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< (1) の一般解の求め方 > < 定数係数 2 階線形同次微分方程式 4 >

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(1)

2010年度「数学3」

−37−

< 定数係数 2 階線形同次微分方程式 4 >

例

t

の関数

y

に関する微分方程式

(1) d

2

y dt

2

− 6 dy

dt + 9y = 0

を考える。特性方程式は

λ

2

− 6λ + 9 = (λ − 3)

2

= 0

より

λ = 3

（重解）であるから基本解は

e

3tだけ しか求まらない。実はもう１つの基本解は

te

3tとなる。従って

(1)

の一般解は

y = C

1

te

3t

+ C

2

e

3t

（

C

1，

C

2は任意定数）となる。

問

1 y = te

3tが

(1)

の解であることを確かめよ。

< (1) の一般解の求め方 >

微分方程式

(1)

を

(1) y

00

− 6y

0

+ 9y = 0

とする。両辺に

3y

0

− 9y

を加えると

y

00

− 3y

0

= 3y

0

− 9y

⇓

(2) (y

0

− 3y)

0

= 3(y

0

− 3y)

ここで

y

0

− 3y = z

とおくと

(2) ⇒ z

0

= 3z

⇓ z = C

1

e

3t

⇓ y

0

− 3y = C

1

e

3t

⇓

(

答

) y = C

1

te

3t

+ C

2

e

3t

問

2

定数

C

1に対し，

1

階微分方程式

dy

dt − 3y = C

1

e

3t

の一般解を定数変化法により求めよ。

問

3 a

を定数とする。yに関する

2

階微分方程式

d

2

y

dt

2

− 2a dy

dt + a

2

y = 0

の一般解を求めよ。

参照

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