幾何学概論：レポート問題２の答え
有限次元
n
の実ベクトル空間V とその基底{b 1 , . . . , b n } ⊂ V
に対して、定理3.5
より、反対基底{b ∗ 1 , . . . , b ∗ n } ⊂ Alt 1 (V )
は、反対ベクトル空間Alt 1 (V )
の基底となる。反対基底{b ∗ 1 , . . . , b ∗ n } ⊂ Alt p (V )
は、次のように定義された内積h−, −i 1によって、正規直交基底である。
hλ 1 b ∗ 1 + · · · + λ n b ∗ n , λ ′ 1 b ∗ 1 + · · · + λ ′ n b ∗ n i 1 = λ 1 λ ′ 1 + · · · + λ n λ ′ n
同様に、定理3.5
より、次の部分集合は、ベクトル空間Alt p (V )
の基底となる。
{b ∗ σ(1) ∧ · · · ∧ b ∗ σ(p) | σ ∈ S p,n−p } ⊂ Alt p (V )
この基底は、次のように定義された内積
h−, −i pによって、正規直交基底である。
D X
σ∈S
p,n−pλ σ b ∗ σ(1) ∧ · · · ∧ b ∗ σ(p) , X
σ∈S
p,n−pλ ′ σ b ∗ σ(1) ∧ · · · ∧ b ∗ σ(p) E
p = X
σ∈S
p,n−pλ σ λ ′ σ
この内積について、任意の
ω 1 , . . . , ω p , τ 1 , . . . , τ p ∈ Alt 1 (V )
に対して、次の方程式を示す。hω 1 ∧ · · · ∧ ω p , τ 1 ∧ · · · ∧ τ p i p = det
hω 1 , τ 1 i 1 . . . hω 1 , τ p i 1
.. . . .. .. . hω p , τ 1 i 1 . . . hω p , τ p i 1
この方程式の両辺は、ベクトル空間
Alt 1 (V )
上2p
重線形形式である。よって、ω i , τ jは反対 基底のベクトルであるときを考えばよい。このとき、それぞれの外積と行列式の性質より、
次の公式が成り立つ。
hb ∗ i1 ∧ · · · ∧ b ∗ i
p
, b ∗ j
1
∧ · · · ∧ b ∗ j
p
i p =
sgn(σ) ({i 1 , . . . , i p } = {j 1 , . . . , j p }) 0 ({i 1 , . . . , i p } 6= {j 1 , . . . , j p })
det
hb ∗ i1, b ∗ j1i 1 . . . hb ∗ i1, b ∗ j
i 1 . . . hb ∗ i1, b ∗ j
p
i 1
.. . . .. .. . hb ∗ i
p
, b ∗ j
1
i 1 . . . hb ∗ i
p
, b ∗ j
p
i 1
=
sgn(σ) ({i 1 , . . . , i p } = {j 1 , . . . , j p }) 0 ({ i 1 , . . . , i p } 6= { j 1 , . . . , j p })
ここで、
