電気回路学

(1)

電気回路学 Ⅱ

コミュニケーションネットワークコース

5

セメ

山田博仁

(2)

講義日程と内

　日程

(

回目

)

　　　　　　講義内容　　　　　　教

容

科書の章との対応

1)

2)

4/10 (

第

1

回

) 　 RL, RC

回路の過渡現象　　　　　　　

2.1, 2.2

-

4/17 (

第

2

回

) 　 RLC

回路の過渡現象　　　　　　　

2.3, 2.4

-

4/24 (

第

3

回

)

　ラプラス変換　　　　　　

5.1, 5.2

-

5/1

(

第

4

回

)

　過渡現象とラプラス変換　　　　　　

　 6.1

～

6.2

-

5/8 　 (

第

5

回

)

　過渡現象とラプラス変換の続きと演習　　　　　　　　

6.3

-

5/15 (

第

6

回

)

　過渡関数波、周期波、時間域・周波数域解析　

5.3

～

5.5,

7.1 　 -

5/22 (

第

7

回

)

　微分、積分回路、二次系の伝達特性　　　　　　　

7.2

～

7.4

-

5/29 (

第

8

回

) 　 RLC

回路、インパルス・ステップ・任意波形応答

7.5, 7.7

～

7.9 　 -

6/5 　 (

第

9

回

)

　　フーリエ変換　　　　　　　　　　

4.1, 4.2

6/12 (

第

10

回

)

　フーリエ変換、信号波解析　　　　　　

4.3 6/19 (

第

11

回

)

　フーリエ変換と演習　　　　　　　

4.5 6/26 (

第

12

回

)

　歪波交流　　　　　　

3.1, 3.2

7/3 　 (

第

13

回

)

　歪波交流回路の計算と演習　　　　　　　

3.4 7/10 (

第

14

回

)

　まとめと演習

8/1(

木

)5

講時　定期試験　

101

講義室

(CS

コースと合同

)

山

田

大寺先生

(3)

RC 微分回

RC

微分回路

路

図

(a)

に示す

RC

直列回路を電圧源

e(t)

で励振し、応答として抵抗

R

の両端の電圧

v _R

をとるものとする。また励振

e(t)

は図

(b)

に示すような方形パルスであり、時刻

t = 0

に生起し、

t = a

で消滅する大きさ

E ₀

の電圧であるものとする。

0 a t

E ₀

0 t E ₀

0 a t

– E ₀

(a)

(b) C

R v _R e(t)

この方形パルスを分解して、

t = 0

に生起する大きさ

E ₀

のステップ関数と

t = a

に生起する大きさ −

E ₀

のステップ関数を重ねたものとすれば、

e ( t )  E ₀ u _ ₁ ( t )  E ₀ u _ ₁ ( t  a )

と表される。

RC t

q e R t E

i

t



 

 

 

 

 ^ 

 ( 0 ) ^ , 0 , )

( ⁰

1 )

1 (

0 u t

E _

を印加したとき

R

に流れる電流

i ₁ (t)

は、

である。 −∞ < t < 0 の範囲で印加電圧

e(t) = 0

であれば、

C

に蓄えられている電荷は

0

、即ち

q(0) = 0

であるとしてよい。

(4)

RC 微分回

RC

微分回路

路

0 ,

)

( ⁰

2   

 

t R e

t E i

a t



一方、　　　　　　　　　を印加したときの電流

i ₂ (t)

は、時間を

t → t − a

に置き換えて、かつ

E ₀

に負号を付けて、

よって、

R

の両端の電圧

v _R (t) = Ri(t)

は、

)

1 (

0 u t a

E 

 _

と表される。

 

 



 



 



 



 







  _



t a e

e E

t i t i R

a t e

E t

t Ri

v ^a ^t

t

R  



1 )

( )

(

0 , )

) ( (

0 2

1

0

1

で与えられる。

これを図示すると以下のようになる。

(5)

RC 微分回路

図において、正の部分の面積と負の部分の面積が等しく、

 

 



 

 



 



 



 ^ ^ ^

 

 ^ a ^ ^ ^ ^ ^a

t

a t a

e E

dt e e E

dt e

E ₀ 1 ₀ 1

0 0

従って、

v _R (t)

の平均値すなわち直流分は

0

である。つまり、

C

は直流分を遮断する。

電圧

v _R (t)

の波形は、時定数

τ = RC

と印加パルスの時間幅

a

との関係により

、異なるものとなる。つまり、

τ >> a

ならば、入力形波にほぼ等しい波形となるが、逆に

τ << a

ならば、入力波形を微分したような波形となる。従って

、後者の場合を

RC

微分回路と呼んでいる。

RC

直列回路の式

1 ( ) ( ) )

( i t dt e t

t C

Ri   

^の両辺を

^t

について微分し、両辺に

C

を

乗じて、

RC = τ

が考えている時間スケール

t

に対して非常に小さいとすれば、

dt t C de t

i ( )

