∗)0

d²y

dt² +a(t)dy

dt +b(t)y = 0

を2階線形同次微分方程式という。基本定理から次のことが証明される。

定理 (∗)₁の任意の解y=y(t)は

(∗)3 y(t) =y_∗(t) +C1y1(t) +C2y2(t) (C1, C2は任意定数)

と表される。ここでy_∗(t)は(∗)₁の解であり，y₁(t)とy₂(t)は(∗)₀の解でy₂(t)

y1(t)は定数ではない。

この定理の証明は付録4(P.53)。y1(t)とy2(t)は同次微分方程式(∗)0の基本解という。y_∗(t)は微分方程式 (∗)1の特殊解という。(∗)3を(∗)1の一般解と呼ぶ。

例 ^d2y

dt² =−10の一般解はy(t) =−5t²+C1t+C2 (C1, C2は任意定数) 問 次の微分方程式の一般解を求めよ。

(1)d²y

dt² = 8 (2)d²y

dt² = 6t+ 2