2 T ax 2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 a + b + c > 0 a, b, c A xy ( ) ( ) ( ) ( ) u = u 0 + a cos θ, v = v 0 + b sin θ 0 θ 2π u = u 0 ± a

2

次曲線の描画プログラム

理工学部 数理情報学科 T140073 松原 誠智 指導教員 池田 勉 概要   中学生や高校生は、楕円や放物線、双曲線をそれぞれ別々なものとして学んでいるような気がする。しかし、これ  らは２次曲線として統一的に理解できるものである。このことを視覚的に表現するすることを目標として、本研究では  ⃝1 ２次曲線を統一的に描画するプログラムと⃝2 パラメータ変化にともなう２次曲線の形状変化（楕円 ⇐⇒ 放物線    _⇐⇒ 双曲線）をアニメーションで表現するプログラムを作成した。   ２次曲線は、以下の手順で統一的に描画した。 ・２次方程式ax2+ 2bxy + cy2+ dx + ey + f = 0（_{|a| + |b| + |c| > 0}）の係数a, b, cからなる行列Aの固有値・固   有ベクトルを計算する。 ・固有ベクトルから得られる回転行列を用いて、２次方程式を交差項xyのない標準形に変形する。 ・得られた２つ固有値の積の符号から、２次曲線を楕円型(固有値の積が正)、双曲線型(固有値の積が負)、放物線型(固   有値の積が０)の３つに分類する。楕円型の２次曲線には、楕円、１点、空集合がある。双曲線型の２次曲線には、双   曲線、交差する２直線がある。放物線型の２次曲線には、放物線、平行な２直線、１直線、空集合がある。 ・分類した中で対応する(交差項のない標準形で与えられる)２次曲線を描画する。楕円は、媒介変数表示 u = u0+ a cos θ, v = v0+ b sin θ  （0≤ θ ≤ 2π）   を利用し描画する。双曲線は、媒介変数表示 u = u0± a cos θ, v = v0+ b tan θ （− π 2 < θ < π 2）   を利用し描画する。放物線は、つぎの媒介変数表示を利用し描画する。 u = u0+ 2pt, v = v0+ pt2 （− ∞ < t < ∞） ・描画した２次曲線と固有ベクトルから得られる回転行列の逆行列を用いて、当初の２次方程式で定まる２次曲線を描   画する。  パラメータの変化にともなう２次曲線の形状推移をアニメートするプログラムは以下の手順で作成した。 ・楕円からスタートする。ac− b2> 0の時、２つの固有値の積はλ1λ2> 0となる。 ・bをac− b2_{= 0になるまで大きくして、２次曲線の形状を楕円から放物線に推移させる。ac− b}2_{= 0の時、}   ２つの固有値の積はλ1λ2= 0となり、このときに放物線になる。 ・dまたはeを調節して、放物線から平行な２直線に推移させる。 ・平行な２直線の間隔が小さくなり、ついには１直線になるようにfを調節する。 ・fを調節して、平行な２直線に戻す。 ・bを大きくして、平行な２直線から双曲線に推移させる。ac− b2_{< 0の時、２つの固有値の積はλ} 1λ2< 0となる。 ・fを調節して、双曲線から交差する2直線を経て、開き方の違う双曲線と変形させる。

  2018年度 卒業論文

２次曲線の描画プログラム

龍谷大学 理工学部 数理情報学科 T140073 松原誠智 指導教員 池田 勉

目次 1 はじめに 1 1.1 ２次曲線 . . . 2 2 ２次方程式の標準形への変換（線形変換） 2 2.1 行列を用いた２次方程式の変形. . . 2 2.2 固有値の計算 . . . 4 2.3 固有ベクトルの計算 . . . 5 2.4 ２次方程式を標準形への変換 . . . 7 2.5 2次曲線の分類 . . . 9 3 各2次曲線の描画 10 3.1 楕円型 . . . 10 3.2 双曲線型 . . . 12 3.3 放物線型 . . . 14 4 2次曲線のアニメーション 21 4.1 ２次曲線の描画の全体の流れ . . . 25 5 追加した機能 27 6 おわりに 28 6.1 まとめ . . . 28 6.2 検討. . . 29

