幾何学 II / 幾何学概論 II ：レポート問題その 3
12
月1
日17:00
までに理1
号館105
号室で出して下さい。問題
1. U ⊂ R n
を開集合とし、次のように定める微分形式dx i ∈ Ω 1 (U )
を思い出す。dx i (x)(v) = e ∗ i (v) = v i (1 ⩽ i ⩽ n)
ただし、x ∈ U
、v = (v 1 , . . . , v n ) ∈ R n
である。さらに、vol = dx 1 ∧ · · · ∧ dx n ∈ Ω n (U )
とする。このとき、次のように定める線形写像を考える。
∗ : Ω p (U ) → Ω n − p (U ), ( ∗ ω)(x) = ∗ (ω(x))
ここで、右辺の∗ : Alt p ( R n ) → Alt n − p ( R n )
は、vol(x) = e ∗ 1 ∧ · · · ∧ e ∗ n ∈ Alt n ( R n )
に関するホッジの
∗
演算子である。線形写像∗ : Ω p (U ) → Ω n − p (U )
もホッジの∗
演算子と呼 ばれ、レポート問題2
より、次の性質(i)–(ii)
を満たす。(i)
任意の0 ⩽ p ⩽ n
、σ ∈ S p,n − p
に対して、∗ (dx σ(1) ∧ · · · ∧ dx σ(p) ) = sgn(σ)dx σ(p+1) ∧ · · · ∧ dx σ(n)
である。
(ii)
任意の0 ⩽ p ⩽ n
に対して、∗ ◦ ∗ = ( − 1) p(n − p)
である。今回、次のように定める線形写像
d ∗ : Ω p (U ) → Ω p − 1 (U)
を考える。d ∗ = ( − 1) np+n − 1 ∗ ◦ d ◦ ∗
この写像について、次の命題(1)–(3)
を示せ。1
(1)
合成写像d ∗ ◦ d ∗
は、ゼロ写像と等しい。(2)
任意のf ∈ Ω 0 (U )
に対して、d ∗ (f ∧ dx 1 ∧ · · · ∧ dx p ) =
∑ p
s=1
( − 1) s ∂f
∂x s ∧ dx 1 ∧ · · · ∧ dx s − 1 ∧ dx s+1 ∧ · · · ∧ dx p
である。
(3)
任意のf ∈ Ω 0 (U )
と1 ⩽ i 1 < · · · < i p ⩽ n
に対して、d ∗ (f ∧ dx i
1∧ · · · ∧ dx i
p) =
∑ p
s=1
( − 1) s ∂f
∂x i
s∧ dx i
1∧ · · · ∧ dx i
s−1∧ dx i
s+1∧ · · · ∧ dx i
pである。
問題
2.
開集合U ⊂ R n
において、次のように定める線形写像は、ラプラス演算子とよばれる。∆ : Ω p (U ) → Ω p (U ), ∆ = d ◦ d ∗ + d ∗ ◦ d
ただし、
d ∗ : Ω q (U ) → Ω q − 1 (U )
は、問題1
で勉強した演算子である。∆(ω) = 0
を満たすω ∈ Ω p (U )
は、調和形式と呼ばれる。次の命題を示せ。(1)
任意のf ∈ Ω 0 (U )
、1 ⩽ i 1 < · · · < i p ⩽ n
に対して、∆(f ∧ dx i
1∧ · · · ∧ dx i
p) = − ( ∂ 2 f
∂x 2 1 + · · · + ∂ 2 f
∂x 2 n
) ∧ dx i
1∧ · · · ∧ dx i
pである。