)

( 

と近似できるから、

dt t RC de t

Ri t

v _R ( )

) ( )

(  

即ち、入力電圧波形

e(t)

の微分にほぼ比例した出力電圧波形

v _R (t)

が得られる。

微分回路は一般に、方形波から鋭いパルスを作るのに使われるので、ピーキング回路

(peaking circuit)

とも呼ばれる。

(6)

RC 積分回

RC

積分回路

路

C R

v _C e(t)

RC

直列回路において、方形波の入力電圧

e(t)

に対して、出力として

C

の両端の電圧

v _C (t)

をとることにする。このとき、

0 < t < a

に対しては、

q e RC

R t E

i

t

 

 

 

 

 ^ 

 0 ) ^ , ) (

( ⁰

1

で

q(0) = 0

としたものより、



 ^t

C i t dt

v C

0 1 ( ) 1

1

 



 





 



 



 





 



 



 

 



t a e

e E

a t e

E t

v _a _t

t

C



1 0 , 1

) (

0 0

と求められる。

として、

また一方

a < t

に対しては、

^

a t

R e t E

i

 



 ⁰

2 ( )

より得られる

C ^  a ^t i t dt v C 1 ( )

2

を

v _C

1 に重ねることにより、

(7)

RC 積分回路

v _C (t)

を図示すると以下のようになる。 v

_C (t)

が直流成分を含むことは明らかである。

RC

積分回路

v _C (t)

は、

τ << a

のときは図

(c)

のように入力波形

e(t)

と殆ど同じ波形となり、逆に

τ >> a

のときは図

(a)

のような波形となる。後者のような場合を

RC

積分回路と呼ぶ。

(a) (b) (c)

RC

直列回路の式

1 ( ) ( ) )

( i t dt e t

t C

Ri   

^{の両辺を各々}

^R

^{で割ってから積分し、}

RC

が非常に大きいとすれば、

 ⁱ ⁽ ^t ⁾ ^dt ^ _R ¹  ^e ⁽ ^t ⁾ ^dt ^v ^C ⁽ ^t ⁾ ^ ^q _C ⁽ ^t ⁾ ^ _C ¹  ⁱ ⁽ ^t ⁾ ^dt ^ _CR ¹  ^e ⁽ ^t ⁾ ^dt

即ち、入力電圧波形

e(t)

の積分にほぼ比例した出力電圧波形

v _C (t)

が得られる。

積分回路は検波や整流などに使われる。

(8)

伝達関数の周波数特性

RC

微分および積分回路の励振

e(t)

と応答

v _R (t)

あるいは

v _C (t)

の間の関係は、それらのラプラス変換

E(s), V _R (s)

あるいは

V _C (s)

の間の関係で表現すれば、初期条件

q(0) = 0

として、

R sC sC s

E s s V

H R sC

R s

E s s V

H _R ^R _C ^C

1 1 )

( ) ) (

( 1 ,

) (

) ) (

(









これら伝達関数において、

s → jω

として振幅特性を調べてみると、

1 2

1 1 1 1

1 1 1

1 ) 1

(

 

 



 















 



j CR

j C

R j j R

H _R

  ²

1 1 1

1 1

1 )

(   



 

 



 j CR j

C R j

C j j

H _C

となる。

(9)

高域通過回路と低域通過回路

これらの特性を

ω

に対して描くと、下図のようになる。

図

(a)

では、

ω = 0

で

|H _R | = 0

、

ω = 1/τ

で

|H _R | = 1/√2

、

ω = ∞

で

|H _R | = 1

となっている。

従って、

0 < ω < 1/τ

の周波数領域は減衰域

(stop band)

、

1/τ < ω < ∞

の周波数領域は通過域

(pass band)

と呼ぶ。このように、低い周波数域が減衰域、高い周波数域が通過域となる回路を、高域通過形回路と呼ぶ。一方図

(b)

では逆に、

ω = 0

で

|H _C | = 1

、

ω = ∞

で

|H _C | = 0

となっているから、低域通過形回路である。

(10)

高域通過回路と低域通過回路

このような周波数特性をもつ回路に、広いスペクトル成分をもつ電気信号、

例えば方形波パルスのような信号波形を入力すれば、出力信号のスペクトルは入力信号とは異なったものとなる。例えば高域通過形回路では、ゆっくり変化する振動成分は除去され、出力波形は鋭い形となり、また逆に低域通過形回路では、速い変化をする振動成分が除去されて、出力波形は鈍い形となる。

R sC R s

E s s V

H _R ^R

) 1 (

) ) (

(





において、時定数

τ = RC

が

1(

秒

)

よりも非常に小さければ、

) ( )

( s s E s

V _R  

となり、入力

E(s)

に

s

を乗じた形となる。

dt t de dt

t RC de t

v _R ( ) ( )

)

(   

と比較すると分かるように、時間領域では

(

初期条件を無視しての

)

時間微分に他ならない。

積分回路については、

R sC sC s

E s s V

H _C ^C

1 1 )