1

はじめに 本稿は、

⃝

1 円や放物線といった２次曲線の描画、

⃝

2 すべての２次曲線を 関連付けるアニメーション、の２点の

CG

の描画をおこなえるプログラムを 作成する方法を考えた論文である。  今回、著者が

⃝

1 ２次曲線の描画、

⃝

2 すべての２次曲線を関連付けるアニ メーション の２点の作成を題材にしたきっかけは、中学生や高校生にとっ て、円や放物線、双曲線を学び理解するには比較的多くの時間を要している と感じたからである。中学校や高等学校では、円や放物線、双曲線は別々に 学ぶことも多く、理解するためには、様々なグラフと見比べたりし、学ぶの で２次曲線を理解するには比較的時間を要する。また、著者は中学校、高等 学校の算数、数学の内容の視覚的にとらえやすい教材開発ついて興味があ り、題材に選んだ。著者は、２次方程式を入力することで、入力された２次 方程式の２次曲線を

OpenGL

で描き、観察することができるような２次曲 線の理解が深まる教材を、大学で学んだプログラミングを用いて作りたいと 考えた。 また、すべての２次曲線を関連付けるアニメーションを作成し、観察するこ とで円や放物線、双曲線は２次曲線の１つであり内容的にはつながってい て、全く異なるものではないことを伝えたいと考えた。２次曲線の描画につ いては、入力された２次方程式を簡単な形に変形した標準形の２次曲線の描 画を先に行い、その際に求められた回転行列と２次曲線の描画から最初に入 力された２次方程式の描画をおこなっている。  さらに、２次曲線の描画後、最初に入力された２次方程式の係数と変化幅 を入力することで、２次方程式を変化させ、２次曲線の変化を観察できる。  ２次方程式の標準形への変形をおこなうための計算方法については２節で 説明する。  また、各２次曲線の描画と変化については３節で、すべての２次曲線を関 連付けるアニメーションについては４節で説明をおこない、５節で機能の説 明、６節で本稿を締めくくる。

1.1 ２次曲線 一般に、実数

a, b, c, d, e, f

を使って、

x

と

y

の２次方程式

ax

2

+ 2bxy + cy

2

+ dx + ey + f = 0

を満たす点

(x, y)

の集まりが作る曲線を２次曲線という。 （ただし、２次方程式のため、

|a| + |b| + |c| > 0

）         次のいずれかの曲線（または直線）になることが分かって いる。 ・２つの直線 ・放物線 ・楕円（円を含む） ・双曲線 これらは、すべて円錐を切ったときに現れる曲線または直線であり、円錐曲 線とも呼ばれる。

([1])

2

２次方程式の標準形への変換（線形変換） ２次曲線の描画を簡単におこなうために、まず簡単に描画ができる標準形 に変形するため、入力された２次方程式を行列を用いた式に変形する。その 後、回転行列を用い、変数変換をおこなって、交差項のない２次方程式（標 準形）に変形する。 2.1 行列を用いた２次方程式の変形 入力された２次方程式が

ax

2

+ 2bxy + cy

2

+ dx + ey + f = 0

  （２次方程式のため

|a| + |b| + |c| > 0)

 とすると

２次の実対称行列

A =

(

a b

b c

)

,

１×２の実行列

B =

(

d e

)

,

実数

f

を用いて ２次方程式は、

ax

2

+ 2bxy + cy

2

+ dx + ey + f = 0

(

x y

) (

_{a b}

b c

) (

x

y

)

+

(

d e

) (

_x

y

)

+ f = 0

 

(

x y

)

A

(

x

y

)

+ B

(

x

y

)

+ f = 0

 と変形できる。 

([2])

2.2 固有値の計算 ２次曲線の分類や描画のため、２次の実対称行列

A =

(

a b

b c

)

の固有値を求める。 固有方程式 

det

(

λ

− a −b

−b λ − c

)

= 0

を解き固有値を求める。







λ

− a −b

−b λ − c







= 0

２行

2

列の行列式なので

(λ

− a)(λ − c) − b

2

= 0

と表せる。λに関する２次方程式

λ

2

− aλ − cλ + ac − b

2

= 0

λ

2

− (a + c)λ + ac − b

2

= 0

となる。

2

次方程式の解の公式を用いて固有値

λ

を求めると

λ =

(a+c)±

√

(a+c)2−4(ac−b2₎ 2 固有値

λ

が得られる。 また、

√

(a + c)

