２階の定数係数線形常微分方程式

２階の定数係数線形常微分方程式

1

1.1

一般に微分方程式

y⁰⁰(x) +ay⁰(x) +by(x) = 0

の一般解は（a, bは実数）、その特性２次方程式w²+aw+b= 0の２つの解の様子で 分類すれば次のいずれかに当てはまります（C1, C2は任意の定数）：

特性方程式の解 微分方程式の一般解 相異なる実数解w1, w2 y(x) =C1e^w1x+C2e^w2x 実重解w y(x) =C1xe^wx+C2e^wx

共役な２つの複素数解r±iq y(x) =C1e^rxcosqx+C2e^rxsinqx

1.2

１階の微分方程式：f⁰(x) +pf(x) = 0の両辺にe^pxを掛けると f⁰(x)e^px+pf(x)e^px= 0

{f(x)e^px}⁰ = 0

と云う風に積の微分法と見る事が出来、微分が0となるのは定数関数でしたから f(x)e^px=C 従って、 f(x) =Ce^−px

が分かります（Cは任意の定数）。これを簡単に言えば、微分方程式 f⁰(x) =−pf(x)

を満たす関数はf(x) =Ce^−pxしかないよ、と、そう云う事になります。

これを更に別の見方で見てみましょう。

今やった計算は、要するにf(x)e^px=g(x)と置けばg(x)が定数関数であることが分 かると云うわけなんですが、これはつまりf(x) =g(x)e^−pxと置くと云う事であって、

これを微分方程式の左辺に代入してみると f⁰(x) +pf(x) =©

g(x)e^−px™₀

+pg(x)e^−px

=g⁰(x)e^−px−pg(x)e^−px+pg(x)e^−px

=g⁰(x)e^−px

となっています。

一般に関数を食べて関数を吐き出す 関数 の事を作用素と呼ぶ事にすれば、関数を 微分すると云う作用素 ^d

dx と関数を定数倍すると云う作用素の和を使って µ d

dx+p

∂

h(x) = d

dxh(x) +ph(x) =h⁰(x) +ph(x) と書く事が出来ますが、こう書くことにすればさっきの計算は

µ d dx+p

∂

f(x) =g⁰(x)e^−px

となって、一見定数倍作用素がなくなった様に見せかける事が出来ます。

同様に計算すればこれを繰り返して次が成り立つことが分かります：

事実1.1 f(x) =g(x)e^pxと置けば、以下が成り立ちます：

µ d dx−p

∂n

f(x) =g⁽ⁿ⁾(x)e^px.

1.3

1.3.1 因数分解法 〜１階の微分方程式を２回解く事に帰着する〜

微分作用素による記述を採用すれば微分方程式：

f⁰⁰(x)−5f⁰(x) + 6f(x) = 0 はあたかも左辺を因数分解するかの様に

µ d dx−3

∂ Ωµ d dx−2

∂ f(x)

æ

= 0

と変形する事が出来ます。ここで°_d

dx−2¢

f(x) =h(x)と置けば、方程式は µ d

dx−3

∂

h(x) = 0

と書く事が出来、これは簡単に一般解h(x) =C1e^3xが求まります（C1は任意の定数）。

そこで元のf(x)に戻してやれば µ d

dx−2

∂

f(x) =C1e^3x · · ·(∗)

ですからまたここでf(x) =g(x)e^2xと置けば、

g⁰(x)e^2x=C1e^3x g⁰(x) =C1e^x

g(x) =C1e^x+C2

f(x) =C1e^3x+C2e^2x

となって一般解が求まります（C1, C2は任意の定数）。あるいは、(∗)式を書き直して f⁰(x)−2f(x) =C1e^3x

f⁰(x)e^−2x−2f(x)e^−2x=C1e^x

°f(x)e^−2x¢0

=C1e^x f(x)e^−2x=C1e^x+C2

f(x) =C1e^3x+C2e^2x としても良いでしょう。

1.3.2 平方完成法 〜自明な２階方程式に帰着する〜

同様の記法を使えば微分方程式：

f⁰⁰(x)−5f⁰(x) + 6f(x) = 0 はあたかも左辺を平方完成するかの様に

µ d dx−5

2

∂2

f(x)−25

4 f(x) + 6f(x) = 0 µ d

dx−5 2

∂2

f(x) =1 4f(x)

