幾何学 IV ／幾何学概論 IV ：レポート問題その 1
11
月7
日17:00
までに理1
号館105
号室で出して下さい。問題
1. (1)
次のように定める線形写像は、同型であることを示せ。i : R 3 → Alt 1 ( R 3 ), i(w)(v) = hw, vi
j : R 3 → Alt 2 ( R 3 ), j (w)(v 1 , v 2 ) = det(w, v 1 , v 2 )
ここで、h−,
−i
は、R 3
の標準内積である。(2)
任意のv 1 , v 2 ∈ R 3
に対して、i(v 1 ) ∧ i(v 2 ) = j (v 1 × v 2 )
であることを示せ。ここで、− × −とは、
R 3
のクロス積である。問題
2.
線形写像f : V → W
と交代式ω 1 ∈ Alt p ( W )、 ω 2 ∈ Alt q ( W )
に対して、Alt p+q (f )(ω 1 ∧ ω 2 ) = Alt p (f )(ω 1 ) ∧ Alt q (f )(ω 2 )
を示せ。
問題
3.
内積h−, −i
つき有限次元n
ベクトル空間V
とその正規直交基底{b 1 , . . . , b n } ⊂ V
を おいておく。(1)
次のように定める線形写像は同型であることを示せ。i : V → Alt 1 ( V ) , i ( v )( w ) = h v, w i
（ヒント：i(b
j ) = b ∗ j
を示せばよい。ここで、{b∗ 1 , . . . , b ∗ n } ⊂ Alt 1 (V )
は反対基底である。）与えられた
V
上内積h−, −i
は、次のように定めるAlt p (V )
上内積h−, −i p
を誘導する。X
σ ∈ S
p,n−pλ σ b ∗ σ(1) ∧ · · · ∧ b ∗ σ(p) , X
σ ∈ S
p,n−pλ ′ σ b ∗ σ(1) ∧ · · · ∧ b ∗ σ(p)
p = X
σ ∈ S
p,n−pλ σ λ ′ σ
誘導された内積
h− , −i p
（p > 1）に対して、以下の性質 (2)–(3)
を示せ。(2)
任意のv, w ∈ V
に対して、hi(v), i(w)i 1 = hv, wi
1
である。
(3)
任意のω 1 , . . . , ω p , τ 1 , . . . , τ p ∈ Alt 1 ( V )
に対して、hω 1 ∧ · · · ∧ ω p , τ 1 ∧ · · · ∧ τ p i p = det
hω 1 , τ 1 i 1 . . . hω 1 , τ p i 1
. . .
. . . . . . hω p , τ 1 i 1 . . . hω p , τ p i 1
である。