2

− 4(ac − b

2

_{) = 0}

_{となるとき、固有値は重解となる。}

2.3 固有ベクトルの計算 ２次の実対称行列

A

の対角化に必要な回転行列をもとめるため、２次の 実対称行列

A

の固有ベクトルを求める。 前節で求められた２つの固有値をそれぞれ

λ

1

=

a + c +

√

(a + c)

2

− 4(ac − b

2

₎

2

λ

2

=

a + c

−

√

(a + c)

2

− 4(ac − b

2

₎

2

とおく。 固有値が

λ

1 となるとき

,

求める固有ベクトル

A

1 を

A

1

=

(

x

1

y

1

)

とおくと

(

λ

1

− a

−b

−b

λ

1

− c

) (

x

1

y

1

)

= 0

となる。連立方程式にすると

(λ

1

− a)x

1

− by

1

= 0

−bx

1

+ (λ

1

− c)y

1

= 0

(2.1)

また、

(2.1)

の上の式より

b

̸= 0

ならば

y

1

=

(λ

1

− a)x

1

b

(2.2)

となる。

(2.2)

より固有ベクトルは、

A

1

=

(

1

(λ1−a) b

)

x

1 となる。

b = 0

である場合は、

A =

(

a 0

0 c

)

となるため、もともと対角行列なので、固有ベクトルを求めない。 次に、固有値が

λ

2 のときの固有ベクトルの求め方も、固有値が

λ

1 の時と同 様なので 固有値が

λ

2 の時の固有ベクトルを

A

2

=

(

x

2

y

2

)

とおくと

(

λ

2

− a

−b

−b

λ

2

− c

) (

x

2

y

2

)

= 0

となる。連立方程式にすると

(λ

2

− a)x

2

− by

2

= 0

−bx

2

+ (λ

2

− c)y

2

= 0

(2.3)

(2.3)

の下の式より

b

̸= 0

ならば

x

2

=

(λ

2

− c)y

2

b

(2.4)

となる。

(2.4)

より固有ベクトルは、

A

2

=

(

_(λ 2−c) b

1

)

y

2 となる。

b = 0

である場合は、

A =

(

a 0

0 c

)

となるため、もともと対角行列なので、固有ベクトルを求めない。 2.4 ２次方程式を標準形への変換 ２次の実対称行列

A

の固有値、固有ベクトルを求められたので、２次方 程式を回転行列を用いて、標準形へと変換する。 前項２．３により求めた２次の実対称行列

A

の固有値を

λ

1

, λ

2 とし ２次の実対称行列

A

の固有ベクトル

A

1

=

(

x

1

y

1

)

, A

2

=

(

x

2

y

2

)

より得られた回転行列

P =

(

j

−k

k

j

)

 とする。

 

2.1

行列を用いた２次方程式の変形 で変形した式

(

x y

)

A

(

x

y

)

+ BP

(

x

y

)

+ f = 0

  に

(

x

y

)

= P

(

u

v

)

と変数変換を施すと        t

P AP =

(

λ₁

0

0

λ₂

)

より

(

u v

) (

_λ1

₀

0

λ2

) (

u

v

)

+ BP

(

u

v

)

+ f = 0

   

([3])

λ

1

u

2

+ λ

2

v

2

+ (dj + ek)u + (

−dk + ej)v + f = 0

  と

uv

の係数が０の標準形に変形できる。 回転行列は直交行列であり、合同変換なので、入力された当初の２次方程式 と２次方程式の標準形の描く２次曲線は、合同である。

2.5 2次曲線の分類  ２次方程式が表す図形   ２次の実対称行列

A =

(

a b

b c

)

（

|a|+|b|+|c| > 0)

の固有値を

λ

1

, λ

2とする。 ２次方程式

ax

2

+ 2bxy + cy

2

+ dx + ey + f = 0

が表す図形は次の通りで ある。

λ

1

λ

2

> 0

ならば        楕円、１点または空集合

λ

1

λ

2

< 0

ならば           双曲線、または交差する２直線

λ

1

λ

2

= 0

ならば         放物線、平行な２直線、１直線、または空集合  

([2])

