(1)1.
（数学
A
）
1-1/2
以下の問い（1）∼（5）に答えなさい．解答にあたっては結果だけでなく導出過程も記
しなさい．
(1) 次の複素数の式を計算して，加法定理sin (x− y) = sin x cos y − cos x sin yを示し
なさい．
Z = eix· e−iy
(2) |x| < 1のとき，次の関数のx = 0でのテイラー展開式（マクローリン展開式）を
求めなさい．
(i) 1
1− x
(ii) log (1 + x) （ここで，log は自然対数を表すものとする）
(3) 次の定積分の値を計算しなさい．
(i)
∫ ∞
0
xe−xdx
(ii)
∫ ∞
1
dx
x√x2− 1
(
x = 1
tと置いて求めよ
)
(4) 次の行列Aについて，以下の問いに答えなさい．
A =
(
2 2
2 −1
)
(i) Aの固有値と固有ベクトルを求めなさい．
(ii) Aを対角化しなさい．なお，対角化に用いた直交行列も示しなさい．
(iii) 2次形式 Q = 2x12+ 4x1x2− x22を標準化しなさい．
（次のページに続く）
1-2/2
(5) 区間
−π ≤ x ≤ πにおいて区分的に滑らかな周期
2π の関数
f (x)のフーリエ級数
は，
f (x)の不連続点を除いた区間において，以下のように与えられる．
f (x) = a0
2 +
∞
∑
n=1
ancos nx +
∞
∑
n=1
bnsin nx
また，フーリエ係数
an, bnは
an =
1
π
∫
π
−π
f (x) cos nx dx, (n = 0, 1, 2, ...)
bn =
1
π
∫
π
−π
f (x) sin nx dx, (n = 1, 2, ...)
で与えられる．このとき，以下の問いに答えなさい．
(i) f (x) = x2 (
−π ≤ x ≤ π)のフーリエ係数
an(n ≥ 0)，
bn(n ≥ 1)を計算しな
さい．
(ii) (i)の結果を利用し，以下の無限級数の和
Sを求めなさい．
S =
∞
∑
n=1
(
−1)n 1
n2
2.
（数学
B
）
2-1/2
次の偏微分方程式,
(
∂2
∂x2 +
∂2
∂y2
)
u(x, y) = 0, (I)
の解を求めることを考える. 以下の問い (1), (2) に答えなさい. 解答にあたっては結果だ
けでなく導出過程も記しなさい.
(1) 下の手順に従って(I) を二次元極座標
(r, φ),
x = r cos φ,
y = r sin φ,
における式,
∂2
∂r2
u(r, φ) +
1
r
∂
∂ru(r, φ) +
1
r2
∂2
∂φ2
u(r, φ) = 0, (II)
に書き換えることを考える.
(i) x, y に対して
, i を虚数単位として
ζ = x + iy = reiφ,
ζ∗ = x− iy = re−iφ,
となる
ζ, ζ∗ を定義するとき, (I) の左辺が下のように表されることを示しな
さい.
(
∂2
∂x2 +
∂2
∂y2
)
u(x, y) = 4 ∂
2
∂ζ∂ζ∗u(ζ, ζ
∗) (III)
(ii) (III) を r, φ で書き換えるために, ∂u
∂ζ, および
∂u
∂ζ∗ をr, φ,
∂u
∂r,
∂u
∂φ を用い
て表しなさい*1.
(次ページに続く)
*1 ここで得られる関係を用いると(II)が得られるが,ここでは(II)を導出する必要はない.
2-2/2
(2) 下の手順に従って
∂2
∂r2
u(r, φ) +
1
r
∂
∂ru(r, φ) +
1
r2
∂2
∂φ2
u(r, φ) = 0, (II)
の解を求めなさい.
(i) (II) に対して u(r, φ) = R(r)Φ(φ) の形の解を求めるとき, α を定数として,
R(r), Φ(φ) に対してそれぞれ下の常微分方程式が成り立つことを示しなさい.
d2R(r)
dr2 +
1
r
dR(r)
dr −
α
r2R(r) = 0 (IV)
d2Φ(φ)
dφ2 + αΦ(φ) = 0 (V)
(ii) (V) の解を求めなさい. また, このときΦ(φ) が周期関数であることに注意し
て, α = m2 (m = 0, 1, 2,· · · ) であることを示しなさい.
