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２階の定数係数線形常微分方程式
1
同次方程式1.1
特性方程式による一般解の分類一般に微分方程式：
y 00 (x) + ay 0 (x) + by(x) = 0
（a, b
は実数）の一般解は、その特性２次方程式
w 2 + aw + b = 0
の２つの解の様子で分類すれば次の いずれかに当てはまります（C 1 , C 2
は任意の定数）：特性方程式の解 微分方程式の一般解 相異なる実数解
w 1 , w 2 y(x) = C 1 e w
1x + C 2 e w
2x
実重解w y(x) = C 1 xe wx + C 2 e wx
共役な２つの複素数解
r ± iq y(x) = C 1 e rx cos qx + C 2 e rx sin qx
1.2
基本的な計算と微分作用素による記述１階の微分方程式：
f 0 (x) + pf(x) = 0
の両辺にe px
を掛けると0 = f 0 (x)e px + pf(x)e px = { f (x)e px } 0
と云う風に積の微分法と見る事が出来、微分が
0
となるのは定数関数でしたからf (x)e px = C
従って、f (x) = Ce − px
が分かります（
C
は任意の定数）。これを更に別の見方で見てみましょう。
今やった計算は、要するに
f (x)e px = g(x)
と置けばg(x)
が定数関数であることが分 かると云うわけなんですが、これはつまりf (x) = g(x)e − px
と置くと云う事であって、これを微分方程式の左辺に代入してみると
f 0 (x) + pf (x) = ©
g(x)e − px ™ 0
+ pg(x)e − px = g 0 (x)e − px
となっています。
一般に関数を食べて関数を吐き出す 関数 の事を作用素と呼ぶ事にすれば、関数を 微分すると云う作用素
dx d
と関数を定数倍すると云う作用素の和を使ってµ d dx + p
∂
h(x) = d
dx h(x) + ph(x) = h 0 (x) + ph(x)
と書く事が出来ますが、更に
D = dx d + p
と書くことにすればさっきの計算はDf (x) = g 0 (x)e − px
と書く事が出来ます。これを繰り返せば次が成り立つことが分かります：
事実
1.1 D = dx d + p
と置けば、以下が成り立ちます：D n ©
g(x)e − px ™
= g (n) (x)e − px .
1.3
相異なる実数解の場合の具体例1.3.1
因数分解法 〜１階の微分方程式を２回解く事に帰着する〜微分作用素による記述を採用すれば微分方程式：
f 00 (x) − 5f 0 (x) + 6f (x) = 0
はあたかも左辺を因数分解するかの様にµ d dx − 3
∂ Ωµ d dx − 2
∂ f (x)
æ
= 0
と変形する事が出来ます。ここで° d
dx − 2 ¢
f (x) = h(x)
と置けば、方程式はµ d
dx − 3
∂
h(x) = 0
と書く事が出来、これは簡単に一般解
h(x) = C 1 e 3x
が求まります（C 1
は任意の定数）。そこで元の
f (x)
に戻してやればµ d
dx − 2
∂
f(x) = C 1 e 3x · · · ( ∗ )
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ですからまたここでf (x) = g(x)e 2x
と置けば、g 0 (x)e 2x = C 1 e 3x g 0 (x) = C 1 e x
g(x) = C 1 e x + C 2
f (x) = C 1 e 3x + C 2 e 2x
（C 1 , C 2
は任意の定数）となって一般解が求まります。あるいは
g(x)
は導入せずに直接( ∗ )
式を書き直してf 0 (x) − 2f(x) = C 1 e 3x
f 0 (x)e − 2x − 2f (x)e − 2x = C 1 e x
° f (x)e − 2x ¢ 0
= C 1 e x f (x)e − 2x = C 1 e x + C 2
f(x) = C 1 e 3x + C 2 e 2x
と計算しても良いでしょう。1.3.2