  ２次の実対称行列

A

から固有値を求めようとすると λ2

_{− (a + c)}

_λ

_{+ (ac}

_{− b}

2

_{) = 0}

よって、２つの固有値の積の符号は、 行列

A

を構成する

a, b, c

によって決まることがわかる。 以下のように、

2

次曲線を２次方程式の係数

a, b, c

によって、分類できる。

ac

− b

2

> 0

 ならば 

λ

1

λ

2

> 0

 なので       楕円、１点または空集合  （楕円型）

ac

− b

2

< 0

 ならば 

λ

1

λ

2

< 0

  なので           双曲線、または交差する２直線  （双曲線型）

ac

− b

2

= 0

 ならば 

λ

1

λ

2

= 0

 なので        放物線、平行な２直線、１直線、または空集合 （放物線型）

3

各

2

次曲線の描画 3.1 楕円型 3.1.1 楕円、1点 ２定点からの距離の和が、一定である点の軌跡を楕円という。２定点を楕 円の焦点、２つの定点の中点を楕円の中心という。本研究の、楕円の描画 は、楕円の中心を用いて描画する。

ac

− b

2

> 0

ならば

λ

1

λ

2

> 0

となるので       ２次曲線は 楕円、１点または空集合 （楕円型） 楕円を描画するために、入力された２次方程式を変形した標準形

λ

1

u

2

+ λ

2

v

2

+ (dj + ek)u + (

−dk + ej)v + f = 0

(3.1)

を、楕円の方程式

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

 

(a > 0, b > 0)

(3.2)

の形に変形する。 ２次方程式（

3.1

）を平方完成すると

λ

1

(u+

dj + ek

2λ

1

)

2

+λ

2

(u+

−dk + ej

2λ

2

)

2

+f

−λ

1

(

dj + ek

2λ

1

)

2

−λ

2

(

−dk + ej

2λ

2

)

2

= 0

(3.3)

u

0

=

dj+ek_2λ1

, v

0

=

−dk+ej_2λ2 とすると（

3.3

）は

λ

1

(u + u

0

)

2

+ λ

2

(u + v

0

)

2

+ f

− λ

1

(u

0

)

2

− λ

2

(v

0

)

2

= 0

(3.4)

両辺を

f

− λ

1

(u

0

)

2

− λ

2

(v

0

)

2 で割ると

λ

1

(u + u

0

)

2

+ λ

2

(u + v

0

)

2

λ

1

(u

0

)

2

+ λ

2

(v

0

)

2

− f

= 1

λ

1

(u + u

0

)

2

λ

1

(u

0

)

2

+ λ

2

(v

0

)

2

− f

+

λ

2

(u + v

0

)

2

λ

1

(u

0

)

2

+ λ

2

(v

0

)

2

− f

= 1

(3.5)

（

3.5)

で入力された２次方程式を、楕円の方程式の形にできた。 （

3.2)

の楕円の媒介変数表示は、

x = a cos θ

y = b sin θ

なので、（

3.5)

より 入力された２次方程式（楕円型）の媒介変数表示は、

a

1

=

√

λ1(dj+ek_2λ1 )2+λ2(−dk+ej_2λ2 )2−f −λ1

,

 

b

1

=

√

λ1(dj+ek_2λ1 )2+λ2(−dk+ej_2λ2 )2−f −λ2 とおくと

u =

−u

0

+ a

1

cos θ

  （

0

≤ θ ≤ 2π

）  

v =

−v

0

+ b

1

sin θ

  （

0

≤ θ ≤ 2π

） となり、

θ

を変化させることで描画をおこなう。 このとき、楕円の中心は（

− u

₀

,

−v

0

)

となる。 図1 楕円

3.1.2 空集合 空集合は、描画をおこなわない。 3.2 双曲線型 3.2.1 双曲線 ２つの定点からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線という。 これら２つの定点を双曲線の焦点という。 また、焦点の中点を双曲線の中心という。     

([5])

本研究の双曲線の描画は、双曲線の中心を用いて描画する。

ac

− b

2

< 0

ならば

λ

1

λ

2

< 0

となるので      ２次曲線は、双曲線、または交差する２直線 （双曲線型） 双曲線を描画するために、入力された２次方程式を変形した標準形

λ

1

u

2

+ λ

2

v

2

+ (dj + ek)u + (

−dk + ej)v + f = 0

(3.6)

を、双曲線の方程式

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1

 

(a > 0, b > 0)

(3.7)

      の形に変形する。 ２次方程式（

3.1

）を平方完成すると

λ

1

(u+

dj + ek

2λ

1

)

2

+λ

2

(u+

−dk + ej

2λ

2

)

2

+f

−λ

1

(

dj + ek

2λ

1

)

2

−λ

2

(

−dk + ej

2λ

2

)