(iii) R(r) = rλ の形の解を仮定して, λをmで表し, (IV) の解を求めなさい. ここ
でλ は定数である.
(iv) (II) の境界条件が下のように与えられるとき, α = m2 であることを考慮して,
u(r, φ)を求めなさい.
u(a, φ) = 3 cos φ + 5 sin 2φ
u(∞, φ) = 0
3.（物理学 A）
3-1/2
以下の問い（１），（２）に答えなさい．解答にあたっては結果だけでなく導出過程も
記しなさい．
（１） 質量 の球の運動を考える．
(i) 水平面を 平面とし，鉛直上向きを の正の向きとする．球には速度
に比例する空気からの抵抗力 ，ただし，
が働くとする． は定数である．球に働く空気の浮力は無視できるとする．ま
た，球の回転は考えない．重力加速度を とする．
時刻0 において，この球を初速度 0 で落下させる．
(a) 球の運動方程式を示しなさい．
(b) 球の終端速度 を求めなさい．
(c) 時刻 における球の速度 を求めなさい．
今度は，時刻 0 において，この球を図のように初速度
で空気中を投げ上げる． は 平面内のベク
トルで， 軸とのなす角が である．
(d) 球が最大の高さに達する時刻 を求めなさい．
(e) 球の軌跡を式で表しなさい．
(ii) 質量 ，半径 の大気のない天体の表面上から球を投げる．天体や球の自
転は考えない．万有引力定数を とする．
(a) 球がこの天体の重力を振り切るのに必要な初速度の最小値 を求めな
さい．
(b) 天体表面から表面の接線方向に初速度の大きさ （
√ 1）で球を
投げだした．球が天体中心から最大の距離に達したときの，天体中心か
らの距離 を と で表しなさい．
3-2/2
（２） 誘電率 ，透磁率 ，電気伝導度 の半無限の導体 ( 0) が真空と接して
いる． ， ， は時間と空間によらない定数とする．
電荷がない空間におけるマクスウェルの方程式は，次のように表される．
rot
rot
div 0
div 0
ここで，電場 ，電束密度 ，磁束密度 ，磁場 には，以下の関係が成り立
つとする．
また，導体中では，電流 と電場 の間にオームの法則
が成り立つ．
(i) 導体内の電場 について以下の式が成り立つことを示しなさい．
∆
今，真空中から導体に垂直に角振動数 の平面電磁波が入射する．このとき，導
体内の電磁波の電場成分が以下のように与えられるとする．
, 0, 0 ,
ただし， , ， は時間と空間によらない定数である．
(ii) が満たす式を求めなさい．
(iii) とし， と を求めなさい．
(iv) ≫ のとき， 導体内での電場の振幅がどのようになるかを説明しなさい．
4.
（物理学Ｂ）
4-1/2
以下の問い(1)
∼ (3)に答えなさい．解答にあたっては結果だけではなく，導出過程も
記しなさい．なお，状態量である
T，
V，
P，
S はそれぞれ温度，体積，圧力，エントロ
ピーである．
(1) 準静的な変化において，内部エネルギーの変化量を
∆U とすると，熱力学第１法則
から
∆U = ∆Q− P ∆V と表される．
∆V は体積の変化量，
∆Qは物体に与えら
れる熱量である．この関係式を用いて次の問いに答えなさい．
(i) 比熱とは何かを「熱量」を用いて1, 2行で説明しなさい．
(ii) 体積が一定の場合の比熱を，定積比熱
CVと呼ぶ．
CVが以下の式で表される
ことを証明しなさい．
CV=
(
∂U
∂T
)
V
(iii) 圧力が一定の場合の比熱を，定圧比熱
CPと呼ぶ．
CP が以下の式で表される
ことを証明しなさい．
CP
= CV+
{(
∂U
∂V
)
T
+ P
} (
∂V
∂T
)
P
(2) 準静的な変化において，内部エネルギーの微小変化を
dU とすると，熱力学第２
法則から
dU = T dS − P dV と表される．この関係式を用いて次の問いに答えな
さい．
(i) ヘルムホルツの自由エネルギー
F が
F = U − T S と表されることを用いて，
次のマクスウェルの関係式を証明しなさい．
(
∂S
∂V
)
T
=
(
∂P
∂T
)
V
