" 0 () ()= % C C u n n = = = = u = cos sin n n 0 = 0 C u u x , x , , x a e ()= () u , , x t x , x , x $ $ () % % + C + C u $ C u = 0 % e dx dx %

(1)

OS1220

＜M&M2013カンファレンス・2013年10月12〜14日＞

1. 緒言

近年，科学技術の進歩に伴う高精度なセンサーの高機能化，高機能の小型の電子デバイスの開発の要請に応えるために，物体表面の物理・科学的特性を高精度で調べることが必要になってきた．そのため，マクロスケールにおける材料の結晶構造などを考慮した力学的解析であるマイクロメカニクスの研究が，多くの研究者により行われている．マイクロメカニクスについては，Mura⁽¹⁾ により体系的にまとめられている．また，解析的な応力解析だけでなく，分子動力学法による材料の転位について解析も行われている．最近では，Ghoniem^(2,3)らは複数の薄膜をもつ異方性弾性体の転位による変位・応力場を導出した．

また，ナノスケールにおいて物体表面の力学的特性である，表面応力や表面弾性定数が物体に与える影響が無視できなくなっており，それらの表面特性を考慮した弾性論の必要性も高まっている．古口は，表面応力と表面弾性定数を考慮した境界条件を導出し⁽⁴⁾，境界条件をもちいて半無限異方性弾性体のグリーン関数を導出した⁽⁵⁾．そこで，本研究では表面特性を考慮した境界条件より，

転位を考慮した半無限異方性弾性体の変位場および応力場を導出する．

2. 半無限体の転位による変位場の導出

2・1 Stroh形式による異方性弾性体の基礎式

物体力が無い場合の平衡方程式は以下の式となる．

!_{ij, j}=0 (1)

この式に，異方性材料の応力・ひずみ関係式を代入し，

変位をもちいて表すと

C_ijksu_k,sj=0 (2)

となる．ここで，C_ijks^{は弾性定数テンソル，}u_k^は変位ベクトルである．

(

x₁,x₂

)

平面について２次元フーリエ変換された変位ベクトルは次式となる．

u%_k

(

!₁,!₂,x₃

)

⁼ "#

$

_"#^+#^t

(

^x¹^,^x²^,^x³

)

$

+#

%eⁱ⁽^!¹^x¹^+!²^x²⁾dx₁dx₂

(3)

式(2)を二次元フーリエ変換すると次式が得られる．

C_ijks!_"!_#u%_k,sj

+

(

C_i"k3+C_i3k"

)

^!"u%_k,3$C_i3k3u%_k,33=0 ⁽⁴⁾

ここで，!₁="n₁，!₂="n₂，n₁=cos!，n₂=sin!で

ある．!^は!"0の変数である．式(4) の一般解は以下の

ように示される．

u

(

!₁,!₂, x₃

)

⁼^ae^"ip#x³ ⁽⁵⁾

表面応力と表面弾性定数を考慮した半無限異方性弾性体の転位による応力と変位場

林高雄^*1，古口日出男^*2

Stress and displacement field of dislocation in anisotropic half space

considering surface stress and surface elasticity Takao HAYASHI

^*3

and Hideo KOGUCHI

*³ Material Engineering, Graduate School of Nagaoka University of technology 1603-1, Kamitomioka, Nagaoka, Niigata, Japan

In recent years, the investigation of the mechanics of the materials in nano scale region is important. Because, the small scale electronic device is manufactured and it is necessary to investigate the mechanical property of that. In nano scale region, the surface effect on the mechanical behavior of materials is noticeable. In this study, the displacement and stress field of dislocation in anisotropic half space considering surface stress and surface elasticity is derived. The boundary condition considering surface characteristic and dislocation is used. The displacement and stress field is shown by Stroh's formalism.

Key Words : Dislocation, Surface stress, Surface elasticity, Green's function

*1正員，長岡技術科学大学大学院（〒940-2188 新潟県長岡市上富岡町1603-1）

*2正員，長岡技術科学大学工学部．

E-mail: [email protected]

(2)

ここで，pとaは以下の固有関係を満たす．

{

Q+p

(

R+R^T

)

⁺^p²^T

}

^a⁼⁰ ⁽⁶⁾

ここで，Q_ik=C_ijksn_jn_s，R_ik=C_ijksn_jm_s，T_ik=C_ijksm_jm_s， n=[n₁,n₂, 0]=[cos!,sin!, 0]^T，m=[0, 0,1]^Tである．

作用力ベクトルtと面内応力ベクトルsは以下のように定義される．

t=

[

!₁₃,!₂₃,!₃₃

]

^T ⁽⁷⁾

s=

[

!₁₁,!₁₂,!₂₂

]

^T ⁽⁸⁾

式(7)と式(8)の一般解は

%t

(

!₁,!₂,x₃

)