と変形する事が出来ます。ここでf(x) =g(x)e^52xと置けば、最初に注意した事実から µ d

dx−5 2

∂2

f(x) =g⁰⁰(x)e^52x

となっているので、先の方程式は g⁰⁰(x)e^52x= 1

4g(x)e^52x すなわち、 g⁰⁰(x) = 1 4g(x) と変形する事が出来ます。これは簡単に一般解が求められて

g(x) =C1e^12x+C2e^−12x

でした（C1, C2は任意定数）から、結局もとのf(x)に戻してやれば

g(x)e^52x=C1e^12xe^52x+C2e^−12xe^52x すなわち、 f(x) =C1e^3x+C2e^2x という具合に求める一般解が求まりました。

1.4

1.4.1 平方完成法

これも同様の記法に従えば、微分方程式：

f⁰⁰(x)−6f⁰(x) + 9f(x) = 0

は µ

d dx−3

∂2

f(x) = 0

と書く事が出来ますが、ここでf(x) =g(x)e^3xと置けば 0 =

µ d dx−3

∂2

f(x) =g⁰⁰(x)e^3x, 従って g⁰⁰(x) = 0 となってこれは簡単に解が求まって

g(x) =C1x+C2 （C1, C2は任意の定数）

です。最後にこれをf(x)に戻してやれば

f(x) =C1xe^3x+C2e^3x

となってこれが求める一般解です。

1.5

1.5.1 平方完成法

先ほどと同様の記法によれば、微分方程式：

f⁰⁰(x)−2f⁰(x) + 5f(x) = 0 はあたかも左辺を平方完成するかの様に

µ d dx−1

∂2

f(x)−f(x) + 5f(x) = 0 µ d

dx−1

∂2

f(x) =−4f(x)

と変形する事が出来ます。そこで同じ様にf(x) =g(x)e^xと置けば、

µ d dx−1

∂2

(g(x)e^x) =−4g(x)e^x

g⁰⁰(x)e^x=−4g(x)e^x g⁰⁰(x) =−4g(x)

となりますが、これは簡単に一般解が分かります（C1, C2は任意の定数）： g(x) =C1cos 2x+C2sin 2x

元に戻してやれば

f(x)e^−x=C1cos 2x+C2sin 2x f(x) =C1e^xcos 2x+C2e^xsin 2x となって求める解を得る事が出来ます。

1.6

1.6.1 同次の場合と同様な因数分解法で頑張るやり方

対応した同次方程式の特性方程式が実数解（重解でもOK）を持つ場合にはこの方法 で解を求める事が出来ます（虚数解の場合も全く同様に可能ではありますが、虚数を含 んだ計算をしなければならない）。

２階の定数係数・非同次微分方程式：

f⁰⁰(x)−5f⁰(x) + 6f(x) = (12x−7)e^−x は左辺を因数分解するかの様に

µ d dx−3

∂ Ωµd dx−2

∂ f(x)

