S  3 .   定数係数線形同次微分方程式

93.  定数係数線形同次微分方程式 37 

S  ^{3 .}   定数係数線形同次微分方程式

線形微分方程式

y(n) 

+ 

aly(n‑l) 

+

^{… 十}an‑1Y'+αnY = R(x) 

の左辺の係数がすべて定数であるとき，これを定数係数線形微分方程式とい う.特に，右辺の関数R(x)がOであるとき，これを定数係数線形同次微分方 程式という.きて，

f(D) = Dn 

+ 

alDn‑1 

+

…

+ 

anーlD+αn とおき，同次徴分方程式

f(D)y = 0 

の解法を考える.まず ，f(D)の形が簡単な場合について解法を述べる.明ら かに，次のことが成り立つ.

A Dny =0の一般解は

Uニ Cl

+ 

C2X十・・・十CnXn‑1

B (D  α)ny = 0の一般解は

y = (Cl 

+ 

C2X 

+

…

+ 

CnXn‑1)eaX 

[

証明]

(D一α)ny

= 

0  (D一α)n[e町 e‑aXyJ=O

~ 2公式 (2)(p.36)によって

eax{ (D +α)一α}n[e‑ax y] = 0  Dn[e叫 y]=0  したがって，上の解法Aによって

e‑axy = Cl 

+ 

C2X + ・・・+ CnXn‑1  y = (Cl 

+ 

C2X 

+

…

+ 

CnXn‑1)eaX 

0 

例1微分方程式

y" ‑6y' + 9y = 0 

ゴ

^解法

『基礎解析学コース微分方程式~ (矢野健太郎 ・石原 繁 共 著 / 裳 華 房 )

38  第3章 線 形 微 分 方 程 式

は次のようになる.

(D2 ‑ 6D + 9)y = 0  ゆえに，解法Bによって， 一般解は

(D‑3)2y=O  y = ^(Cl + C2X)e^3X  0 

C (D  α)(D ‑s)y = 0 (αキs)の一般解は y = Cle^ax 

+ 

^C2efJX 

[証明] 上 の 解 法Bによって ，(D一α)y= 0の一般解は y = Cle^ax 

である (Clは任意定数).また ，(D‑s)y=Oの一般解は y = C2e^fJX 

である (C2は任意定数).さて，

(D一α)(D‑β)[Cle^ax] = (D ‑s)(D一α)[Cl e^aX] 

=(D ‑s){(D‑α)[ Cl e^aX] } 

= (D ‑s)O = 0 

(D‑α)(D ‑s)[ C2 e^fJX] = (D一α){(D ‑s)[C2e^fJX] }  

=(D α)0 = 0 

解 法

ゆえに ，Cle^axと C2e紅 は (D一α)(D‑β)y = 0の解である.したがって，

定 理3.1(p.32)によって ，y = Cl e^ax 

+ 

^C2 e向 は (D一α)(D‑s)y = 0の 解 である.ところが，αキ3であるから ，e^axとe^fJxは1次独立でーある.ゆえに，

解 y= cle^ax 

+ 

^C2e釘 は2階 微 分 方 程 式 (D一α)(D‑β)y =0の 一 般 解 で

ある.

。

例2 微分方程式

y" + 3y' ‑4y = 0  は次のようになる.

(D2 

+ 

3D ‑4)y = 0  ゆえに，解法Cによって， 一般解は

(D 

+ 

4)(D ‑l)y = 0  y = cle‑^4x十C2e^x

0 

~ 4.逆 演 算 子

S  4 .   逆演算子

定数係数線形微分方程式

y" 

+ 

b y' 

+ 

c y = F(x)  は，演算子 f(D)= D² 

+ 

bD 

+ 

cを用いて

f(D)y = F(x) 

43 

となる.この微分方程式の特殊解(1つの解)を求めるとき，上の方程式を変 形して

= 守f(LTF(z)D) 

と書き直せれば便利である こ こ で ， 記 号 市 内 演 算 子f(D)が指示する 演算の逆算を表すものであって

f(D)

す」‑

_f(D) 

が成り立つ.ただし，右辺は単位演算子1である. まず，最も簡単な徴分演算子Dについて，微分方程式

Dy = F(x)  は 〆=F(x)を意味するから，

y = 

f 

^F(x)命

は1つの解である.したがって，

占 的 )

= 

f 

^F(x)ゐ

と定める つまり，古をDの逆演算子と 川 こ れ はzで積分することを 意味する.すなわち，

(1) 

主 的 )

= 

f 

^F(x)命

44  第3章 線 形 微 介 方 程 式

逆演算子について次の公式が成り立つ.