平方完成法 〜自明な２階方程式に帰着する〜同様の記法を使えば同じ微分方程式はあたかも左辺を平方完成するかの様に
0 = f 00 (x) − 5f 0 (x) + 6f (x) =
µ d dx − 5
2
∂ 2
f (x) − 25
4 f (x) + 6f (x) µ d
dx − 5 2
∂ 2
f (x) = 1 4 f (x)
と変形する事が出来ます。ここで
f (x) = g(x)e
52x
と置けば、最初に注意した事実からµ d
dx − 5 2
∂ 2
f (x) = g 00 (x)e
52x
となっているので、先の方程式は
g 00 (x)e
52x = 1
4 g(x)e
52x
すなわち、g 00 (x) = 1 4 g(x)
と変形する事が出来ます。これは簡単に一般解が求められてg(x) = C 1 e
12x + C 2 e −
12x
でした（
C 1 , C 2
は任意定数）から、結局もとのf (x)
に戻してやればg(x)e
52x = C 1 e
12x e
52x + C 2 e −
12x e
52x
すなわち、f (x) = C 1 e 3x + C 2 e 2x
という具合に求める一般解が求まりました。1.4
実重解の場合の具体例f 00 (x) − 6f 0 (x) + 9f (x) = 0
この微分方程式も同様の記法に従えばµ d dx − 3
∂ 2
f (x) = 0
と書く事が出来ますが、ここで
f(x) = g(x)e 3x
と置けば0 =
µ d dx − 3
∂ 2
f (x) = g 00 (x)e 3x ,
従ってg 00 (x) = 0
となってこれは簡単に解が求まってg(x) = C 1 x + C 2
（C 1 , C 2
は任意の定数）です。最後にこれを
f (x)
に戻してやれば一般解は次の通りです：f (x) = C 1 xe 3x + C 2 e 3x .
1.5
共役な２つの複素数解の場合の具体例1.5.1
平方完成法f 00 (x) − 2f 0 (x) + 5f (x) = 0
も、同様の記法によってあたかも左辺を平方完成するかの様にµ d dx − 1
∂ 2
f (x) − f (x) + 5f (x) = 0 µ d
dx − 1
∂ 2
f (x) = − 4f (x)
と変形する事が出来ます。そこで同じ様に
f (x) = g(x)e x
と置けば、µ d dx − 1
∂ 2
(g(x)e x ) = − 4g(x)e x g 00 (x)e x = − 4g(x)e x
g 00 (x) = − 4g(x)
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となりますが、これは簡単に一般解が分かります（C 1 , C 2
は任意の定数）：g(x) = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x
元に戻してやれば解を得る事が出来ます：
f(x)e − x = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x f (x) = C 1 e x cos 2x + C 2 e x sin 2x.
2
非同次方程式2.1
同次の場合と同様な因数分解法で頑張るやり方対応した同次方程式の特性方程式が実数解（重解でも
OK
）を持つ場合にはこの方法 で解を求める事が出来ます（虚数解の場合も全く同様に可能ではありますが、虚数を含 んだ計算をしなければならない）。２階の定数係数・非同次微分方程式：
f 00 (x) − 5f 0 (x) + 6f (x) = (12x − 7)e − x
は左辺を因数分解するかの様にµ d dx − 3
∂ Ωµ d dx − 2
∂ f (x)
æ
= (12x − 7)e − x
と変形する事が出来、ここで° d
dx − 2 ¢
f (x) = h(x)
と置けば、方程式はµ d
dx − 3
∂
h(x) = (12x − 7)e − x
と書く事が出来ます。両辺にe − 3x
を掛けてやる事によってe − 3x h 0 (x) − 3e − 3x h(x) = (12x − 7)e − 4x
© e − 3x h(x) ™ 0
= (12x − 7)e − 4x e − 3x h(x) =
Z
