近似計算を必要としない交通流の定式化

以下では，対数正規分布の加法性を近似的に仮定することなく，交通流を定式化する手 法を示す．なお，ここで述べる手法は確率分布に依らない一般的な手法である．任意の確率 分布（ここでは例えば，対数正規分布）に従う総交通需要𝑄を仮定する．

𝑄~𝐿𝑁(𝜇𝑄, 𝜎_𝑄²) (3-19)

ODペアwの交通需要の平均を𝑞𝑤 = 𝐸[𝑄𝑤]，総交通需要の平均を𝑞 = 𝐸[𝑄]とするとき，総交 通需要に対するODペアiの交通需要の割合，𝑝𝑤を𝑝𝑤 = 𝑞𝑤/𝑞 ∀𝑤 ∈ 𝑊と定義する．ここで，

ODペアwの交通需要は以下に示す対数正規分布に従う確率変数として表される．

𝑄_𝑤 = 𝑝_𝑤⋅ 𝑄 ∀𝑤 ∈ 𝑊 (3-20)

𝑄𝑤~𝐿𝑁(𝜇𝑄+ 𝑙𝑛(𝑝𝑤) , 𝜎_𝑄²) ∀𝑤 ∈ 𝑊 (3-21) ODペアwの交通需要の平均と分散共分散はそれぞれ以下のように定義される．

35

𝐸[𝑄𝑤] = 𝑒𝑥𝑝 (𝜇𝑄+ 𝑙𝑛(𝑝𝑤) +^𝜎₂^𝑄2) ∀𝑤 ∈ 𝑊 (3-22)

𝑐𝑜𝑣 [𝑄_𝑤𝑖, 𝑄_𝑤𝑗] = 𝐸 [𝑄_𝑤𝑖⋅ 𝑄_𝑤𝑗] − 𝐸[𝑄_𝑤𝑖] ⋅ 𝐸 [𝑄_𝑤𝑗] ∀𝑤_𝑖, 𝑤_𝑗 ∈ 𝑊 (3-23) ここで，2つのOD交通需要の積とその平均は以下のように表される．

𝑄_𝑤𝑖⋅ 𝑄_𝑤𝑗= 𝑝_𝑤𝑖⋅ 𝑝_𝑤𝑗⋅ 𝑄²

~𝐿𝑁 (2𝜇_𝑄+ ln (𝑝_𝑤𝑖⋅ 𝑝_𝑤𝑗) , 2𝜎_𝑄²) ∀𝑤_𝑖, 𝑤_𝑗∈ 𝑊 (3-24)

𝐸 [𝑄_𝑤𝑖⋅ 𝑄_𝑤𝑗] = 𝑒𝑥𝑝 (2𝜇_𝑄+ 𝑙𝑛 (𝑝_𝑤𝑖⋅ 𝑝_𝑤𝑗) + 2𝜎𝑄2) ∀𝑤𝑖, 𝑤_𝑗∈ 𝑊 (3-25) ODペアwにおける経路kの交通量は経路選択割合，𝑝𝑤𝑘を用いて以下のように定義される．

𝐹_𝑤,𝑘= 𝑝_𝑤,𝑘⋅ 𝑄_𝑤

= 𝑝_𝑤,𝑘⋅ 𝑝_𝑤⋅ 𝑄

~𝐿𝑁(𝜇_𝑄+ ln(𝑝_𝑤,𝑘⋅ 𝑝_𝑤), 𝜎_𝑄²)

(3-26)

経路交通量の平均と共分散はそれぞれ以下のように表される．

𝐸[𝐹𝑤,𝑘] = 𝑒𝑥𝑝 (𝜇𝑄+ 𝑙𝑛(𝑝𝑤,𝑘⋅ 𝑝𝑤) +^𝜎𝑄

2

2) ∀𝑤 ∈ 𝑊, 𝑘 ∈ 𝐾𝑤 (3-27) 𝑐𝑜𝑣 [𝐹_{𝑤,𝑘𝑖}, 𝐹_{𝑤,𝑘𝑗}] = 𝐸 [𝐹_{𝑤,𝑘𝑖}⋅ 𝐹_{𝑤,𝑘𝑗}] − 𝐸[𝐹_{𝑤,𝑘𝑖}] ⋅ 𝐸 [𝐹_{𝑤,𝑘𝑗}] ∀𝑤 ∈ 𝑊, 𝑘_𝑖, 𝑘_𝑗 ∈ 𝐾_𝑤 (3-28) 2つの経路交通量の積の平均は以下のように表される．