2

= 0

(3.8)

u

0

=

dj+ek_2λ1

, v

0

=

−dk+ej_2λ2 とすると（

3.3

）は

λ

1

(u + u

0

)

2

+ λ

2

(v + v

0

)

2

+ f

− λ

1

(u

0

)

2

− λ

2

(v

0

)

2

= 0

(3.9)

f

− λ

1

(u

0

)

2

− (λ

2

)(v

0

)

2 を移項し、両辺を

−(f − λ

1

(u

0

)

2

− λ

2

(v

0

)

2

)

で割ると

λ

1

(u + u

0

)

2

+ λ

2

(v + v

0

)

2

λ

1

(u

0

)

2

+ λ

2

(v

0

)

2

− f

= 1

λ

1

(u + u

0

)

2

λ

1

(u

0

)

2

+ λ

2

(v

0

)

2

− f

+

λ

2

(v + v

0

)

2

λ

1

(u

0

)

2

+ λ

2

(v

0

)

2

− f

= 1

(3.10)

λ

2

< 0

なので、（

3.10)

で入力された２次方程式を、双曲線の方程式の形にで きた。 （

3.7)

の双曲線の媒介変数表示は、

x =

a

cos θ

y = b tan θ

なので、（

3.10)

より 入力された２次方程式（双曲線型）の媒介変数表示は、

a

1

=

√

λ1(dj+ek_2λ1 )2+λ2(−dk+ej_2λ2 )2−f −λ1

,

 

b

1

=

√

λ1(dj+ek_2λ1 )2+λ2(−dk+ej_2λ2 )2−f −λ2 とおくと

u =

−u

0

+

a

1

cos θ

   （

−

π

2

< θ <

π

2

）  

v =

−v

0

+ b

1

tan θ

   （

−

π

2

< θ <

π

2

） となり、

θ

を変化させることで描画をおこなう。 この時、双曲線の中心（双曲線の漸近線の交点）は（

− u

₀

,

−v

0

)

となる。 3.2.2 交差する２直線 交差する２直線の描画は、前項の

3.2.1

の双曲線と同様の方法で描画して いる。

図2 双曲線 3.3 放物線型 3.3.1 放物線

1

つの定点とこの点を通らない定直線とから等距離にある点の軌跡を、放 物線という。この定点を焦点という。

([5])

ac

− b

2

= 0

ならば

λ

1

λ

2

= 0

となるので        放物線、平行な２直線、１直線、または空集合 （放物線型）

λ

1

> λ

2 で

λ

1

> 0, λ

2

= 0

の場合 放物線を描画するために、入力された２次方程式を変形した標準形

λ

1

u

2

+ (dj + ek)u + (

−dk + ej)v + f = 0

(3.11)

を、放物線の方程式

y

2

= 4px

(3.12)

の形に変形する。 ２次方程式（

3.11

）を平方完成すると

λ

1

(u +

dj + ek

2λ

1

)

2

+ (

−dk + ej)v + f − λ

1

(

dj + ek

2λ

1

)

2

= 0

(3.13)

u

0

=

dj+ek_2λ1 とすると（

3.13

）は

λ

1

(u + u

0

)

2

+ (

−dk + ej)v + f − λ

1

(u

0

)

2

= 0

(3.14)

移項すると

λ

1

(u + u

0

)

2

=

−(−dk + ej)v − f + λ

1

(u

0

)

2 両辺を

λ

1 で割ると

(u + u

0

)

2

=

−(−dk + ej)v − f + λ

1

(u

0

)

2

λ

1

(3.15)

（

3.15)

で入力された２次方程式を、放物線の方程式の形にできた。  （

3.12)

の放物線の媒介変数表示は、

x = pt

2

y = 2pt

なので、（

3.15)

より 入力された２次方程式（放物線型）の媒介変数表示は、

p

1

=

−(−dk+ej)_4λ1

,

 

v

0

=

λ1(−f_λ1+(u0)2) (−dk+ej) とおくと

u =

−u

0

+ 2p

1

t

  （

0

≤ t ≤ 100

）  

v = v

0

+ p

1

t

2  （

0

≤ t ≤ 100

） となり、

t

を変化させることで描画をおこなう。 この時、放物線の頂点は（

− u

₀

, v

0

)

となる。

λ

1

> λ

2 で

λ

1

= 0, λ

2

< 0

となる時 放物線を描画するために、入力された２次方程式を変形した標準形

λ

2

v

2

+ (dj + ek)u + (

−dk + ej)v + f = 0

(3.16)