(12x − 7)e − 4x dx
= (12x − 7) 1
− 4 e − 4x − Z
12 1
− 4 e − 4x dx
= − 12x − 7
4 e − 4x − 3
4 e − 4x + C 1
h(x) = ( − 3x + 1)e − x + C 1 e 3x
と云う具合に一般解
h(x) = ( − 3x + 1)e − x + C 1 e 3x
が求まります（C 1
は任意の定数）。そこでこの結果を元の
f (x)
に戻してやればµ d
dx − 2
∂
f (x) = ( − 3x + 1)e − x + C 1 e 3x
f 0 (x) − 2f (x) = ( − 3x + 1)e − x + C 1 e 3x f 0 (x)e − 2x − 2f (x)e − 2x = ( − 3x + 1)e − 3x + C 1 e x
° f (x)e − 2x ¢ 0
= ( − 3x + 1)e − 3x + C 1 e x f (x)e − 2x =
Z
( − 3x + 1)e − 3x dx + C 1 e x + C 2
= ( − 3x + 1) 1
− 3 e − 3x − Z
( − 3) 1
− 3 e − 3x dx + C 1 e x + C 2
= 3x − 1
3 e − 3x + 1
3 e − 3x + C 1 e x + C 2
f (x) = xe − x + C 1 e 3x + C 2 e 2x
となって一般解が求まります（C 1 , C 2
は任意の定数）。2.2
解の構造に注目するやり方一般に非同次方程式の解は
（非同次方程式の一般解）
=
（非同次方程式の１つの解）+
（同次方程式の一般解）と云う構造をしていますので、同次方程式の一般解の方は今見た様に求めて、後は１つ の解を何らかの方法で見つけてくれば良いわけです。
未知関数を含まない部分がこの様に『（１次式）×（指数関数）』であるならば、広く 知られているテクニックとして、
f (x) = (ax + b)e − x
と仮定して、これがこの非同次方 程式を満たす様に係数a, b
を決めてしまうと云う方法があります。実際、
f (x) = (ax + b)e − x
を方程式の左辺に代入してみると、f 00 (x) − 5f 0 (x) + 6f (x) = (ax − 2a + b)e − x − 5( − ax + a − b)e − x + 6(ax + b)e − x
= (12ax − 7a + 12b)e − x
ですからこれが左辺
(12x − 7)e − x
と一致するためにはa = 1, b = 0
です。従ってこの非同次方程式の１つの解
xe − x
が求まりました。これと同次方程式の一般 解（これはさっき求めましたね）を使えば結局非同次方程式の一般解はf (x) = xe − x + C 1 e 3x + C 2 e 2x
（C 1 , C 2
は任意の定数）となる事が分かります（当たり前ですがさっきの解と同じです）。
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Exercise
基本演習
1 (
阪大基礎工9)
微分方程式（＊）：y 00 − 2y 0 + 5y = e x + xe x
について、以下の問いに答えて下さい。
（１）対応した同次方程式の一般解を求めて下さい。
（２）
y 00 − 2y 0 + 5y = e x
の解を１つ求めて下さい。（３）
y 00 − 2y 0 + 5y = xe x
の解を１つ求めて下さい。（４）（＊）の一般解を求めて下さい。
（５）
y(0) = a, y 0 (0) = b
のときの（＊）の解を求めて下さい。基本演習
2 (
阪大基礎工13) y 00 + ay 0 + by = 0
の解y(x)
を、（１）
b = − 2a 2
（２）b = a 4
2 （３）b = 2a 2
のときにそれぞれ求めて下さい（a
は実定数とします）。基本演習
3 (
東大工11) y 00 − 2y 0 + 5y = e x , y(0) = p, y 0 (0) = q
の解を求む。基本演習
4 (
京大工13) y 00 − 4y 0 + 3y = 0
の一般解を求めて下さい。基本演習
5 (
神戸大理数17) y 00 − (a + b)y 0 + aby = 0