(ii) (2)の(i)のマクスウェルの関係式を用いて，以下の式を証明しなさい．
(
∂U
∂V
)
T
= T
(
∂P
∂T
)
V
− P
4-2/2
(3) １モルの理想気体を考える．(1)または(2)で得られた結果を用いて，以下の問い
に答えなさい．
(i) (∂U/∂V )T が0になることを示しなさい．
(ii) 定圧比熱
CPと定積比熱
CVの差が定数になることを示しなさい．
(iii) エントロピー
Sが以下の式で表されることを証明しなさい．ただし，
CVは温
度に依存しないとする．
C0は定数である．
S = CV
log T + R log V + C0
(iv) 断熱変化をする場合，(3)の(ii)と(iii)で得られた結果を用いて，圧力P と体
積V の関係式を導きなさい．この時，比熱比CP/CV= γ を用いなさい．
(v) (3)の(iv)で導いた断熱変化の圧力と体積の関係式（断熱線）と，等温変化を
する場合の圧力と体積の関係式（等温線）を比較することで，以下の式を証明
しなさい．
dPdV
断熱線
> dP
dV
等温線
5
.（岩石学・鉱物学）
5 - 1/3
以下の問い（１）～（４）に答えなさい。
（１）図１のような仮想的な 2 次元結晶を考える。小胞の中心には A 原子あるいは B 原子
が配置する。小胞は一辺の長さが a (nm)の正三角形であり変形しない。A 原子あるい
は B 原子は、小胞の壁を介して最も近い等価な３方向の原子と結合するが、それより
遠い原子との相互作用は無いとする。A-A, B-B および A-B 結合の存在割合をそれ
ぞれ xAA, xBB,xABとし、その結合エネルギーをそれぞれeAA, eBB, eAB とする。ここで結
合エネルギーとは結合している原子対を無限遠まで引き離すのに必要なエネルギー
のことである。この結晶に関して、以下の問い(ⅰ)～(ⅳ)に答えなさい。
（ⅰ）1 m2
の結晶中に存在する全結合エネルギーを求めなさい。
（ⅱ）全原子に対する A 原子の存在割合を xAAと xBBを用いて表しなさい。
（ⅲ）次の 2 つの場合に安定となる結晶構造について、単位格子を答案用紙に描き、
単位格子に含まれる回転軸をすべて示しなさい。
① eAA, eBB, eABが全て等しい場合。
② eABが他の二つに比べて極めて大きい場合。
（ⅳ）eAAと eBBが互いに等しく、eABに比べて極めて大きい場合、結晶はどのような状態
になるのが安定と考えられるか、理由を挙げて答えなさい。
図 1. 仮想的な 2 次元結晶の模式図
A A
B
B A
B B
B
B
B
A
A
A A
B
B
B
A
A
B
A
A A
5 - 2/3
（２）以下の文章をよみ、問い(ⅰ)～(ⅴ)に答えなさい。
図２は Mg2SiO4-CaAl2Si2O8-SiO2からなる三成分系の模式的相平衡図である。この
図に基づいて、図上の点 X で示される組成のマグマが温度の低下とともにどのように
結晶化するかを考えてみよう。
平衡結晶作用が起こる場合を考えよう。まずマグマが 100％メルトである状態から始
める。温度の低下が進行すると、まずカンラン石が晶出し始める。カンラン石の晶出が
進行すると、メルトの組成は (ア）直線に沿って変化していき、やがて点 c と点 h を結ん
でいる相境界上に達する。その後メルト組成は、（イ）この相境界に沿って変化し、（ウ）最
終的に相平衡図上のある点に達する。その後メルト組成は変化することなく（エ）完全に
固結し岩石となる。
一方、（オ）分別結晶作用によりマグマの結晶化が進行する場合のメルトの組成変化
経路は平衡結晶作用によるものと異なる。
（ⅰ）下線部（ア）の直線はどのような直線か。相平衡図中の点の記号を用いて答えな
さい。
（ⅱ）下線部（イ）の状態のとき、温度低下に伴うマグマ中の各相の増減を説明しなさい。
（ⅲ）下線部（ウ）のある点とはどの点か。相平衡図中の点の記号で答えなさい。
（ⅳ）下線部（エ）に関連して、この岩石はどのような鉱物からなるかを答えなさい。
（ⅴ）下線部（オ）のように分別結晶作用によるマグマの結晶化が起こる場合、点 X の
組成のマグマが 100%メルトの状態から完全に固結するまでのメルト組成の変化経