( 2 ) 

市 yeι77E76X

^(f(α)キ0)

( 3 ) 

岩戸(刈

^=eax

市匂

^[e‑axF(x)] 

(.4 ) 

詰戸(心

^{=e町 fe‑叩 (x)ぬ}

[

証明

] ⁽²⁾  32公式(1)(p.36)によって f(D)e^町 =f(α)eax さて ，f(α)キOであるから，両辺を f(α)で割l^って

fla)f(D)eax=eax  :.  f_(D)[;la)eaxJ=eax 

市 ^{e a z =7 1 r}

( 3 ) 32公式 (2)(p.36)を利用する.まず，

f(D)j eax

す Jだ て[e‑axF(x)] 

f 

= eax f(D +α)τJtて[e‑axF(x)] 

l   " '

f(D +α) L'"  1 ¥"" 1 J J ‑' "J ¥L/ I '‑'1 f(D +α) 

ところが，f(D+α)

万 己 了

=1であるから，上の式の右辺は次のように なる.

f(D)

j 

_le_~ 叫 す 」 六 てf(D 

+

^α) [^LIe^V 自 F(x)^L ¥oA，./]JJ 

f 

= eax e吋 (x)= F(x)  ゆえに，

Zす_f(D+

ι

^寸_α) ^[_L^e_~ ^{目 F}_i ⁽_'~/J ^x)]=

寸

_f

」

_(D) ^F(z)

市

^{yF(x)=e山 市}

h y [ e

吋 (x)] ( 4 ) 上の公式 (3)でf(D)=D‑αとすれば，

‑L F ( x ) = e a z  

1 

1 6

吋 (x)]=

♂ 古

^{[e目 的 )]} 

一α (D+α)α

長 戸 ( ド

^{eaxfe町 F(x)}

命 。

S 6.  連立微分方程式 57 

S  6 .   連立微分方程式

この節では独立変数を tとする.2つの未知関数 x

= 

x(t)， y 

= 

y(t)に関 する定数係数の線形微分方程式の組，たとえば

すなわち，

(1) 

の解法を考える.

日

^dt 

‑

^2x 

⁺ 

^y = e 

dx _{十 ヱι}， du _+4x=O dt  ' dt 

( ( D ‑ h = e t  

(D 

+ 

4)x 

+ 

Dy = 0  ただし ，D =三_d

ι

_t ^である.

例 題1 上の連立微分方程式 (1)を解け.

[解 答 (D‑2)x + y = e'  . ①  (D + 4)x + Dy = 0・ ② Uを消去するために ，D.①一②を作れば，

{D(D ‑2) ‑(D + 4)}x = De'  (D2 ‑3D ‑4)x = e'  (D十l)(D‑4)x = e'  この微分方程式の一般解は

x =  c

，

e叫 c2e^4t‑ ~ ^e' 

である.この③を①に代入してUを求めれば，

y = e' ‑(D‑

斗 ，

e‑'+c2e^4t‑

~

^e'J 

③ 

y = 3c

，

e‑'ー 2c2e⁴'

+ ヤ ④

ここで，③と④を組み合わせれば，求める一般解となる.

0 

[別解] 上の解で得られたように

x ⁼ c

，

e叫

ω 4 t t e t

③  である.次に ，xを消去するために， (D + ⁴⁾・① (D ‑2)・②を作れば，

58  第3章 線 形 微 分 方 程 式

(D2 ‑3D ‑4)y =一5e^t この微分方程式の一般解は

u=Mt+b264t+tet  ⑤ 

である.ここで，③と⑤を組み合わせると，任意定数 Cl，C2， bl， b2^{を含み，任意定} 数が多過ぎる.そこで，③と⑤を①に代入して， Cl， C2， bl， b2の関係を求めれば，

次のようである.

(D‑

斗

^{le‑t+ c2e4t ‑}

_~

^etJ 

⁺

^{れ t+MHtet=et}

(bl一3Cl)e‑t+ ^(b2 + ^2c2)e4t = 0  b1^一3Cl= 0，ゐ+^2C2 = 0 

b1=3cl， b2= ‑2c2  これを⑤に代入すれば，④を得る. 0 

例 題2 連立徴分方程式(1)を初期条件

r

^t = 0， 

のもとで解け.