を、放物線の方程式

y

2

= 4px

(3.17)

の形に変形する。 ２次方程式（

3.16

）を平方完成すると

λ

2

(v +

−dk + ej

2λ

2

)

2

+ (dj + ek)u + f

− λ

2

(

−dk + ej

2λ

2

)

2

= 0

(3.18)

v

0

=

−dk+ej_2λ 2 とすると（

3.18

）は

λ

2

(v + v

0

)

2

+ (dj + ek)u + f

− λ

2

(v

0

)

2

= 0

(3.19)

移項すると

λ

2

(v + v

0

)

2

=

−(dj + ek)u − f + λ

2

(v

0

)

2 両辺を

λ

2 で割ると

(v + v

0

)

2

=

−(dj + ek)u − f + λ

2

(v

0

)

2

λ

2

(3.20)

（

3.20)

で入力された２次方程式を、放物線の方程式の形にできた。  （

3.17)

の放物線の媒介変数表示は、

x = pt

2

y = 2pt

なので、（

3.20)

より 入力された２次方程式（放物線型）の媒介変数表示は、

p

1

=

−(dj+ek)_4λ2

,

 

u

0

=

λ2(−f_λ2+(v0)2) (dj+ek) とおくと

u = u

0

+ p

1

t

2 （

0

≤ t ≤ 100

）  

v =

−v

0

+ 2p

1

t

 （

0

≤ t ≤ 100

）

となり、

t

を変化させることで描画をおこなう。

この時、放物線の頂点は（

− v

₀

, u

0

)

となる。

3.3.2 平行な２直線、１直線 放物線型の２次曲線が平行な２直線になる場合は、  

λ

1

> λ

2 で

λ

1

> 0, λ

2

= 0

となる時に       

− dk + ej = 0

の場合

λ

1

> λ

2 で

λ

1

= 0, λ

2

< 0

となる時に       

dj + ek = 0

の場合        の２パターンである。

λ

1

> λ

2 で

λ

1

> 0, λ

2

= 0

となる時に  

− dk + ej = 0

の場合、２次方程式は、

λ

1

u

2

+ (dj + ek)u + f = 0

(3.21)

２次方程式（

3.21

）を平方完成すると

λ

1

(u +

dj + ek

2λ

1

)

2

− λ

1

(

dj + ek

2λ

1

)

2

+ f = 0

移項すると

λ

1

(u +

dj + ek

2λ

1

)

2

= λ

1

(

dj + ek

2λ

1

)

2

− f = 0

両辺を

λ

1 で割り

u

0

=

dj+ek_2λ1 とすると

(u + u

0

)

2

=

λ

1

(u

0

)

2

− f

λ

1

u =

−u

0

±

√

λ

1

(u

0

)

2

− f

λ

1

(3.22)

よって、

(3.22)

より、平行な２直線の式は

u =

−u

0

+

√

λ

1

(u

0

)

2

− f

λ

1     

u =

−u

0

−

√

λ₁

(u

0

)

2

− f

λ₁  となる

λ

1

> λ

2 で

λ

1

= 0, λ

2

< 0

となる時に       

dj + ek = 0

の場合 ２次方程式は

λ

2

v

2

+ (

−dk + ej)v + f = 0

２次方程式（

3.23

）を平方完成すると

λ

2

(v +

−dk + ej

2λ

2

)

2

− λ

2

(

−dk + ej

2λ

2

)

2

+ f = 0

移項すると

λ

2

(v +

−dk + ej

2λ

2

)

2

= λ

2

(

−dk + ej

2λ

2

)

2

− f = 0

両辺を

λ

2 で割り

v

0

=

−dk+ej_2λ2 とすると

(v + v

0

)

2

=

λ

2

(v

0

)

2

− f

λ

2

v =

−v

0

±

√

λ

2

(v

0

)

2

− f

λ

2

(3.23)

よって、

(3.22)

より、平行な２直線の式は

v =

−v

0

+

√

λ

2

(v

0

)

2

− f

λ

2    

v =

−v

0

−

√

λ

2

(v

0

)