路を、解答用紙に相平衡図の概形を書き、その図上で分かりやすく示しなさい。
図２．Mg2SiO4-CaAl2Si2O8-SiO2三成
分系の模式的相平衡図。相境界の位
置は重量比に基づく。Fo，En，Q，An
は、それぞれカンラン石、直方輝石、
石英、斜長石がその組成領域で最初
に晶出する鉱物であることを示す。点
g は MgSiO3の組成に対応する。
5 - 3/3
（３）下の「噴火の推移」で示す火山噴火が起こった。その記述に基づいて火口から数 km
離れた場所の露頭で観察されるこの噴火の堆積物の産状を推定して答えなさい。解
答では、図３を参考にして、図４に示す構成物質の記号を用いた柱状図を描き、各ス
テージの堆積物を説明しなさい。図４の構成物質記号をすべて使う必要はありませ
ん。必要に応じて構成物質の記号を追加してもかまいません。
図３．参考柱状図 図４．構成物質の記号
（４）次の用語群(ⅰ)～(ⅵ)の中から 2 つ選び、岩石学・鉱物学的観点から 3 行程度で説明
しなさい。
（ⅰ） 2 次の相変態 （ⅱ） 電子線プローブマイクロアナライザ(EPMA)
（ⅲ） バーガーズ・ベクトル （ⅳ） マントル遷移層
（ⅴ） ストロンボリ式噴火 （ⅵ） 普通角閃石（ホルンブレンド）
ステージ２
ステージ１
基質は淘汰の悪い
火山灰であり，下
部はスコリアと岩
片を含み，上部は
様々な大きさの軽
石を含む．
主として 1cm 程度
の軽石よりなり，
淘汰が良い．他の
ステージの堆積物
層より薄い．
軽石
スコリア
石質岩片
淘汰の悪い
火山灰
細粒火山灰
火山砂
［噴火の推移］
ある火山で大規模な珪長質マグマの噴火が起こった。噴火は以下のように進行した。
ステージ１：マグマ水蒸気爆発で噴火が開始した。
ステージ２：高さ約 30 km の噴煙柱が立ち上がった。
ステージ３：噴煙柱が崩壊して火砕流が発生したり、また噴煙柱が立ち上がったりを繰
り返した。
ステージ４：大規模な火砕流が発生した。その後噴火はだんだん弱くなり停止した。
6.
（地質）
6-1/2
以下の問い（１）∼（５）に答えなさい。
(1) 以下の堆積構造（ア）∼（ウ）に関する問い（i）と（ii）に答えなさい。 必要なら
ば図を用いてもよい。
（ア）級化層理
（イ）斜交層理
（ウ）リプルマーク（れん痕）
(i)（ア）∼（ウ）の特徴をそれぞれ記載しなさい。
(ii)（ア）∼（ウ）を用いて地層の上下判定をする方法を，それぞれ説明しなさい。
(2) 河岸段丘に関する問い（i）と（ii）に答えなさい。 必要ならば図を用いてもよい。
(i) 河岸段丘ができる過程について説明しなさい。
(ii) 河岸段丘と氷期および間氷期との関係について説明しなさい。
(3) 地球の歴史と古生物の進化に関する問い（i）∼（v）に答えなさい。
(i) 魚類，鳥類，爬虫類，哺乳類および両生類の五つの類を考える。その系統関係
をみると，デボン紀に両生類は魚類から進化したと考えられている。では，鳥
類，爬虫類および哺乳類は，それぞれどの地質年代（単位は「紀」とする）に
何類から進化したと考えられているか答えなさい。
(ii) シダ植物，裸子植物および被子植物は，それぞれどの地質年代（単位は「代」
とする）に出現したと考えられているかそれぞれ書きなさい。また，各植物の
大きな特徴を，周辺環境への適応進化という観点から述べなさい。
(iii) 地球の歴史を解析する上で，微化石が通常の化石にくらべて優れている点を２
つあげなさい。
6-2/2
(iv) 微化石としてよく用いられる生物のうち，石灰質の殻をもつものとケイ酸質の
殻をもつものを，それぞれ二つあげなさい。
(v) 微化石を用いた研究例をひとつあげなさい。
(4) 約１０億年前から現在に至る大陸の衝突・分裂の歴史を記述しなさい。ただし，以
下の用語を全て用いること。
・超大陸ロディニア ・超大陸パンゲア ・ゴンドワナ大陸
・ローレンシア大陸 ・カレドニア造山運動
(5) 岩石の弾性変形と流動変形の違いについて，応力と歪みあるいは歪み速度との関係
から説明しなさい。また，変形の原因である応力が除去されたあとに，弾性変形と
流動変形が示す大きな違いについても説明しなさい。
7.
