C C ma d ij ij ijkl ijkl ijkl ij = = ! a = ! 1 F ! ! ! ! ij = 2 ij , E ! ! ! r E d kl ijkl , = ! ij a = ! ! ! 1 ij 2 ! ! ! E kl ij

OS0105

＜M&M2013カンファレンス・2013年10月12〜14日＞

Copyright©社団法人 日本機械学会

1. 緒 言

本研究では，分子動力学法を用いてナノスケール の異方性異材接合体の表面・界面特性および界面端 部の特異応力場の特性について調べる．二つの異な る材料からなる接合体のくさび形切欠先端近傍にお ける原子応力の分布を調べ，界面上の原子応力分布

とStroh形式を用いた特異性オーダの解析との比較

を行う．

2. 分 子 動 力 学 法

本研究では分子動力学法(以下MD法と記す)を用 いて解析を行う．MD法では原子の動きを以下のよ うなニュートン運動方程式により求める．

m^!a^!=F^! =!E^!

!r^{!" (1)}

ここで,m^αは原子αの原子質量，a^αは原子αの加速度，

F^αは原子αに加わる力，E^αは原子αのもつポテンシャ ルエネルギ,r^αβは原子α，β間の距離を表す．

本研究では式(1)のポテンシャルエネルギに

GEAMポテンシャル⁽¹⁾を用いた．

3. 原子界面応力,界面応力,界面弾性係数 原子レベルの不連続構造体における有効な弾性係 数として原子弾性係数C_ijkl^! ，原子応力!ij

"がある．

原子弾性係数，原子応力は式(2)で表される⁽²⁾.

C_ijkl^! = 1

!^!

!²E_!

!!_ij!!_kl^, "_ij^#= 1

!^!

!E_!

!!_ij (2)

ここで, Ω^αは原子αに対するボロノイ多面体の体 積であり,ε_ijはひずみテンソルである．原子レベルの

界面応力_!ij^"，原子界面弾性係数_dijkl^! は, 界面エネル

!^"を界面ひずみで偏微分した次式で得られる.

!_ij^"= a

!^!

!!^"

!!_ij^{, dijkl}

"

= a

!^!

!²!^"

!!_ij!!_kl (3)

ここで，aはレイヤー厚さである．

4. 界面特性を考慮した特異性固有値の算出方法 異材界面角部の特異応力場は,角部の特異点を原 点として,特異点からの距離r，界面に対する角度を θとすると次式で表される.

分子動力学法による異方性くさび領域接合界面の 力学特性評価

鈴木庸靖^*1，古口日出男^*2

Evaluation of mechanical properties for interface in anisotropic

wedge joints using molecular dynamics Nobuyasu SUZUKI

^*3

and Hideo KOGUCHI

*³ Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata

In the present study, stress distribution near a wedge composed of gold and copper is investigated using molecular dynamics (MD). The atomic stress distributions near the wedge tip in the joints is compared with the angular function for the stress, which is derived from the theory of anisotropic elasticity. From the comparison, it is found that interface stress influences on the distribution of singular stress in the bulk and the intensity of singularity at the wedge tip.

Key Words : Molecular Dynamics, Interface, Elastic constants, Interface stress, Interface energy

*1長岡技術科学大学 工学研究科（〒940-2188 新潟県長岡市上 富岡1603-1）

*2正員，長岡技術科学大学．

E-mail: [email protected]

2

!ij

M= C_m

m=1 III

!

^r!m"1fijmM

( )

^! (4)

ここで, C_m (m=I,II,III)は応力集中の大きさを示す スカラーであり,λ_mは特異性のオーダ，_fij^mM( )_! ^は材料 Mの角度関数である．

次に,界面特性を考慮した特異性固有値λは以下 のように求められる⁽³⁾．Kは材料定数と角度から成 る6×6の行列であり,次式で求める.

K= K₁ K₂ K₃ K₄

!

"

#

#

$

%

&

&

p^' 0 ( )* +*

, -* .*

=!"G₁₍₁₎G₁₍₀₎^/1 pˆ_'1^1/!

( )

"₁ ^pˆ'1/1+!

( )

^"0

0

!

"

##

0 pˆ_'1^1/!

( )

"₁ ^pˆ'1/1+!

( )

^"0

$

%

&

&

/ A₂ A₂

B₂ B₂

!

"

#

#

$

%

&

&G₂₍₂₎^/1 pˆ_'2^1/!

( )

"₁ ^pˆ'2/1+!

( )

^"2

0

!

"

#

# 0 pˆ_'2^1/!

( )

"₁ ^pˆ'2/1+!

( )

^"2

$

%

&

&

$

%

&

&

p^' 0 ( )* +*

, -* .*

= 0

0 ()

* +*

,-

* .*

(5)

ここで，_p^!は変位の固有ベクトル，< >は3×3の対

角行列，AkとBkはStroh固有ベクトルによって与え

られる材料kの行列，_p!kはStrohの固有値， は共 役複素数を表す⁽⁴⁾．θiは図1における角度を表す．

G_k(s)は6×6の行列であり式(6)で定義される．

G_{k s( )}=!_k A_k A_k B_k B_k

!

"

##

$

%

&

&

' H_10s'H_21s

! ! (

)* +

,-!_k 0 0

A_k A_k

!