= "i!be^"ip#x³ (9)

%s

(

!₁,!₂, x₃

)

= "i!ce^"ip#x³ (10)

となる．ここで

b=

(

R^T+pR

)

^a⁼^!¹_p

⁽

^Q⁺^pR

⁾

^a ⁽¹¹⁾

c=Da (12)

となり，D は k=1,2 のときD_kl=C_1kl!n_!+pC_1kl3， D_3l =C_22l!n_!+pC_22l₃^である．^またp_i+3=p_i^，a_i+3=a_i^， b_i+3=b_i ，c_i+3=c_i ，(i=1,2,3)である．

半無限体の一般解は式(5)，(9)，(10)をもちいて以下の通りである⁽⁶⁾．

u%=A e^!ip^*^"x³ W (13)

%t=!i"B e^!ip^*^"x³ W (14)

%s=!i"C e^!ip^*^"x³ W (15)

ここで，Wは未定係数ベクトル，A=[a₁,a₂,a₃]，

B=[b₁,b₂,b₃]，C=[c₁,c₂,c₃]， e^!ip^*^"x³ =diag

[e^!ip¹^"x³,e^!ip²^"x³,e^!ip³^"x³]である．

2・2 表面特性と転位を考慮した境界条件表面応力と表面弾性定数を考慮した表面の境界条件は以下の式となる．

%t=!²Fu (16)

ここで， Fは表面特性を含むテンソルで

F=

d_1!1"n_#n_! d_1!1"n_#n_! 0 d_1!1"n_#n_! d_1!1"n_#n_! 0

0 0 $_#!⁰ n_#n_!

%

&

'' '

(

)

**

*

a (17)

である．ここで，d_!"#$は表面弾性定数，!_"#⁰ は表面応力である．

内部に転位ループが存在する場合の境界条件は以下の式となる⁽²⁾．

%t+S%^!="²Fu (18)

ここで， %S^!は以下のようになる⁽²⁾．

S%^!="i#_$C_i3klC_p%mn&_lnhb_mG%_kp^!

+C_i_3klC_p3mn&_lnhb_mG%_kp,3^! ⁽¹⁹⁾

ここで， "lnhは置換テンソル，bmはバーガースベク

トルである．また，G%_kp^! は二次元フーリエ変換された無限体のグリーン関数である．

2・3 変位・応力場の導出

境界条件を決定するために無限体のグリーン関数が必要となり，以下の式となる⁽²⁾．

G%^!=

"A e^"ip^*^#⁽^x³^"d⁾ i

#Q^!

(

x₃$d

)

A e^"ip^*^#⁽^x³^"d⁾ i

#Q^!

(

x₃<d

)

%

&

'' ( ' '

(20)

ここで，Q^!は未定係数ベクトルである．x₃=0のとき

G%^!=A e^ip^*^"d i

"Q^! (21)

となる．また，式(20)をx₃について微分をすると G%_,3^!=i"A e^ip^*^"d p_* i

"Q^! (22)

となる．式(20)および式(21)を式(18)に代入して整理すると．

S%^!="i#$_ikhpq n_q A e^ip^*^#d i

#Q^!

%

&

' (

)*

kp

+ ,- .-

+m_q A e^ip^*^#d p_* i

#Q^!

%

&

' (

)*

kp,3

/ 0- 1-

(23)

ここで，!_ikhpq=C_i_3klC_pqmn"_lmhb_mである．

境界条件の式(18)に式(14)および式(23)を代入して Wについて解くと

W=

(

B!i"FA

)

^!1^#ikhpq n_q A e^ip^*^"d i

"Q^$

%

&

' (

)*

kp

+ ,- .-

+m_q A e^ip^*^"d p_* i

"Q^$

%

&

' (

)*

kp,3

/ 0- 1-

(24) となる．よって，変位の一般解の式(13)に式(23)を代入すると

(3)

%

u=A e^!ip^*^"x³

(

B!i"FA

)

^!1^#^ikhpq

$ n_q A e^ip^*^"d i

"Q^%

&

'( )

*+

kp

, -. /.

+m_q A e^ip^*^"d p_* i

"Q^%

&

'( )

*+

kp,3

0 1. 2.

(25)

となる．ここで，

!