（固体地球物理学
A
）
7-1/3
以下の問い (1)
∼ (3)に答えなさい。計算問題の場合、途中の導出過程も示しなさい。
(1) 重力に関する下記の (i)
∼(iv) の問いに答えなさい。図を用いて解答しても良い。
(i) 地表付近で測定される重力の大きさ（重力加速度）は、おおよそ 9.8 m/s2 で
あるが、精密に測定すると場所によって変化する量である。大きな変化の一
つは測定場所の緯度に依存する成分であり、両極と赤道では約0.5%も変化す
る。この理由を説明しなさい。
(ii) 地球の形状を回転楕円体で表したとき、その表面に下ろした垂線の方向と、そ
の場所で測定した重力の方向とは、一般には差が生じる。ヒマラヤ山脈のふも
とで、この方向の差の測定を行った。事前の予想では、測定値には山体が影響
すると考えられた。その予想にもとづくと、この方向差はどのような方向に測
定されるはずか、理由とともに答えなさい。
(iii) (ii) に関して、実際の方向差の測定値は、事前の予想よりも有意に小さい値で
あった。この理由について考察しなさい。
(iv) (iii)の考察に基づくと、地球上の大陸と海洋での地下構造にどのような違いが
できると考えられるか、論じなさい。
(2) 図1は海洋底年代の分布図である。これに関する下記の (i), (ii) の問いに答えな
さい。
(i) この図にあるような海洋底年代は、どのように推定されているか、詳しく説明
しなさい。
(ii) この図からプレート拡大速度に関する情報を3つ読み取り、それぞれについて
説明しなさい。
90˚S
60˚S
30˚S
0˚
30˚N
60˚N
90˚N
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
million years
図1: 海洋底年代の分布.
7-2/3
(3) 図2aはプレートが生成されてから沈み込む一連の過程を断面図で示したもので、
図2bはそれを単純化したものである。ここでプレートは固体、マントルは粘性流
体とみなす。沈み込んだプレートはまわりのマントルよりも密度が大きいために下
降し、マントルにはそのように動くプレートに引きずられて流れが生じると考え
る。このときのマントルの空間スケールを、上下方向・水平方向ともに
D、プレー
トの厚さを
d、プレートの紙面奥行き方向の長さを1とする。また、プレートは P
で連続的に生成され、 Q に到達すると消滅するとする。この単純なモデルに基づ
き、プレートの移動速度
v を見積もってみる。これに関する下記の (i)
∼(vi) の問
いに答えなさい。
D
D
d
d
v
v
v
v
T=0
P
Q
T
m η
(a)
(b)
v
v v
図2: プレート循環の模式図. (a) 沈み込むプレートとそれによるマントル中の流
れ. (b) (a)を単純化したもの. 灰色部分を移動するプレートとする.