"

#

#

$

%

&

&

(6)

ここで, _!は応力場の代表寸法であり,本研究で は1nmとする.Ωk,H10k, H21kは次式となる.

!_k=

cos! sin! 0

!sin! cos! 0

0 0 1

"

#

$

$$

%

&

' ''

(7)

H10k=1

!

d_1111i^{k a( )} 0 d_1131i^{k a( )}

0 0 0

d_3111i^{k a( )} 0 d_3131i^{k a( )}

!

"

##

#

#

$

%

&

&

&

&

(8)

H_21k=

d_a1111i^{k a( )} 0 d_a1131i^{k a( )} 0 !a11i

k a( ) 0

d_a3111i^{k a( )} 0 d_a3131i^{k a( )}

!

"

##

#

##

$

%

&

&

&

&

&

(9)

式(3)より得られる原子レベルの界面応力_!ij^"，原子界 面弾性係数_dijkl^! を用いて,式(8),(9)は求められる.次 式を解くことで,特異性固有値λを求める.

K₃p^!=0, K₃ =0

(10)

Fig.1 Wedge model Fig.2 Model for analysis

5. 解 析 条 件

接合体として図2のようなΓ３を界面とし,異材界 面角部を有するモデルを用いた.Γ0の外向き法線方

向に100MPaの力を加える．Γ₁とΓ_２は自由表面であ

る．また，界面が[100]になるような結晶構造を持つ．

解析に用いたモデルの大きさはa=7nm，厚さを約 2nmとした．開き角ωは90°から170°まで10°刻み で変え，モデル全体の原子数は7,000~15,000個であ る．1ステップを1fsとした.計算中の温度変化は0K から計算を始め，25,000ステップで0.5Kまでに上げ，

その後75,000ステップから100,000ステップまでに

0Kに下げ，150,000ステップまで計算した．z方向 に周期境界条件を設定した．Material 1,2にはそれぞ れCu, Auを用い,界面は整合界面になるようにした．

3

6. 解 析 結 果

6・1 原子界面応力,界面弾性係数 MD解析

により得られた,開き角170°におけるAuとCuの原 子界面応力_!11について近似した結果を図3に,原子 界面弾性係数_d

1111の結果を図4に示す.図3,4より界 面端r≒1nm以内で異なる傾向を示すことがわか る._d1131,d3131においても同様な傾向を得る.

1.5 1.0 0.5 0.0 Atomic interface stress , N/m11 -0.5

5 4 3 2 1

, nm ₁₁ of gold ₁₁ of copper

-22.2exp(-7.04r)cos(2.41r)+0.304r^-0.636-0.172 6.28exp(-14.7r)cos(-0.007r)+0.3r^-0.712-0.1

Fig.3 Distribution of interface stress τ₁₁ along the

interface

35 30 25 20 15 10 Atomic interface elastic modulus d1111 , N/m

5 4 3 2 1

, nm d₁₁₁₁ of gold d₁₁₁₁ of copper

48.8exp(-5.05r)cos(2.53r)-1.99r^-0.84+38.7 -31.5exp(-7.16r)cos(-0.01r)+0.539r^0.763+21.4

Fig.4 Distribution of interface elastic modulus d₁₁₁₁ along the interface

6・2 固有値解析結果と MD 法における界面上の

応力比較 開き角170°において,6・1節より得ら れた結果と式(10)を用いて固有値解析を行った. 固 有値解析により得られたAuとCuの固有値λ_Iについ て近似した結果を図5に示す. MD法により得られ た界面上の応力分布σ_yy,および5r^!!I(λ_IにはFig.5の 式を適用)を図6に示す.図6より,MD法の結果と

5r^!!Iの結果が一致していることがわかる.

他の開き角の結果については講演時に述べる.

0.5005

0.5000

0.4995

0.4990

I

5 4 3 2 1

, nm

I of gold

I of copper

-0.01exp(-4.38r)cos(-2.47r)-2.79•10^-10r^-17.9+0.499 0.001exp(-2.76r)cos(-2.01r)-8.19•10^-5r^-1.85+0.499

Fig.5 The order of stress singularity λ_I

6 8

1

2 4 6 8

10

Atomic stress yy , GPa

0.1 ^{2 3 4 5 6 7 8} 1 ^{2 3 4 5 6 7}

, nm Atomic stress _yy of gold Atomic stress _yy of copper Fitting curve of gold Fitting curve of copper

Fig.6 Distribution of stress σ_yy along the interface

7. 結 言

MD法により,くさび形状のAuとCu接合モデル において原子界面応力,界面弾性係数を求めた．

MD法による結果と固有値解析により得られた結 果を比較した．

文 献

(1) X.W.Zhou. et al., Atomic scale structure of sputtered metal multilayer, Acta materialia., 49 (2001), pp. 4005-4015.

(2) Izumi, S. et al., The atomic level evaluation of the interface stress and interface elastic constants for semiconductor materials, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, No.03-06 (2003), pp. 1- 6.

(3) Koguchi, H., Analysis for Stress singular fields near a wedge corner in 2D joints considering interface stress and interface elasticity, ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress &

Exposition(IMECE2012), Technical Paper (Reviewed paper), IMECE2012-86097.

(4) Ting T. C. T., Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford University Press, (1996), pp.134-263.