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2010年度「数学3」

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定数係数

階線形同次微分方程式

例 tの関数yに関する微分方程式 (1) d²y

dt² + 9y= 0 ⇐⇒ d²y dt² =−9y を考える。今y1(t) = cos(3t), y2(t) = sin(3t)とおくと

d²y1

dt² = (cos(3t))⁰⁰= (−3 sin(3t))⁰=−9 cos(3t) =−9y1

d²y₂

dt² = (sin(3t))⁰⁰= (3 cos(3t))⁰=−9 sin(3t) =−9y2

であるからy1とy2は(1)の基本解であり，従って一般解は y=C1cos(3t) +C2sin(3t)· · ·(1)の一般解

である。この基本解y1とy2を発見するには，次のように考える。

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^{基本解の見つけ方}

微分方程式(1)の特性方程式は λ²+ 9 = 0

であり，その解はλ=±3iである。複素数の範囲では，e^3itとe^−3itが基本解となる。複素数の範囲 の一般解は、

y=Ae^3it+Be^−3it· · · 複素数の範囲の一般解

となる。ここで、A, Bは任意の複素数定数である。この式を書きかえると

Ae^3it+Be^−3it=A(cos(3t) +isin(3t)) +B(cos(3t)−isin(3t)) = (A+B) cos(3t) +i(A−B) sin(3t)

となる。ここで，AとBが互いに共役な複素数のとき，yは実数になる。特に A= 1

2C₁−1

2C₂i , B=1 2C₁+1

2C₂i (C₁, C₂は任意の実数定数) のときは

y=C1cos(3t) +C2sin(3t)· · ·実数の範囲の一般解 となる。従ってcos(3t)とsin(3t)が実数の範囲の基本解である。

問 次の微分方程式の実数の範囲の一般解を求めよ。ただしωは0でない実数定数である。

(1) d²y

dt² +y= 0

(2) d²y

dt² + 4y= 0

(3) d²y

dt² +ω²y = 0