の一般解を求めて下さい。基本演習
6 (
名工大H9)
（１）y 00 + 2y 0 − 3y = xe x
を解くために、y(x) = z(x)e x
とおくと、微分方程式z 00 +az 0 + bz = x
が導かれる。定数a, b
の値を求めて下さい。（２）上で導かれた微分方程式
z 00 + az 0 + bz = x
の一般解を求めて下さい。基本演習
7 (
名工大14)
定数係数２階線形微分方程式y 00 − y 0 − 2y = 20 cos 2x
の 初期条件y(0) = 2, y 0 (0) = − 4
を満たす解y(x)
を求めて下さい。基本演習
8 (
東工大15)
微分方程式y 00 + 2y 0 + y = e x
の解で、y(0) = 1, y 0 (0) = 4 e
を満たすものを求めて下さい。発展演習
9 (
京大工14) y 00 + 9y = 7 sin 3x
においてz(x) = ° d
dx + 3i ¢
y(x)
として 以下の問いに答えて下さい。（１）
° d
dx − 3i ¢
z(x) = 7 sin 3x
をz(x)
について解いて下さい。（２）今求めた
z(x)
に対し° d
dx + 3i ¢
y(x) = z(x)
をy(x)
について解いて下さい。基本演習
10 (
農工大26)
微分方程式y 00 + 4y 0 + 4y = 1+x e
−2x2 の解y = y(x)
のうち で条件y(0) = 0, y 0 (0) = 1 2
を満たすものを求めて下さい。基本演習
11 (
農工大27)
微分方程式y 00 + 3y = cos √
3x
の解y = y(x)
が、y(0) = 1, y 0 (0) = 1
を満たすときy
を求めてください。基本演習
12 (
東工大26)
（１）y 00 + y = 0
の一般解を求めて下さい。（２）
y 00 + y = e − x
の一般解を求めて下さい。基本演習
13 (
神戸大27)
以下の各微分方程式の一般解を求めて下さい。（１）
2y 00 − 5y 0 + 2y = 0
（２）2y 00 − 5y 0 + 2y = e x .
基本演習
14 (
三重大26)
微分方程式y 00 − 4y 0 + 4y = 0
の解を求めて下さい。基本演習
15 (
北大26)
微分方程式y 00 + 3y 0 + 2y = 0
の一般解を求めて下さい。基本演習
16 (
神戸大26) y 00 − 2y 0 = xe 2x
について以下の問いに答えて下さい。（１）この方程式は
y = (Ax 2 + Bx)e 2x (A, B
は定数)
の形の特殊解を持つこと を示し、A, B
を決めて下さい。（２）この方程式の一般解を求めて下さい。
基本演習
17 (
滋賀県立大26)
（１）y 00 − 8y 0 + 16y = 0
の一般解を求めて下さい。（２）２階定数係数非同次線形常微分方程式
y 00 − 8y 0 + 16y = 2 cos x
の特殊解 を求めて下さい(
特殊解をy(x) = A sin x + B cos x
と仮定してよい）。（３）上記（２）の非同次線形常微分方程式の一般解を書き下して下さい。
発展演習
18 (
佐賀大26) f (t) = Ae − ∏t sin(ωt + θ)
が解となるような、t
を独立変 数とするf
の２階微分方程式を一つ書いて下さい（A, ∏, ω, θ
は定数）。発展演習
19 (
千葉大27)
次の微分方程式の一般解y(x)
を求め、与えられた初期 条件を満たす解曲線の概形を図示してください。y 00 + 2y 0 + 17y = 0, x ≥ 0
初期条件：y(0) = 1, y 0 (0) = − 1
発展演習20 (
奈良女26)
（１）y 0 = x y+1
2+2x
の一般解を求めて下さい。（２）解の形として
x = ae iωt
を仮定し、以下に示す手順で微分方程式mx 00 (t) = − kx − ∏x 0 (t)
を解く事にします。ここで
a
は正の実定数でω
は複素定数とすします。（ａ）
x 0 (t)
を計算し、それをx
を用いて表して下さい。（ｂ）
x 00 (t)
を計算し、それをx
を用いて表して下さい。（ｃ）
ω
が満たすべき方程式を導いて下さい。（ｄ）上で求めた方程式を解くことによって