2

− f

λ

2  となる 図4 平行な２直線 3.3.3 空集合 空集合は、描画をおこなわない。

4

2

次曲線のアニメーション 今回、作成した２次曲線のアニメーションは、２次曲線の全て（空集合を 除く）を変化させていき、描画することで、中学校や高等学校で別々に学ぶ ことが多い円や楕円、双曲線、放物線が２次方程式の係数の違いによるもの であり、２次曲線が視覚的に観察できることを目標としている。今回は、最 初に楕円からはじめて、放物線、平行な２直線、１直線、平行な２直線、双 曲線、交差する２直線、双曲線の順に変化させていく。どのように変化させ たか順に説明する。  最初の２次方程式が

ax

2

+ 2bxy + cy

2

+ dx + ey + f = 0

  （２次方程式のため

|a| + |b| + |c| > 0)

 とすると楕円からはじめるので、 λ₁λ₂

> 0

となるように 

ac

− b

2

> 0

とする。 図5 楕円

係数

b

の値を増加させていき、

ac

− b

2

= 0

となるとき、λ₁λ₂

= 0

となるので、楕円から放物線に推移す る。 図6 放物線 係数

e

の値を増加させていき、

ac

− b

2

= 0

かつ

−dj + ek = 0

となるとき、平行な２直線を描画する。

(λ

1

> λ

2 で

λ

1

> 0, λ

2

= 0

となる時

)

図7 平行な２直線

f

の値を増加させていき、

1

直線を描画する。

図8 １直線

f

の値を減少させていき、平行な２直線を描画する。

係数

b

の値を増加させていき、

ac

− b

2

< 0

となるとき、λ₁λ₂

< 0

となるので、双曲線を描画する。

図10 双曲線

f

の値を増加させていき、交差する

2

直線を描画する。

f

の値を増加させていき、先ほどとは違う開き方の双曲線を描画する。 図12 双曲線 4.1 ２次曲線の描画の全体の流れ これまで、２次曲線の楕円や双曲線、放物線の描画について説明したが、 描画までの全体の流れを説明する。

•

２次曲線を描画するウィンドウの開く位置や、サイズの指定、軸などの 設定をおこなう。

•

関数

facilitator

で、２次方程式

ax

2

+ 2bxy + cy

2

+ dx + ey + f = 0

を 入力する。

• display

関数の中の、関数で入力された２次方程式から固有値・固有ベ クトルを計算する。

•

同じく、

display

関数の中の、関数で回転行列を求め、２次方程式を標 準形に変形する。

•

その後、２次の実対称行列

A

の２つの固有値（重解の場合は１つ）の積 の符号で、楕円型、双曲線型、放物線型に分類する。

•

分類された中で、場合分けをおこない対応する標準形の２次曲線を描画 する。

•

最初に入力された２次方程式を描画した標準形の２次曲線と回転行列の 逆行列を用いて描画する。

•

 

idle

関数でカウントし、ある程度描画したら、終了させる。また、２ 次方程式の係数を変化させる。詳しくは、次項で説明する。

•

 一連の動作を繰り返す。

main

関数  

int main (int argc, char *argv[])

{

glutInit(&argc, argv);

glutInitDisplayMode(GLUT_RGBA | GLUT_DOUBLE | GLUT_DEPTH);

glutInitWindowPosition(0, 0);

xsize = 600; ysize = 600;

glutInitWindowSize(xsize, ysize);

glutCreateWindow("quadratic curve");

glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 1.0);

facilitator();

glutDisplayFunc(display);

glutReshapeFunc(reshape);

glutIdleFunc(idle);

glutMainLoop();

return 0;

}

 

5

追加した機能 ２次曲線を描画するうえで、２つの機能を追加した。 １つめの機能は、最初に入力した２次方程式の２次曲線の描画である。最初 に入力した２次方程式を回転行列を用いて標準形に変形しているが、回転行 列は直交行列なので、入力した２次方程式と標準形の２次方程式が描く２次 曲線は、合同である。そのため、回転行列から、何度回転させたのか計算し、 標準形（２次方程式に交差項

xy

のない簡単な形）の描画をおこなったあと、 標準形への変形に使用した回転行列

P

の逆行列用いて、最初に入力した２ 次方程式の２次曲線の描画をおこなっている。この機能により、入力した２ 次方程式とその２次方程式の標準形の２次曲線が同時に観察できる。使用者 が入力した２次曲線の合同変換を、観察できる。 図13 標準形と入力された２次方程式の描画  ２つめの機能は、２次曲線のアニメーションをつくるうえで作成した機能 で、２次曲線を描画をおこなったあと、入力した２次方程式の係数と変化幅 を指定すれば、２次曲線の形状変化を観察できる機能である。図形を大きく していったり、今回作成したアニメーションのように、別の２次曲線へ変化 していく様を観察できる。