[解答] 例題1で求めたように，微分方程式(1)の一般解は 1一6

一

一Z  5 

y =一

τ ^」

t ^I ̲ ̲4t  1  x =  Cle  ^十 C2e 一百^e"，

①  y = 3Cl e‑t ‑2c2e4t 

+ ヤ

である.これに初期条件 t=O， x = ‑ l  _U =一立を代入すれば，

6' 

Cl  + C2 = 0，  3C12C2= t  1  1  Cl=‑3' ^の=τ これを一般解①に代入すれば，求める解は次のようである.

x = ‑~ 3~ ^e‑t + '3~ ~ ^e4t ‑~ 6 ^et  U =‑e t  2Jt_一一一 +_一56t 

3 ν 6  

第 4

~ 1. 

1階微分方程式

微分方程式

(1) 

級 数 に よ る 解 法

ま

^=f(

^{日 )}

で右辺の関数 f(x，y)が平面上の点 (Xo，yo)で第l章 定 理l.1(p. 5)の条 件をみたしているとする.微分方程式(1)の解で初期条件rx = xo， y = YoJ 

を満足するものが点(Xo，Yo)の近{秀でただ1つ存在する.この解を求めるた めに，解Uを点 x=x，。を中心とするテイラ一級数の形

( 2 )  Y = Ao 

+ 

Al(X ‑xo) 

+ 

A2(X ‑xo)2 

+

…  + An(x ‑xo)n 

+ … 

で表して，解Uを求めることを考える.

明らかに，初期条件によって Ao=yoである.まず， (2)の両辺をxで微 分して

表

^=A1 

+ 

2Aix ‑Xo) 

+

凶 (Xー 仙

+ηAn(X ‑xo)nー1+

…

である.これと (2)を(1)に代入して，係数Al，A2，…を決定する.このよ うにして， (2)の右辺の係数を求めて，解を作ることができる.この解法を，

X ‑Xoのベき級数による解法という.なお，得られた級数 (2)は点 X=Xo の十分小さい近傍で収束する.

特に，初期条件rX 

= 

0， Y 

= 

YoJのもとで徴分方程式(1)を解くときには，

求める解UをX=Oを中心とするべき級数

y=Ao+A1X 十A2X2+・・・

+

Anxn 

+  .   . .

で表してUを求める.このような解法を Zのべき級数による解法という.

66  第4章級数による解法

例 題1 徴 分 方 程 式 y' ‑2xy = x を，xのべき級数による解法で解け.

[解 答 y= Ao + Al X + A2 X2 

+…+ 

An̲1Xn‑1 + Anxn 

+… 

①  とおけば，

y' ⁼ Al + 2A2x 

+ 

3A3X2 

+… 十

(n‑l)_An‑1 Xn‑2

十

nAnxn‑1

+ … 

これと①を問題の微分方程式に代入すれば，次のようになる.

{Al 

+ 

2A2x 

+ 

3A3X2 

+… 十

(n‑1)An̲1Xn‑2

十

^ηAnxn‑1

+… }  

‑2(Aox + A1X2 + A2X3 

+…+ 

An̲2Xn‑1 + An̲1Xn 

+…

)=x  Al + (2A2

一

2Ao)x+ (3A3

一

2Al)X2

+…+ 

(nAn

一

2An̲2)Xn‑1

十 …

= x したがって，両辺の係数を比較して

Al = 0， 2A2一2Ao = 1， 3As ‑2Al = 0 ， ・・・ nAn‑2An‑2 = 0 ， 

A1=O， A2=

す

(1

+ 

2Ao)， 

ん = す

A1， An=

す

Anーし

したがって nが奇数ならばAnは

A2m+l = 0  ( n = 2m 

+ 

1 )  となる .nが偶数ならば，Anは次のようになる.

A2=

す ( 1 十

^{2Ao)， A2}m =

会 ん

^{m‑2 ( m ;;;; 2)} 

・A2m= m(m ^{̲ A}l)…2

叫 ん = 石 r z

1 

‑ l (

+ 2Ao)  ( mミ1) 

これらのAnを①に代入して，一般解は次のように求まる.

