幾何学 I/ 幾何学概論 V ：レポート問題 2 の答え

幾何学

I /

V

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(1)交代式ω ∈Alt^p(V)において、次のように定義された写像f_ω: Alt^n−p(V)→Rを考える。

ω∧τ =f_ω(τ) vol

外積の性質より、写像f_ωは線形写像であることが分かる。よって、次の性質を満たす交代 式∗ω∈Alt^n−p(V)は一意的に存在することが分かる。

f_ω(τ) =h∗ω, τi 以下、このように定義された写像

∗: Alt^p(V)→Alt^n−p(V)

は線形写像であることを示す。まず、任意のω, ω^′ ∈Alt^p(V)とτ ∈Alt^n−p(V)に対して、

h∗(ω+ω^′), τivol = (ω+ω^′)∧τ =ω∧τ +ω^′∧τ =h∗ω, τivol +h∗ω^′, τivol

= (h∗ω, τi+h∗ω^′, τi) vol =h∗ω+∗ω^′, τivol ため、

h∗(ω+ω^′), τi=h∗ω+∗ω^′, τi が分かる。よって、

h∗(ω+ω^′)− ∗ω− ∗ω^′, τi= 0 を得る。特に、τ =∗(ω+ω^′)− ∗ω− ∗ω^′のとき、

k ∗(ω+ω^′)− ∗ω− ∗ω^′k² = 0

ため、

∗(ω+ω^′) =∗ω+∗ω^′ が成り立つ。同様に、∗(λω) = λ(∗ω)が成り立つ。よって、

∗: Alt^p(V)→Alt^n−p(V) は、うまく定義された線形写像であることを示した。

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(2)与えられた正規直交基底{b₁, . . . , b_n} ⊂V に対して、

{b^∗_τ(p+1)∧ · · · ∧b^∗_τ(n) |τ ∈S_p,n−p} ⊂Alt^n−p(V) は正規直交基底となる。今、

b^∗₁∧ · · · ∧b^∗_p∧b^∗_τ(p+1)∧ · · · ∧b^∗_τ(n) =







vol (τ = id) 0 (τ 6= id) であるため、

∗(b^∗₁ ∧ · · · ∧b^∗_p) =b^∗_p+1∧ · · · ∧b^∗_n を得る。

(3)任意のτ ∈S_p,n−pに対して、

b^∗_σ(1)∧ · · · ∧b^∗_σ(p)∧b^∗_τ(p+1)∧ · · · ∧b^∗_τ(n)=







sgn(σ) vol (τ =σ) 0 (τ 6=σ) であるため、

∗(b^∗_σ(1)∧ · · · ∧b^∗_σ(p)) = sgn(σ)b^∗_σ(p+1)∧ · · · ∧b^∗_σ(n) が分かる。

(4)次のように定義された置換τ ∈S_nをおいておく。

τ(i) =







i+p (16i6n−p) i−n+p (n−p+ 16i6n)

このとき、σをστ に移すS_p,n−p →S_n−p,pが全単射となる。よって、(3)より、

∗(∗(b^∗_σ(1)∧ · · · ∧b^∗_σ(p))) =∗(sgn(σ)b^∗_σ(p+1)∧ · · · ∧b^∗_σ(n)) = sgn(σ)∗(b^∗_σ(p+1)∧ · · · ∧b^∗_σ(n))

= sgn(σ)∗(b^∗_στ(1) ∧ · · · ∧b^∗_στ(n−p)) = sgn(σ) sgn(στ)b^∗_{στ(n−p+1)} ∧ · · · ∧b^∗_στ(n)

= sgn(τ)b^∗_σ(1) ∧ · · · ∧b^∗_σ(p) = (−1)^p(n−p)b^∗_σ(1)∧ · · · ∧b^∗_σ(p) が分かる。

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