１階微分方程式（変数分離形・同次形）
はじめに：この解答は において入力すること。
基本問題：授業時間内に解答をレポートとして提出すること。
はじめに
変数分離形
次の形
の微分方程式を変数分離形という。両辺を でわり、両辺を で積分すると
となる。右辺の定数 は積分定数と呼ばれ、微分方程式からは決定できない。左辺に対 して、置換積分の公式を使って、
となる。
同次形
次の形
の微分方程式を同次形という。この時、
とおく。両辺を微分して、
となるので、これを、与えられた式に代入し、
を得、後は、左辺の積分を実行すればよい。
このように、微分方程式を解くためには、（何らかの方法で）微分の階数だけ積分しな ければならない。このため、積分毎に、微分方程式からは決定できない定数が解に含まれ る。この定数を積分定数と呼ぶ。また、この定数は、変数の特別な値 （例えば、
）の時の関数 を与えることによって決定される。
変数分離系において、定積分で、
と書こともできる。
練習問題
練 次の微分方程式を解け ヒント 変数分離形）。
略解
与えられた式から、少し変形し、
を得る。上で説明したように、両辺を積分し、
となる。
与えられた式より、
と変形でき、さらに、両辺を積分し、
与えられた式より、
であるから、両辺を積分し、
練 次の微分方程式を解け ヒント 同次形）。
略解
与えられた式において、分母分子を で割ると、同次形であることが分かる。式 及び 式 を使い、 に対する微分方程式に書き換えると、
となり、同次形になる。積分を実行すると、
となり、これを解いて、
となる。
与えられた式より、式 及び式 を使い、
と変数分離形に書き換えることができる。この式を解いて、 と との関係は、
となる。
与えられた式の両辺を で割り、式 及び式 を使い、少し整理して、
となる。両辺を積分して、
を得る。
基本問題
基 次の微分方程式を解け。
基 次の微分方程式を解け。