(i) 物質の温度が上昇すると、一般に、体積が増加する。温度変化に対する体積膨
張の割合は、熱膨張率
α を用いて以下のように書ける:
∆V
V0
= α∆T (I)
ここで体積変化
∆V = V − V0、
V0 はもとの体積、
V は変化後の体積、温度
変化
∆T = T − T0、
T0 はもとの温度、
T は変化後の温度である。式(I)で、
体積を密度に関する表現にして整理すると
∆ρ = −ρ0
α∆T (II)
となることを示しなさい。ただし密度変化
∆ρ = ρ− ρ0、
ρ0 をもとの密度、
ρ
を変化後の密度とし、
∆ρ は小さく
∆ρ/ρ≃ ∆ρ/ρ0 の近似が成り立つとする。
(ii) 図2b で下降しているプレートに働く浮力
B を求める。重力加速度はどの深
さでも
g とするとき、プレートの密度
ρ、周囲のマントル物質の密度
ρm を用
い、
B を表しなさい。なお浮力は上向きに働く場合を正と定義する。
7-3/3
(iii) プレートの温度は地表では冷たいが、下降とともにまわりのマントルに暖めら
れ、温度が上昇していく。マントルの温度を
Tm、プレートの温度は地表では
T = 0としマントル最下部で
Tm になるとする。簡単のため、下降するプレー
トの平均的な温度を
Tm/2 と考えると、温度差
∆T = Tm/2− Tm =
−Tm/2
となる。このとき、(ii) の浮力
B を
g, ρm, α, Tm, D, d を用いて表しなさい。
(iv) マントルの粘性による抵抗力を見積もる。ここでは速度の空間勾配に比例する
粘性応力が働くとする。図2b で、マントル中の水平方向の速度は、マントル
の最上部と最下部の間の
D の距離で線形に
2v 変化しているとする。このと
き、流れによるせん断応力の大きさは
τ = η· 2v/D となり、このせん断応力が
プレートに抵抗力として働くことを考える。ここで
η は粘性率である。図2b
のプレートの水平に動く部分の下面に働く抵抗力の大きさ
FR を求めなさい。
(v) 図2b でプレートの下降する部分には、プレートの両側にそれぞれ、(iv) と同
じせん断応力が抵抗力として働く。先に求めた浮力
B とプレート全体に働く
抵抗力が釣り合う場合、プレート速度
v の表式を求めなさい。
(vi) プレート速度
v のおおよその値を求めてみる。
D = 3000 km、
d = 100 km、
η = 1022
Pa s、g = 10 m s−2、ρ
m = 3300 kg m
−3、
α = 3× 10−5 ◦C
−1、
Tm = 1300
◦Cの値を使い、
v の値をm/年 の単位で、有効数字1桁で求めな
さい。
8.（固体地球物理学Ｂ）
8‐1/3
以下の問い（１）、（２）に答えなさい。計算問題の場合、途中の導出過程も示しなさ
い。
（１）地震は断層に沿ったせん断破壊現象とみなすことができる。この現象を理解す
る際、しばしば図 1 のような岩石の圧縮試験によって生じるせん断破壊が考え
られる。さらに、図 1 のような破壊現象を定量的に扱うため、図 2 のような長
さ
𝐿𝐿
、
𝐿𝐿
1、
𝐿𝐿
3の面で構成される三角柱を考える。ただし、紙面に垂直な方向の
これらの面の長さは
1（単位長さ）とする。図 2 において、最大主応力𝜎𝜎
11が
𝑥𝑥
1
軸、最小主応力
𝜎𝜎
33が
𝑥𝑥
3軸の正の方向に働いているものとする。また、長さ
𝐿𝐿
の
面に対する法線ベクトル
𝑛𝑛
は、
𝜎𝜎
11、
𝜎𝜎
33を含む面内にあるものとする。
𝑛𝑛
が
𝑥𝑥
1軸
となす角を
𝜃𝜃
とし、長さ
𝐿𝐿
の面に働く法線応力
𝜎𝜎
𝑛𝑛とせん断応力
𝜏𝜏
を図 2 のように
とり、
𝜎𝜎
𝑛𝑛、
𝜏𝜏
を
𝜎𝜎
11、
𝜎𝜎
33、
𝜃𝜃
