幾何学 I/ 幾何学概論 V ：レポート問題その 5

幾何学 I / _{幾何学概論} V _{：レポート問題その} 5

６月１９日 １７：００までに出して下さい。

問題

1.

開集合

U ⊂ R ⁿ

に関して、次のように定義された微分形式

dx i ∈ Ω ¹ (U )

を思い出 そう。

dx i (x)(v) = e ^∗ _i (v ) = v i (1 6 i 6 n)

ここで、x

∈ U

と

v = (v 1 , . . . , v n ) ∈ R ⁿ

である。微分形式

vol = dx ₁ ∧ · · · ∧ dx _n ∈ Ω ⁿ (U )

をおいておく。次のように定義された線形写像を考える。

∗ : Ω ^p ( U ) → Ω ^{n − p} ( U ) , ( ∗ ω )( x ) = ∗ ( ω ( x ))

ここで、右辺の

∗ : Alt ^p ( R ⁿ ) → Alt ^{n − p} ( R ⁿ )

は、交代式

vol( x ) ∈ Alt ⁿ ( R ⁿ )

によって定義され たホッジの

∗

演算子である。線形写像

∗ : Ω ^p ( U ) → Ω ^{n − p} ( U )

もホッジの

∗

演算子と呼ばれる。

(1)

ホッジの

∗

演算子

∗ : Ω ^p ( U ) → Ω ^{n − p} ( U )

に対して、次の性質を示せ。

(i) ∗ ( dx ₁ ∧ · · · ∧ dx _p ) = dx _p+1 ∧ · · · ∧ dx _n (ii) ∗ ◦ ∗ = ( − 1) ^{p(n − p)}

次のように定義された線形写像

d ^∗ : Ω ^p (U ) → Ω ^{p −1} (U )

を考える。

d ^∗ = ( − 1) ^{np+n −1} ∗ ◦ d ◦ ∗ (2)

次の性質を示せ。

d ^∗ ◦ d ^∗ = 0 (3)

任意の

f ∈ Ω ⁰ (U)

に対して、次の公式を示せ。

d ^∗ (f ∧ dx ₁ ∧ · · · ∧ dx p ) =

p

X

j=1

( − 1) ^j ∂f

∂x _j ∧ dx ₁ ∧ · · · ∧ dx j − 1 ∧ dx _j+1 ∧ · · · ∧ dx p

(4)

任意の

f ∈ Ω ⁰ ( U )

と

1 6 i ₁ < · · · < i _p 6 n

に対して、次の公式を示せ。

d ^∗ (f ∧ dx i

1

∧ · · · ∧ dx i

_p

) =

p

X

s=1

( − 1) ^s ∂f

∂x _i

_s

∧ dx i

1

∧ · · · ∧ dx i

_s

−1

∧ dx i

s+1

∧ · · · ∧ dx i

_p

1

問題

2.

開集合

U ⊂ R ⁿ

に関して、問題

1

で定義された演算子

d ^∗ : Ω ^p (U) → Ω ^{p −1} (U )

を思い 出し、次のように定義されるラプラス演算子とよばれる線形写像を考える。

∆ : Ω ^p (U ) → Ω ^p (U ), ∆ = d ◦ d ^∗ + d ^∗ ◦ d

(1)

任意の

f ∈ Ω ⁰ ( U )

に対して、次の公式を示せ。

∆(f ∧ dx ₁ ∧ · · · ∧ dx p ) = − ∂ ² f

∂x ² ₁ + · · · + ∂ ² f

∂x ² _n

∧ dx ₁ ∧ · · · ∧ dx p

一般的に、f

∈ Ω ⁰ (U )

と

1 6 i ₁ < · · · < i p 6 n

のとき、∆(f

∧ dx i

1

∧ · · · ∧ dx i

_p

)

は何となる でしょうか。

(3)

ホッジの演算子

∗ : Ω ^p (U ) → Ω ^{n − p} (U)

に関して、次の性質を示せ。

∆(ω) = 0 ⇒ ∆( ∗ ω) = 0

性質

∆(ω) = 0

を満たす微分形式

ω

は、調和形式と呼ばれる。よって、問題

2

の

(3)

より、

ホッジの

∗

演算子は調和形式を保つことが分かる。

2