( ) ) (

(





の

τ = RC

が

1(

秒

)

よりも非

常に大きいとして、

 s s E s

V _C ( )  ( ) /

となって、入力

E(s)

を

s

で割る形となり、時間領域での積分に他ならない。

(11)

RL 微分回路と積分回

RL

微分回路

路

電圧

e(t)

が、時間幅

a,

高さ

E ₀

の方形パルスであるときの、

RL

直列回路の応答を考える。電圧は、

(a)

) (

) ( )

( t E ₀ u ₁ t E ₀ u ₁ t a

e  _  _ 

と表されるから、

L R

v _L e(t)

v _R

   ^e ^as 

s t E

e ( )  ⁰ 1  ^

￡

ラプラス変換は、表

5.2(2)

に変位定理を適用して、

である。

このような入力に対して、出力としてコイル

L

の両端の電圧

v _L (t)

をとることにする。

dt t L di t

Ri t

e ( )

) ( )

(  

をラプラス変換すると、

 ¹  ⁽ ⁾ ^ ⁽ ⁾ ⁽ ⁰ ⁾ ^

0 e RI s L sI s i

s

E  ^ _as   

初期条件

i(0) = 0

と置いて、

 

     

 

 

  

 

 

 

  

 



  ^ ^ ^

 1 1 1

) 1

( ⁰ ⁰ ⁰

s sL

e E

L s R sL

e E

sL R s

e s E

I

as as

as

回路方程式

ただし、

R

 L



(12)

RL 微分回路と積分回路

従って、ラプラス逆変換を求めると、

       

 



 





 

   

 



 

 



 



 



 



 

     



 



 



 



 



 







 









 

 

 

 







 









 

 

 

 





 





 



 



 

 









 





 





 

 

  

 

 





 





 

 

  

 





 



 



 



) (

1 ) ( 1

) (

) ( )

(

1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 ) 1

( )

(

1 1

0 1 1

1 1

0 1 1

1 0 1

0 1 1 0

1 0 1

a t u e

t u R e

E

a t u e

a t u t u e t R u

E

e s

s e s s

L E

e s s

L E s

s e L

E s

sL e s E

I t

i

a t t

as as

as



￡

となる。

(13)

RL 微分回路と積分回路

従って、コイル

L

の両端の電圧

v _L (t)

は、

 

 



 

  



 



 

  





 



 



) (

) 1 (

) ) (

(

1 1

0 1 1

0 a t u e

t u e E

a t u e

t u e R E

L dt

t L di t

v

a t t

L



 



となり、これを図示すると以下の波形となる。

この波形は、前回出てきた

RC

微分回路の

v _R (t)

と同じ形をしているため、

τ << a

の場合、微分回路になるこの回路の伝達関数。

H _L (s)

は、

   

 

1 1 1

1 )

( ) ( )

( ) ) (

( ⁰ ⁰







 

 

  

 



 ^ ^

s e s

s E s

e E

s E

s sLI s

E s s V

H ^as

as L

L

従って、

s → jω

と置いて、





 



 



  ^



1 2

2 2 , tan

1 1 )

( ) ) (

( ^ ^ ^

 

  



 



 



 





 ^L ^j

L e

j j j

E j j V

H

(14)

RL 微分回路と積分回路

従って、高域通過形回路であることが分かり、振幅特性

|V _L /E|

および位相角

(π/2 ‒ θ)

の特性の概略を下図に示す。

一方、出力として抵抗

R

の両端の電圧

v _R (t)

をとると、

 



 





 

   

 



 

 



 



 



 _

 



 ( ) 1 ( )

1 )

( )

( t Ri t E ₀ e u ₁ t e u ₁ t a

v

a t t

R  

となり、これを図示すると右のような波形となる。

上式は、

RC

積分回路の

v _C (t)

と一致するから、 τ >> a の場合、積分回路になる。

RL

積分回路

(15)

RL 微分回路と積分回路

伝達関数

H _R (s)

は、

   

 

1 1 1 1 1 1

1 1 )

( ) ( )

( ) ) (

( ⁰ ⁰











 

 

  

 



 ^ ^

s L s

e R s

E s

sL e R E

s E

s RI s

E s s V

H ^as

as R R

従って、

s → jω

と置いて、

) tan

(

, 1

1 1 1 1

) (

) ) (

(

1 2 2





 



 





 







 

 



 







j L

R

e j j

E j j V

H

となる。振幅特性

|V _R /E|

および位相特性

θ

を右図に示す。低域通過形回路であることが分かる。

(16)

二次系の伝達関数

RLC

直列回路などでは、その伝達関数

H(s)

が、

2 0 0

2 2 0

) 2

(  





 

s s s

H

のような形をとることがある。即ち、伝達関数の分母が　

s

に関する

2

次の多項式となり、

ζ, ω ₀

は共に実定数である。そのような系を総称して二次系と呼んでいる。

電気回路学