1 ι‑ワAo/? l 1  1 ¥  

y=Ao十一一一一^~

( 

_¥x' + ，.，₂A_! ， X_~ ' + _. ‑‑₃;f，_! ‑x_~. " 

+…

+‑_{' m}‑:‑::._! ‑‑_~ x.m + ..1 ._/ 

1 . 1.. ?  1 A .  1 氏 1

y=

ーす + c ¥

_\Á'~

l   +

ど +flx'_'2!~ +fix._{'3 ・ 山 !}

十一+「

zm+_~ ・・)_/ 

ここで c=

す

⁽¹+ 2Ao)は任意定数である この一般解は

U=t ← ⁺ 

^ceI 

と書きカかミえられる.なお，問題の微分方程式は1階線形微分方程式であるから，一 般解の公式(p.13)によって

y = 

e

^J

吋 ^{f x e ‑}

^{J2凶 命}

^{+ c ) = 〆 ( f x e 刈 +} c ) 

y=

ー す

+c

〆

O 

~ 4. ベッセル関数 81 

~

4 .   ベッセル関数

2階線形微分方程式

(1) 

Z 2 t 与

+x

生 +

(X² _α2)y = 0 

仏r"' ~ dx 

をベッセルの微分方程式という.ここで， α>0である.ベッセルの徴分方程 式とその解であるベッセル関数は物理数学でしばしば登場する.

点 x=Oはこの微分方程式の確定特異点(p.70)である AoキOとして ( 2 )  y = xA(Ao 

+ 

Al x 

+ 

A2x2 

+ … + 

AnXn 

+…) 

とおき，微分方程式(1)の解を求めることにする.まず，この (2)の両辺を 微分すれば，次のようである.

〆 =A

んxH+ 

( A  

+ 1)A1x^ + 

( A  

+ 2)A2xH1 

+ … 

+ 

(A 

+ 

n)AnXλ+n‑l 

+ … 

y" = (A ‑l)AAox^H 

+ 

A(A 

+  l )

AIX^{ト l}

+ (A + l)(A + 2)A2Xλ+

… 

+ (A + n ‑l)(A + n)Anx山 ー2+

…

これらと (2)を微分方程式(1)に代入すれば，次のようである.

{ (A ‑l)AAox^ 

+ 

A(A 

+ 

1)A1 ^{X H l}  

+ (A + l)(A + 2)A2X^{H 2}  

+ … 

+ (A + n ‑l)(A + n)AnxHn 

+ …} 

+ {AAox^ + (A + 1)A1x

川+

(A + 2)A2x^{H 2}  

+

… 

+ 

(A 

+ 

n)AnXHn 

+ …} 

+ {AOXH2^十AIXH3

+ 

A2XH4 

+ … + 

An‑2x

山 + … }

一{Aoclx^ 

+ 

Al CI X^{H 1}  

+ 

A2c1 XH2 

+

…+Anαclx  左辺を整理して

(A2 ‑cI)Aox^ 

+ 

{(A 

+ 

1

) 2  ‑

cI}A1x川

+[{(A+2)2一αcI}A2

+ 

Ao]xH 

+ . … . 一 .

+ [{ (A + n)2 ‑cI}An + _An̲2]XHn 

+…

=0 

となる.ゆえに，

82  第4章 級 数 に よ る 解 法

( 3 )  (;12 ‑ J!

) A

o ⁼ 0 ，  {(;1+1)2‑J!}A1=O  {(;1 

+ 

2)2 ‑J!}A2 

+ 

Ao = 0，  ( 4 )  {(;1 

+ 

n)2 ‑J!}An 

+ 

An‑2 = 0 ， 

さて，仮定によって AoキOであるから， (3)の第1式によって (5)  ;12 ‑ J! = 0 ^，・ ;1 =:tα 

また， (3)の第2式で(;1

+ 

1)2 ‑J!キOであるから，

(6)  Al = 0  で、ある.

;

1=α の場合と;1=一αの場合を考える.次のように形式的な計算をして Anを求める.

λ=α の場合 上の(4)の第1式，第2式，…に;1=α を代入すれば，An  が次のように求まる.

An=O 

( n

は奇数) (7)  Aω= ( ‑ 1 ) ρ l   Ao(η=2ρ) 

4^Pρ!(1 +α)(2 +α)…(ρ+α) 

λ α の場合 上の(4)の第1式，第2式，…に;1=一αを代入すれ ば，Anが次のように求まる.

( 8 ) 

An=O 

( n

は奇数) Aω= (‑1)P‑;L 1 Ao(η=2ρ) 

1 ̲α)(2一α)…(ρ‑α)

さて， (2)に;1=α と(7)を代入して A_o=lとすれば，微分方程式(1) の特殊解

( 9 ) 

Yl=xa~l 一

_{1 ‑ ""} 

l

^.l. 

一上-

4(1 +α) ， x2+~ ， 4

， ?~

22.!(I. 1 +α)(2 +α) ^{，1  ，x4} 

l  f+) 

を得る.

次に， (2)に;1=一αと(8)を代入して ，Ao=1とすれば，徴分方程式(1) の特殊解