𝐸 [𝐹_{𝑤,𝑘𝑖}⋅ 𝐹_{𝑤,𝑘𝑗}] = 𝑒𝑥𝑝 (2𝜇_𝑄+ 𝑙𝑛 (𝑝_𝑤²⋅ 𝑝_{𝑤,𝑘𝑖}⋅ 𝑝_{𝑤,𝑘𝑗}) + 2𝜎𝑄2) ∀𝑤 ∈ 𝑊, 𝑘𝑖, 𝑘_𝑗∈ 𝐾_𝑤 (3-29) リンクaの交通量はこのリンクを通過する経路交通量の和として以下のように表される．

𝑉_𝑎 = ∑ ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝐹_𝑤,𝑘

𝑘∈𝐾_𝑤 𝑤∈𝑊

= ∑ ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝑝_𝑤

𝑘∈𝐾_𝑤

⋅ 𝑝_𝑤,𝑘⋅ 𝑄

𝑤∈𝑊

= ( ∑ ∑ 𝛿𝑤,𝑘,𝑎⋅ 𝑝𝑤 𝑘∈𝐾_𝑤

⋅ 𝑝𝑤,𝑘 𝑤∈𝑊

) ⋅ 𝑄

~𝐿𝑁 (𝜇𝑄+ ln ( ∑ ∑ 𝛿𝑤,𝑘,𝑎⋅ 𝑝𝑤 𝑘∈𝐾_𝑤

⋅ 𝑝𝑤,𝑘 𝑤∈𝑊

) , 𝜎_𝑄²) ∀𝑎 ∈ 𝐴

(3-30) リンク交通量の平均と分散共分散はそれぞれ以下のように表される．

36

𝐸[𝑉𝑎] = exp (𝜇𝑄+ 𝑙𝑛 ( ∑ ∑ 𝛿𝑤,𝑘,𝑎⋅ 𝑝𝑤⋅ 𝑝𝑤,𝑘 𝑘∈𝑾_𝑘

𝑤∈𝑾

) +𝜎_𝑄² 2)

(3-31)

cov[𝑉_𝑎, 𝑉_𝑏] = 𝐸[𝑉_𝑎⋅ 𝑉_𝑏] − 𝐸[𝑉_𝑎] ⋅ 𝐸[𝑉_𝑏] (3-32) ここで，2つのリンク交通量の積の平均は以下のように表される．

𝐸[𝑉_𝑎⋅ 𝑉_𝑏] = exp (2𝜇_𝑄+ 2𝜎_𝑄²

+ ln (( ∑ ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝑝_𝑤⋅ 𝑝_𝑤,𝑘

𝑘∈𝑾_𝑘 𝑤∈𝑾

) ⋅ ( ∑ ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑏}⋅ 𝑝_𝑤⋅ 𝑝_𝑤,𝑘

𝑘∈𝑾_𝑘 𝑤∈𝑾

)))

(3-33)

総交通需要の分散はそれぞれのOD交通需要の総和として表される．

var [ ∑ 𝑄𝑤 𝑤∈𝑊

] = var [ ∑ 𝑝𝑤⋅ 𝑄

𝑤∈𝑊

]

= ∑ var[𝑄] + 2 ⋅ ∑ ∑ 𝑝_𝑤1⋅ 𝑝_𝑤2⋅ cov[𝑄_𝑤1, 𝑄_𝑤2]

𝑤₂(≠𝑤₁)∈𝑊 𝑤₁∈𝑊

𝑤∈𝑊

= ∑ 𝑝_𝑤² ⋅ var[𝑄] + 2 ⋅ ∑ ∑ 𝑝_𝑤1⋅ 𝑝_𝑤2⋅ var[𝑄]

𝑤₂(≠𝑤₁)∈𝑊 𝑤₁∈𝑊

𝑤∈𝑊

= ( ∑ 𝑝_𝑤

𝑤∈𝑊

)

2

⋅ var[𝑄] = var[𝑄]

(3-34) 上に示す，一連の定式化のように，総交通需要を各ODペアに交通需要として分配すること を仮定すると，加法性のない確率分布に対して，Abu-Dayya and Beaulieu (1994)のように，特 別な近似計算をせずとも，相関のある確率変数の和を計算することが可能となる．各OD交 通需要，各経路交通量，各リンク交通量はそれぞれ総交通需要のスカラー倍として定義され るためである．

OD間の交通需要が互いに独立である場合，経路交通量の共分散は同じODペアから生 成される経路間でのみ成立する．一方で，OD間の交通需要の確率的相関を（3-23）のよう に考慮する場合，経路交通量の共分散は，異なるODペアから生成される経路間においても 定義される．この二つの仮定の違いは，配分リンク交通量の変動係数の大小に影響する．例 えば，道路ネットワーク全体の OD 交通需要の変動係数が等しいときを考える．以下では OD間で交通需要の確率的相関があるときとないときそれぞれにおいて，リンク交通量の変 動係数を比較する．なお，リンク交通量の平均はOD間の交通需要の確率的相関の有無にか かわらず，それぞれ同じである．