を用いて表すことを考える。なお、上記の三角柱
の面に働いている力は全体としてつり合っているものとする。
𝜎𝜎
11
𝜎𝜎
33
(i) 図 2 において、法線応力
𝜎𝜎
𝑛𝑛が長さ
𝐿𝐿
の面に及ぼす
𝑥𝑥
1軸方向の力を求めな
さい。
(ii) 図 2 において、
𝑥𝑥
1軸方向の力のつり合いの式を書きなさい。
(iii) 図 2 において、
𝑥𝑥
3軸方向の力のつり合いの式を書きなさい。
図１
図２
8‐2/3
(iv) (ii)、(iii)で求めた式を用いて、
𝜎𝜎
𝑛𝑛 =
1
2(𝜎𝜎
11
+ 𝜎𝜎
33
) +
1
2(𝜎𝜎
11
− 𝜎𝜎
33
) cos 2𝜃𝜃
𝜏𝜏 =
1
2
(𝜎𝜎
11
− 𝜎𝜎
33
) sin 2𝜃𝜃
となることを示しなさい。
(v) (iv)の 2 つの式から
𝜃𝜃
を消去し、
𝜎𝜎
𝑛𝑛と
𝜏𝜏
の関係を表す式を求めなさい。ま
た、横軸に
𝜎𝜎
𝑛𝑛、縦軸に
𝜏𝜏
をとり、
𝜏𝜏 ≧ 0
の範囲でこの関係式を図示しなさ
い。また、この図形の名称を専門用語で答えなさい。
(vi) 凝着力を
𝜏𝜏
0、内部摩擦係数を
𝜇𝜇
とすると、破壊強度
𝜏𝜏
𝑠𝑠は
𝜏𝜏
𝑠𝑠
=
𝜏𝜏
0
+
𝜇𝜇𝜎𝜎
𝑛𝑛
と表される。横軸に
𝜎𝜎
𝑛𝑛、縦軸に
𝜏𝜏
または
𝜏𝜏
𝑠𝑠をとった座標系において、 (v)
の図形と
𝜏𝜏
𝑠𝑠の図形が接するとき、せん断破壊が起こると考えられる。こ
の場合、内部摩擦係数が 0 のとき、
𝜏𝜏
𝑠𝑠を
𝜎𝜎
33を用いて表しなさい。また、
このとき
𝜃𝜃
の値を求めなさい。
（２）図 3 は水平 2 層構造における走時曲線を表したものである。1 層目、2 層目の
地震波速度は一定で、それぞれの速度を
V1、
V2とする。ただし、
V1 <
V2とする。
また、1 層目の厚さを
𝐻𝐻1とし、震源と観測点は地表にあるものとする。以下の
問いに答えなさい。なお、以下の問い(i)、(vi)以外は、上記の変数名のみを
用いて解答すること。
図３
図３
8‐3/3
(i) 図 3 において、実線で示した(ア)、（イ）、（ウ）の走時曲線に対応する
地震波の名称を答えなさい。
(ii) 図 3 において、震央距離 0 における（ウ）の走時を求めなさい。
(iii) 図 3 において、（ア）、（イ）の走時曲線の傾きを求めなさい。
(iv) 図 3 において、
𝑋𝑋criticalは（ア）の走時曲線が初めて現れる震央距離で
ある。この距離を求めなさい。
(v) 図 3 において、（ア）の走時曲線で表される地震波の走時
𝑇𝑇 を震央距離
𝑋𝑋の関数として表しなさい。ただし、水平成層構造の場合の波線パラメ
ター（水平スローネス）
𝑝𝑝を用い、V2は用いないこと。
(vi) 図 4 の右図のような水平 3 層構造において、1 層目、2 層目、3 層目の
地震波速度は一定で、それぞれの速度を
𝑉𝑉1、 𝑉𝑉2、 𝑉𝑉3 とする。ただし、
𝑉𝑉1 < 𝑉𝑉2 ＜ 𝑉𝑉3とする。また、1 層目、2 層目の厚さをそれぞれ
𝐻𝐻1、𝐻𝐻2 と
し、震源と観測点は地表にあるものとする。今、図中の太い実線のよ
うな地震波の走時を考える。これは、ＡからＢに至る太い実線に沿っ
た、震央距離
𝑌𝑌に対する水平 2 層構造の場合の走時に、図 4 の左図(右
図の四角の枠内の拡大図)にあるような距離
𝐷𝐷（Ｂ側も合わせると，
2 × 𝐷𝐷）に対する走時が付け加わったものと考えることができる。この
とき、震源から観測点までの太い実線に沿った地震波の走時Ｔは震央
距離
𝑋𝑋の関数として、
𝑇𝑇 = 𝑋𝑋𝑝𝑝 + 2 �𝐻𝐻
1�1−𝑉𝑉1
2
𝑝𝑝2
𝑉𝑉1
+ 𝐻𝐻
2
�1−𝑉𝑉
22
𝑝𝑝2
𝑉𝑉2
�
となることを示しなさい。ここで、
𝑝𝑝は水平成層構造の場合の波線パラメター
（水平スローネス）である。
図４