図14 変化前の楕円 図15 変化後の楕円

6

おわりに 6.1 まとめ 本研究では⃝1 ２次曲線を統一的に描画するプログラムと⃝2 パラメータ変化にともなう２次曲線の形状変 化（楕円 _⇐⇒ 放物線 _⇐⇒ 双曲線）をアニメーションで表現するプログラムを作成した。 ２次曲線は、以下の手順で統一的に描画した。 • ２次方程式ax2+ 2bxy + cy2+ dx + ey + f = 0（２次方程式のため_{|a| + |b| + |c| > 0}）の係数a, b, c からなる行列Aの固有値・固有ベクトルを計算する。 • 固有ベクトルから得られる回転行列を用いて、入力された２次方程式を交差項xyのない標準形に変形 する。 • 得られた２つ固有値の積の符号から、２次曲線を楕円型(固有値の積が正)、双曲線型(固有値の積が 負)、放物線型(固有値の積が０)の３つに分類する。楕円型の２次曲線には、楕円、１点、空集合があ る。双曲線型の２次曲線には、双曲線、交差する２直線がある。放物線型の２次曲線には、放物線、平 行な２直線、１直線、空集合がある。 • 分類した中で対応する(交差項のない標準形で与えられる)２次曲線を描画する。楕円は、媒介変数表示 u = u0+ a cos θ, v = v0+ b sin θ  （0≤ θ ≤ 2π）   を利用し描画する。双曲線は、媒介変数表示 u = u0± a cos θ, v = v0+ b tan θ （− π 2 < θ < π 2）   を利用し描画する。放物線は、つぎの媒介変数表示を利用し描画する。

u = u0+ 2pt, v = v0+ pt2 （− ∞ < t < ∞） • 描画した２次曲線と固有ベクトルから得られる回転行列の逆行列を用いて、当初の２次方程式で定まる ２次曲線を描画する。  パラメータの変化にともなう２次曲線の形状推移をアニメートするプログラムは以下の手順で作成した。 • 楕円から描画をスタートする。ac− b2> 0の時、２つの固有値の積はλ1λ2> 0となる。 • 係数 bを ac− b2 _{= 0 になるまで大きくして、２次曲線の形状を楕円から放物線に推移させる。} ac− b2_{= 0の時、２つの固有値の積はλ} 1λ2= 0となり、このときに放物線になる。 • 係数dまたはeを調節して、放物線から平行な２直線に推移させる。 • 平行な２直線の間隔が小さくなり、ついには１直線になるようにfを調節する。 • fを調節して、平行な２直線に戻す。 • 係数bを大きくして、平行な２直線から双曲線に推移させる。ac− b2_{< 0の時、２つの固有値の積は} λ1λ2< 0となる。 • fを調節して、双曲線から交差する2直線へ推移させる。 • fを調節して、交差する2直線から、先ほどと開き方の違う双曲線と変形させる。 6.2 検討 プログラムを作成、試行錯誤する上で、本研究の２次曲線の描画プログラムを使用するには、初回で使用者 が望んだ形の２次曲線の入力が難しかったり、自由な値でパラメータの変化を止められない点が気になった。 今回、実装することができなかったが、２次曲線の変化を体感的に理解しやすい、マウスなどを使って使用者 が、簡単に触れられる機能があるとよりよいと思う。今回のプログラムは、中学生や高校生が使うには、少し 使いにくくなっており、誰でも簡単に気軽に使用できるようにする難しさや、重要性を認識した。 参考文献 [1] 石村園子、征服 微分積分 ２次曲線・パラメータ曲線と極微分方程式、東京書籍、2003年 [2] http://www.math.ryukoku.ac.jp/˜tsutomu/LA1/16/lecture16 6.pdf [3] http://www.math.ryukoku.ac.jp/˜tsutomu/LA1/16/lecture16 5.pdf [4] 堂前孝信 吉田大吾、START DASH!! 数学 ６ 複素数平面と２次曲線、河合出版、2015年 [5] 山崎圭次郎 片山孝次 有馬哲、代数・幾何入門 ２次曲線 ベクトル 行列、実教出版、1998年