37

𝐸[𝑉_𝑎] = 𝐸 [ ∑ ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝐹_𝑤,𝑘

𝑘∈𝐾_𝑤 𝑤∈𝑊

]

= ∑ ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝐸[𝐹_𝑤,𝑘]

𝑘∈𝐾_𝑤 𝑤∈𝑊

= ∑ ( ∑ 𝛿𝑤,𝑘,𝑎⋅ 𝑝𝑤,𝑘 𝑘∈𝐾_𝑤

) ⋅ 𝑞𝑤 ∀𝑎 ∈ 𝐴

𝑤∈𝑊

(3-35) リンク交通量の分散は以下のとおりである．

var[𝑉_𝑎] = var [ ∑ ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝐹_𝑤,𝑘

𝑘∈𝐾_𝑤 𝑤∈𝑊

]

= ∑ ∑ ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝛿_{𝑤,𝑙,𝑎}⋅ cov[𝐹_𝑤,𝑘, 𝐹_𝑤,𝑙]

𝑙∈𝐾_𝑙 𝑘∈𝐾_𝑤 𝑤∈𝑊

= ∑ ( ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝑝_𝑤,𝑘

𝑘∈𝐾_𝑤

)

2

⋅ (𝑐𝑣_𝑤⋅ 𝑞_𝑤)²

𝑤∈𝑊

= ( ∑ ( ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝑝_𝑤,𝑘

𝑘∈𝐾_𝑤

)

2

⋅ 𝑞_𝑤²

𝑤∈𝑊

) ⋅ 𝑐𝑣_𝑄²

< ( ∑ ( ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝑝_𝑤,𝑘

𝑘∈𝐾_𝑤

)

2

⋅ 𝑞_𝑤²

𝑤∈𝑊

) ⋅ 𝑐𝑣_𝑄²

+ ( ∑ ( ∑ 𝛿_{𝑤1,𝑘,𝑎}⋅ 𝑝_𝑤1,𝑘

𝑘∈𝐾_𝑤1

) ⋅ 𝑞_𝑤1

𝑤₁∈𝑊

) ⋅ ( ∑ ( ∑ 𝛿_{𝑤2,𝑘,𝑎}⋅ 𝑝_𝑤2,𝑘

𝑘∈𝐾_𝑤2

) ⋅ 𝑞_𝑤2

𝑤₂(≠𝑤₁)∈𝑊

) ⋅ 𝑐𝑣_𝑄²

= ( ∑ ( ∑ 𝛿𝑤,𝑘,𝑎⋅ 𝑝𝑤,𝑘 𝑘∈𝐾_𝑤

) ⋅ 𝑞𝑤 𝑤∈𝑊

)

2

⋅ 𝑐𝑣_𝑄²

= 𝐸²[𝑉_𝑎] ⋅ 𝑐𝑣_𝑄² ∀𝑎 ∈ 𝐴

(3-36) ここで，比較のため，OD間の交通需要の確率的相関の有無にかかわらず，総交通需要およ び各OD交通需要の変動係数はそれぞれ，𝑐𝑣𝑤= 𝑐𝑣𝑄 ∀𝑤 ∈ 𝑊であるものとする．(3-36)にお いて，不等号の左側はOD間の交通需要が独立である場合であり，右側はOD間の交通需要

38

が確率的相関を持つ場合である．OD交通需要どうしの共分散は以下のように定義されるも のとする．

cov[𝑄_𝑤1, 𝑄_𝑤2] = 𝑞_𝑤1⋅ 𝑞_{𝑤 2}⋅ 𝑐𝑣_𝑄²

= 𝑝_𝑤1⋅ 𝑝_𝑤2⋅ (𝑐𝑣_𝑄⋅ 𝑞)² ∀𝑤₁, 𝑤₂∈ 𝑊

(3-37) そして，２つのOD交通需要の間の相関を仮定すれば，異なるOD交通需要に由来する２つ の経路交通量間の共分散を計算することができる．この場合，リンク交通量の分散は，リン クを通る経路交通量の共分散の和である．リンク交通量の分散は次式で示される．

var [𝑉_𝑎^′] = var [ ∑ ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝐹_𝑤,𝑘

𝑘∈𝐾_𝑤 𝑤∈𝑊

]

= ∑ ∑ ∑ ∑ 𝛿_{𝑤1,𝑘,𝑎}⋅ 𝛿_{𝑤2,𝑙,𝑎}

𝑙∈𝐾_𝑤2 𝑘∈𝐾_𝑤1 𝑤₂∈𝑊 𝑤₁∈𝑊

⋅ cov[𝐹_𝑤1,𝑘, 𝐹_𝑤2,𝑙]

