幾何学 II/ 幾何学概論 II ：レポート問題その 3

幾何学 II / _{幾何学概論} II _{：レポート問題その} 3

12

月

17

日

17:00

までに理

1

号館

105

号室で出して下さい。

問題

1.

開集合

U ⊂ R ⁿ

において、次のように定める微分形式

dx _i ∈ Ω ¹ ( U )

を思い出す。

dx i (x)(v) = e ^∗ _i (v ) = v i (1 6 i 6 n)

ただし、

x ∈ U

、

v = ( v ₁ , . . . , v _n ) ∈ R ⁿ

である。さらに、

vol = dx ₁ ∧ · · · ∧ dx n ∈ Ω ⁿ (U )

とする。このとき、次のように定める線形写像を考える。

∗ : Ω ^p ( U ) → Ω ^{n − p} ( U ) , ( ∗ ω )( x ) = ∗ ( ω ( x ))

ここで、右辺の

∗ : Alt ^p ( R ⁿ ) → Alt ^{n − p} ( R ⁿ )

は、

vol( x ) = e ^∗ ₁ ∧ · · · ∧ e ^∗ _n ∈ Alt ⁿ ( R ⁿ )

に関するホッジの

∗

演算子である。線形写像

∗ : Ω ^p (U ) → Ω ^{n − p} (U )

もホッジの

∗

演算子と呼 ばれ、レポート問題

2

より、次の性質

(i)–(ii)

を満たす。

(i)

任意の

0 6 p 6 n、σ ∈ S p,n − p

に対して、

∗ ( dx _σ(1) ∧ · · · ∧ dx _σ(p) ) = sgn( σ ) dx _σ(p+1) ∧ · · · ∧ dx _σ(n)

である。

(ii)

任意の

0 6 p 6 n

に対して、

∗ ◦ ∗ = ( − 1) ^{p(n − p)}

である。

今回、次のように定める線形写像

d ^∗ : Ω ^p ( U ) → Ω ^{p −1} ( U )

を考える。

d ^∗ = ( − 1) ^{np+n − 1} ∗ ◦ d ◦ ∗

この写像について、次の命題

(1)–(3)

を示せ。

1

(1)

合成写像

d ^∗ ◦ d ^∗

は、ゼロ写像と等しい。

(2)

任意の

f ∈ Ω ⁰ ( U )

に対して、

d ^∗ ( f ∧ dx ₁ ∧ · · · ∧ dx _p ) =

p

X

i=1

( − 1) ⁱ ∂f

∂x i

∧ dx ₁ ∧ · · · ∧ dx _{i −1} ∧ dx _i+1 ∧ · · · ∧ dx _p

である。

(3)

任意の

f ∈ Ω ⁰ ( U )

と

1 6 i ₁ < · · · < i _p 6 n

に対して、

d ^∗ (f ∧ dx i

1

∧ · · · ∧ dx i

_p

) =

p

X

s=1

( − 1) ^s ∂f

∂x _i

_s

∧ dx i

1

∧ · · · ∧ dx i

_s−1

∧ dx i

s+1

∧ · · · ∧ dx i

_p

である。

問題

2 .

開集合

U ⊂ R ⁿ

において、次のように定める線形写像は、ラプラス演算子とよばれる。

∆ : Ω ^p (U ) → Ω ^p (U ), ∆ = d ◦ d ^∗ + d ^∗ ◦ d

ただし、

d ^∗ : Ω ^q (U ) → Ω ^{q − 1} (U )

は、問題

1

で勉強した演算子である。∆(ω) = 0を満たす

ω ∈ Ω ^p ( U )

は、調和形式と呼ばれる。次の命題を示せ。

(1)

任意の

f ∈ Ω ⁰ ( U )、1 6 i ₁ < · · · < i _p 6 n

に対して、

∆(f ∧ dx _i

₁

∧ · · · ∧ dx _i

_p

) = − ∂ ² f

∂x ² ₁ + · · · + ∂ ² f

∂x ² _n

∧ dx _i

₁

∧ · · · ∧ dx _i

_p

である。

(2)

ホッジの演算子

∗ : Ω ^p (U ) → Ω ^{n − p} (U )

は、調和形式を保つ。すなわち、任意の

ω ∈ Ω ^p (U )

に対して、∆(

ω ) = 0

なら、∆(

∗ ω ) = 0

が成り立つ。

2