( )

" ⁼

(

^B^#ⁱ^"^FA

)

^#1 ⁽²⁶⁾

とおき，添え字表記をもちいて!^{について整理する} と

!_li=w_li g_jli

"#h_jli

j=1 3

$

⁽²⁷⁾

となり，同様に式(24)について添え字表記をもちいて整理すると．

% u_ih= i

!A_ik₁e^"ip^k⁶^!x³#_k₁_k₂$_k₂_k₃_hk₄_k₅

%

(

n_k₅+m_k₅p_k₆

)

Â^k³^k⁶êîp^k⁶^!d^Q^k6k4

&

= i

!A_ik₁e^"ip^k¹^!x³H_k₁_h

(28)

ここで H_k

1h= !_k₁_k₂"_k₂_k₃_hk₄_k₅ n_k

5+m_k

5p_k

(

6

)

Â^k³^k⁶êîp^k⁶^#d^Q^k6k4^$

(29) である．同様に応力ベクトルt_ihおよびs_ihは

t%_ih=B_ik₁e^!ip^k¹^"x³H_k₁_h (30)

s%_ih=C_ik₁e^!ip^k¹^"x³H_k₁_h (31)

となる．式(28)，(30)，(31)に逆フーリエ変換を適応することで，変位・応力場を求めることができる．

このとき，座標系を円柱座標系に変換しx₁=rcos!₀， x₂=rsin!₀^，!₁="cos#^，!₂="sin#^{である．逆} フーリエ変換の定義を

f r,

(

!₀,x₃

)

⁼₄¹_"2 $%

&

_$%^+%f%

(

#,!,x₃

)

&

+%

'e^$ir#cos⁽^!$!⁰⁾#d#d!

(32)

とし，式(28),(30),(31)に逆フーリエ変換を適応すると，

変位および応力の式は

u_ih

(

r,!₀,x₃

)

⁼_4"ⁱ2 A_ik₁e^#ip^k⁶^$x³

0 2"

%

0

&

%

'H_k₁_he^#ir$cos⁽^!#!⁰⁾d!d$

(33)

t_ih

(

r,!₀,x₃

)

⁼_4"¹2 B_ik₁e^#ip^k6^$x³

0 2"

%

0

&

%

'H_k₁_he^#ir$^cos⁽^!#!⁰⁾$d!d$

(34)

s_ih

(

r,!₀,x₃

)

⁼_4"¹2 A_ik₁e^#ip^k⁶^$x³

0 2"

%

0

&

%

'H_k

1he^#ir$^cos⁽^!#!⁰⁾$d!d$

(35)

となる．

未定係数ベクトルQ^!を求めるために，無限体の変位と作用力の一般解が必要となり，それらの式は

u%=

!A e^!ip^*^"⁽^x³^!d⁾ q^#

(

x₃$d

)

A e^!ip^*^"⁽^x³^!d⁾ q^#

(

x₃<d

)

%

&

' ('

(36)

t=

i!B e^"ip^*^!⁽^x³^"d⁾ q^#

(

x₃$d

)

"i!B e^"ip^*^!⁽^x³^"d⁾ q^#

(

x₃<d

)

%

&

' ('

(37)

となる．x₃=d で力 f が作用したときの境界条件 %u⁺=u%^!および %t⁺!%t^!=fより式(32)，(33)をもちいて

q^!="A^"1Aq^! (38)

q^!= "i

#

(

BA^"1A"B

)

^"1^f ⁽³⁹⁾

となり，q^!について整理すると

q^!= i

"A^#1A BA

(

^#1A#B

)

^#1^f

= i

"Q^!f

(40)

とおくことができ，Q^!は以下の式となる．

Q^!=A^"1A BA

(

^"1A"B

)

^"1 ⁽⁴¹⁾

3. 結語

本研究では，表面特性を考慮した半無限異方性弾性体の転位ループによる変位場および応力場を導出した．これらの式をもちいて計算した変位場と応力場については，講演会で発表する予定である．

文献

(1) Mura, T., Micromechanics of Defects in Solids, 2nd edition (1987) Martinus Nijhoff, Dordrecht.

(2) Ghoniem, N. M., and Han, X., Philosophical Magazine, Vol. 85, No. 24(2005), pp. 2809-2830.

(3) Han, X., and Ghoniem, N. M., Philosophical Magazine, Vol. 85, No. 11(2005), pp. 1205-1225.

(4) Koguchi, H., Trans. Jpn. Soc. Mech. Eng., Ser. A, Vol. 58, No. 555(1992), pp. 2132–2137.

(5) Koguchi, H., ASME J. Appl. Mech. Vol.75, (2008), 061014.

(6) Ting, T.C.T., Anisotropic Elasticity (1996), Oxford University Press, Oxford.

" 0 () ()= % C C u n n = = = = u = cos sin n n 0 = 0 C u u x , x , , x a e ()= () u , , x t x , x , x $ $ () % % + C + C u $ C u = 0 % e dx dx %

OS1220

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表面応力と表面弾性定数を考慮した半無限異方性弾性体の 転位による応力と変位場

Stress and displacement field of dislocation in anisotropic half space

considering surface stress and surface elasticity Takao HAYASHI

and Hideo KOGUCHI

{

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}

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表面応力と表面弾性定数を考慮した半無限異方性弾性体の転位による応力と変位場

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