= ∑ ∑ ∑ ∑ 𝛿_{𝑤1,𝑘,𝑎}⋅ 𝛿_{𝑤2,𝑙,𝑎}

𝑙∈𝐾_𝑤2 𝑘∈𝐾_𝑤1 𝑤₂∈𝑊 𝑤₁∈𝑊

⋅ 𝑝_𝑤1,𝑘⋅ 𝑝_𝑤2,𝑙⋅ cov[𝑄_𝑤1, 𝑄_𝑤2]

= ∑ ∑ ∑ ∑ 𝛿_{𝑤1,𝑘,𝑎}⋅ 𝛿_{𝑤2,𝑙,𝑎}

𝑙∈𝐾_𝑤2 𝑘∈𝐾_𝑤1 𝑤₂∈𝑊 𝑤₁∈𝑊

⋅ 𝑝_𝑤1,𝑘⋅ 𝑝_𝑤2,𝑙⋅ 𝑞_𝑤1⋅ 𝑞_𝑤2⋅ 𝑐𝑣_𝑄²

= ( ∑ ( ∑ 𝛿𝑤,𝑘,𝑎⋅ 𝑝𝑤,𝑘 𝑘∈𝐾_𝑤

) ⋅ 𝑞𝑤 𝑤∈𝑊

)

2

⋅ 𝑐𝑣_𝑄²

= 𝐸²[𝑉_𝑎] ⋅ 𝑐𝑣_𝑄² ∀𝑎 ∈ 𝐴

(3-38) このネットワークでは，リンク交通量の平均は(3-35)と等しいことに注意する必要がある．

(3-35)と(3-36)から導かれるリンク交通量の変動係数は次のように与えられる．

√var[𝑉_𝑎] 𝐸[𝑉_𝑎] =

√(∑_𝑤∈𝑊(∑_{𝑘∈𝑊𝑘}𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝑝_𝑤,𝑘)²⋅ 𝑞_𝑤²) ⋅ 𝑐𝑣_𝑄²

∑_𝑤∈𝑊(∑_{𝑘∈𝐾𝑤}𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝑝_𝑤,𝑘) ⋅ 𝑞_𝑤

<

√var [𝑉_𝑎^′] 𝐸[𝑉_𝑎]

= 𝑐𝑣_𝑄 ∀𝑎 ∈ 𝐴

(3-39)

(3-39)は，独立したOD交通需要を仮定した場合，(3-35)と(3-36)から導かれるリンク交通量

の変動係数は，常にOD交通需要の変動係数よりも小さいことを示している．また，リンク 交通量の変動係数は，相関のあるOD交通需要を仮定した場合には，OD交通需要の変動係 数と等しいことに注意する必要がある．

39

次に，(3-36)の不等号の前後の変動係数の大小関係を調べる．𝑎𝑤 = (∑𝑘∈𝐾_𝑤𝛿𝑤,𝑘,𝑎⋅

𝑝𝑤,𝑘) ⋅ 𝑞𝑤(∀𝑤 ∈ 𝑊)とすると，(3-36)で示される2つのリンク交通量の分散の関係は，

𝑣𝑎𝑟[𝑉_𝑎] = ( ∑ 𝑎𝑤2 𝑤∈𝑊

) ⋅ 𝑐𝑣_𝑄²< ( ∑ 𝑎_𝑤

𝑤∈𝑊

)

2

⋅ 𝑐𝑣_𝑄= 𝑣𝑎𝑟 [𝑉_𝑎^′] ∀𝑎 ∈ 𝐴 と表される．ここで，上に示す2つのリンク交通量の分散の割合，(∑ 𝑎𝑤2

𝑤∈𝑊 )/(∑𝑤∈𝑊𝑎𝑤)² について考える．一般にn個の実数（𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛）について，

1 > 𝑎₁²+ 𝑎₂²+ ⋯ + 𝑎_𝑛² (𝑎₁+ 𝑎₂+ ⋯ + 𝑎_𝑛)²≥1

𝑛 である．上に示す関係を(∑ 𝑎𝑤2

𝑤∈𝑊 )/(∑𝑤∈𝑊𝑎𝑤)²における関係にあてはめると，リンク aを 通過するOD交通需要の個数がnに相当する．したがって，OD間で交通需要の確率的相関 を考慮しない場合，リンクaにおける分散は，OD間で交通需要の確率的相関を考慮する場 合と比較して，最小で1/nだけ小さくなる．なお，リンク交通量の平均は上の2つの場合に おいてそれぞれ等しい．したがって，標準偏差および変動係数は最小で 1/√𝑛だけ小さくな る．

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