æ

= (12x−7)e^−x と変形する事が出来、ここで°_d

dx−2¢

f(x) =h(x)と置けば、方程式は µ d

dx−3

∂

h(x) = (12x−7)e^−x と書く事が出来ます。両辺にe^−3xを掛けてやる事によって

e^−3xh⁰(x)−3e^−3xh(x) = (12x−7)e^−4x

©e^−3xh(x)™0

= (12x−7)e^−4x e^−3xh(x) =

Z

(12x−7)e^−4xdx

= (12x−7) 1

−4e^−4x− Z

12 1

−4e^−4xdx

=−12x−7

4 e^−4x−3

4e^−4x+C1

h(x) = (−3x+ 1)e^−x+C1e^3x

と云う具合に一般解h(x) = (−3x+ 1)e^−x+C1e^3x が求まります（C1は任意の定数）。

そこでこの結果を元のf(x)に戻してやれば µ d

dx−2

∂

f(x) = (−3x+ 1)e^−x+C1e^3x

f⁰(x)−2f(x) = (−3x+ 1)e^−x+C1e^3x f⁰(x)e^−2x−2f(x)e^−2x= (−3x+ 1)e^−3x+C1e^x

°f(x)e^−2x¢0

= (−3x+ 1)e^−3x+C1e^x f(x)e^−2x=

Z

(−3x+ 1)e^−3xdx+C1e^x+C2

= (−3x+ 1) 1

−3e^−3x− Z

(−3) 1

−3e^−3xdx+C1e^x+C2

= 3x−1

3 e^−3x+1

3e^−3x+C1e^x+C2

f(x) =xe^−x+C1e^3x+C2e^2x となって一般解が求まります（C1, C2は任意の定数）。

1.6.2 解の構造に注目するやり方 一般に非同次方程式の解は

（非同次方程式の一般解）=（非同次方程式の１つの解）+（同次方程式の一般解）

と云う構造をしていますので、同次方程式の一般解の方は今見た様に求めて、後は１つ の解を何らかの方法で見つけてくれば良いわけです。

未知関数を含まない部分がこの様に『（１次式）×（指数関数）』であるならば、広く 知られているテクニックとして、f(x) = (ax+b)e^−xと仮定して、これがこの非同次方 程式を満たす様に係数a, bを決めてしまうと云う方法があります。

実際、f(x) = (ax+b)e^−xを方程式の左辺に代入してみると、

f⁰⁰(x)−5f⁰(x) + 6f(x) = (ax−2a+b)e^−x−5(−ax+a−b)e^−x+ 6(ax+b)e^−x

= (12ax−7a+ 12b)e^−x

ですからこれが左辺(12x−7)e^−xと一致するためにはa= 1, b= 0です。

従ってこの非同次方程式の１つの解xe^−xが求まりました。これと同次方程式の一般 解（これはさっき求めましたね）を使えば結局非同次方程式の一般解は

f(x) =xe^−x+C1e^3x+C2e^2x （C1, C2は任意の定数）

となる事が分かります（当たり前ですがさっきの解と同じです）。

Exercise

基本演習1 (阪大基礎工9) 微分方程式

y⁰⁰−2y⁰+ 5y= e^x+xe^x · · ·(∗) について、以下の問いに答えて下さい。

（１）対応した同次方程式の一般解を求めて下さい。

（２）y⁰⁰−2y⁰+ 5y= e^xの解を１つ求めて下さい。

（３）y⁰⁰−2y⁰+ 5y=xe^xの解を１つ求めて下さい。

（４）（＊）の一般解を求めて下さい。

（５）y(0) =a, y⁰(0) =bのときの（＊）の解を求めて下さい。

基本演習2 (阪大基礎工13) y⁰⁰+ay⁰+by= 0の解y(x)を、

（１）b=−2a² （２）b=^a₄² （３）b= 2a² のときにそれぞれ求めて下さい（aは実定数とします）。

基本演習3 (東大工11) 微分方程式

y⁰⁰−2y⁰+ 5y= e^x, y(0) =p, y⁰(0) =q の解を求めて下さい。

基本演習4 (京大工13) y⁰⁰−4y⁰+ 3y= 0の一般解を求めて下さい。

基本演習5 (神戸大理数17) y⁰⁰−(a+b)y⁰+aby= 0の一般解を求めて下さい。

基本演習 6 (名工大H9) （１）微分方程式y⁰⁰+ 2y⁰ −3y =xe^xを解くために、

y(x) =z(x)e^xとおくと、微分方程式z⁰⁰+az⁰+bz=xが導かれる。定数a, bの値 を求めて下さい。

（２）上で導かれた微分方程式z⁰⁰+az⁰+bz =xの一般解を求めて下さい。

基本演習7 (名工大14) 定数係数２階線形微分方程式 y⁰⁰−y⁰−2y= 20 cos 2x

の初期条件y(0) = 2, y⁰(0) =−4を満たす解y(x)を求めて下さい。

基本演習8 (東工大15) 微分方程式

y⁰⁰+ 2y⁰+y= e^x

の解で、y(0) = 1, y⁰(0) = ₄^e を満たすものを求めて下さい。

発展演習9 (京大工14) 微分方程式y⁰⁰+ 9y= 7 sin 3xにおいて z(x) =

µ d dx+ 3i

∂ y(x)

として以下の問いに答えて下さい。

（１）°_d

dx−3i¢

z(x) = 7 sin 3xをz(x)について解いて下さい。

（２）今求めたz(x)に対して、°_d

dx+ 3i¢

y(x) =z(x)をy(x)について解いて下 さい。

基本演習10 (農工大26) 微分方程式

y⁰⁰+ 4y0+ 4y= e^−2x 1 +x²

の解y=y(x)のうちで条件y(0) = 0, y⁰(0) = ¹₂を満たすものを求めて下さい。

基本演習 11 (農工大27) 微分方程式y⁰⁰+ 3y= cos√

3xの解y=y(x)が、y(0) = 1, y⁰(0) = 1を満たすときyを求めてください。

基本演習12 (東工大26) 次の問に答えて下さい。

（１）微分方程式y⁰⁰+y= 0の一般解を求めて下さい。

（２）微分方程式y⁰⁰+y= e^−xの一般解を求めて下さい。

基本演習 13 (神戸大27) 未知関数y=y(x)に関する以下の各微分方程式に対し、

その一般解を求めて下さい。

（１）2y⁰⁰−5y⁰+ 2y= 0 （２）2y⁰⁰−5y⁰+ 2y= e^x. 基本演習14 (三重大26) 次の微分方程式の解を求めて下さい：

y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 0.

基本演習 15 (北大26) 以下の微分方程式の一般解を求めて下さい。なお、途中の 計算手順も詳しく記述して下さい。

y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y= 0.

基本演習16 (神戸大26) 微分方程式y⁰⁰−2y⁰ =xe^2x について以下の問いに答え て下さい。

（１）この方程式はy= (Ax²+Bx)e^2x(A, B は定数)の形の特殊解を持つこと を示し、A, Bを決めて下さい。

（２）この方程式の一般解を求めて下さい。

基本演習17 (滋賀県立大26) （１）未知関数y =y(x)に対する２階定数係数同 次線形常微分方程式y⁰⁰−8y⁰+ 16y= 0の一般解を求めて下さい。

（２）２階定数係数非同次線形常微分方程式y⁰⁰−8y⁰+ 16y= 2 cosxの特殊解 を求めて下さい(特殊解をy(x) =Asinx+Bcosxと仮定してよい）。

（３）上記（２）の非同次線形常微分方程式の一般解を書き下して下さい。

発展演習18 (佐賀大26) f(t) =Ae^−∏tsin(ωt+θ)が解となるような、tを独立変 数とするf の２階微分方程式を一つ書いて下さい。こ こでA, ∏, ω, θ は定数とし ます。

発展演習19 (千葉大27) 次の微分方程式の一般解y(x)を求め、与えられた初期 条件を満たす解曲線の概形を図示してください。

y⁰⁰+ 2y⁰+ 17y= 0, x≥0 初期条件：y(0) = 1, y⁰(0) =−1 発展演習20 (奈良女26) 微分方程式に関する以下の問いに答えて下さい。

（１）次の微分方程式の一般解を求めて下さい。

y⁰ = y+ 1 x²+ 2x

（２）解の形としてx=ae^iωtを仮定し、以下に示す手順で微分方程式 mx⁰⁰(t) =−kx−∏x⁰(t)

を解く事にします。ここでaは正の実定数でωは複素定数とすします。

（ａ）x⁰(t)を計算し、それをxを用いて表して下さい。

（ｂ）x⁰⁰(t)を計算し、それをxを用いて表して下さい。

（ｃ）ωが満たすべき方程式を導いて下さい。

（ｄ）上で求めた方程式を解くことによってωを求めて下さい。