リンク移動時間の分散共分散行列

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から，Pratt (1964)に基づくリスクプレミアムを導出するためには，次の2つの条件のいずれ

かを満たす必要がある（池田，2000）．

・効用関数が２次関数である．

・ポートフォリオの収益が楕円分布に従う．

上の 2 つの条件をリンク交通量とリンク移動時間の関係にあてはめると，既存研究におい てリンクコスト関数は 2 次以上の次数であることが多く，第一の仮定を採用することは非 現実的である．そこで本論文では，確率的リンク交通量が楕円分布に従うものと仮定するこ とによって，上の条件を満たすものとする．多くの既存研究（例えば Shao et al.,2006; Lam et al.,2008; Uchida, 2014)では，リンク交通量は楕円分布の典型例である正規分布に従うと仮 定している．正規分布を仮定することで，その加法性によって，交通流モデルの定式化が容 易となる．以下の議論では，正規分布に従うリンク交通量，交通需要を仮定するものとする．

なお，単にリスクプレミアムを定義するためであれば，必ずしもリンク交通量が楕円 分布族に属する必要はない．しかし，Pratt (1964)あるいは池田(2000)においては，リスクプ レミアムを近似的に定義し，その後の議論を容易に進めるために，ポートフォリオの収益が 正規分布あるいは楕円分布に従うことを仮定しているにすぎない．

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実性を反映している．このときDuncan (1977)の手法では，2つのリンク交通量それぞれの不 確実性がどれほどリンク移動時間の共分散に反映されているのかを知ることができない．

そこで，本章では2変量リスクプレミアムの定義を拡張することによって，リンク移動時間 の共分散を，2つのリンク交通量に基づくリスク要因に分解する．2変量リスクプレミアム に基づくリンク移動時間の共分散は以下のように書き換えられる．

cov[ 𝑇_𝑎, 𝑇_𝑏] = (𝑡_𝑎(𝑣_𝑎+ 𝜋̂_𝑎|𝑏) + 𝑡_𝑎(𝑣𝑎+ 𝜋_𝑎)) ⋅ (𝑡𝑏(𝑣_𝑏+ 𝜋̂_𝑏|𝑎) − 𝑡_𝑏(𝑣𝑏+ 𝜋_𝑏)) −𝑡_𝑎(𝑣𝑎+ 𝜋_𝑎) ⋅ 𝑡𝑏(𝑣_𝑏+ 𝜋̂_𝑏|𝑎) + 𝑡_𝑎(𝑣_𝑎+ 𝜋̂_𝑎|𝑏) ⋅ 𝑡_𝑏(𝑣𝑏+ 𝜋_𝑏)

(4-18) 上に示すように，リンク移動時間の共分散は(4-18)の右側の第１項で示す積の項と，(4-18)の 右側の第2項および第3項で示す交差項に分解することができる．2変量リスクプレミアム (𝜋̂_𝑎|𝑏, 𝜋̂_𝑏|𝑎)^𝑇が定義されるとき，以下の式が成り立つとする．

𝑡_𝑎(𝑣𝑎+ 𝜋_𝑎) ⋅ 𝑡𝑏(𝑣_𝑏+ 𝜋̂_𝑏|𝑎) − 𝑡_𝑎(𝑣_𝑎+ 𝜋̂_𝑎|𝑏) ⋅ 𝑡_𝑏(𝑣𝑏+ 𝜋_𝑏) = 0 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 (4-19) このとき，リンク移動時間の共分散は以下のように表される．

cov[ 𝑇_𝑎, 𝑇_𝑏] = (𝑡_𝑎(𝑣_𝑎+ 𝜋̂_𝑎|𝑏) + 𝑡_𝑎(𝑣𝑎+ 𝜋_𝑎)) ⋅ (𝑡𝑏(𝑣_𝑏+ 𝜋̂_𝑏|𝑎) − 𝑡_𝑏(𝑣𝑏+ 𝜋_𝑏)) (4-20)

(4-19)は，(4-17)で定義された，2 変量リスクプレミアムの実行可能領域を制約する恒等式

とみなすことができる．(4-17)，(4-19)，(4-20)の関係の幾何学的な意味を，図4-2を用いて 説明する．幾何学的には，２つの異なるリンク移動時間の共分散 cov[𝑇𝑎, 𝑇𝑏]は，図4-2の点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆで囲まれた帯状の領域の面積に対応する．(4-19)が示す条件は𝑚が1 以上の実数であるとき，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 ∙ 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ であることを意味する．点 C が取りうる領域は(4-17) で定義されており，図 4-2 では曲線として表示されている．本研究では，実行可能領域

(4-17)と(4-19)で定義された直線の交点を2変量リスクプレミアムとして特定する．

図 4-2 はリンク-移動時間ベースの幾何学的表現を表している．一方で図 4-3 はリスク プレミアムベースの幾何学的表現を表している．図4-3における(4-17)と(4-19)の交点は，図 4-2で示す交点に対応する．図4-2は，リンクコスト関数に関する図4-3の写像として解釈 できる．Duncan(1977)の方法によるリスクプレミアムの組の解は，arg min 𝜋̂_𝑎|𝑏² + 𝜋̂_𝑏|𝑎² を解く ことによって得られる．つまり，Dancan(1977)が提示した問題は実行可能領域(4-17)を制約 とする2次ノルム最小化問題となっている．

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図4-2 リンク移動時間の共分散の幾何学的な説明（移動時間に基づく説明）

図4-3 リンク移動時間の共分散の幾何学的な説明（リスクプレミアムに基づく説明）

（4-17）のように，リンク移動時間の共分散の理論的な定義に基づいて，2変量リスクプレ ミアムを計算すると，大きな計算資源を必要とする．計算を簡単とするため，(4-20)で示さ れるリンク移動時間の近似式を用いて，2変量リスクプレミアムを簡易的に定義する手法を 提案する．(4-20)で与えられたリンク移動時間の近似式を用いる．(4-16)の両辺の1次テイラ ー級数近似はそれぞれ以下の通りである．

𝐸[𝑡𝑎(𝑣𝑎+ 𝜀𝑎) ⋅ 𝑡𝑏(𝑣𝑏+ 𝜀𝑏)] ≈ 𝑡𝑎(𝑣𝑎) ⋅ 𝑡𝑏(𝑣𝑏) +¹₂𝑡𝑟(𝑼𝑎,𝑏𝜮𝑎,𝑏)∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 (4-21) 𝑡_𝑎(𝑣𝑎+ 𝜋̂_𝑎) ⋅ 𝑡𝑏(𝑣𝑏+ 𝜋̂_𝑏) ≈ 𝑡𝑎(𝑣𝑎) ⋅ 𝑡𝑏(𝑣𝑏) + 𝒖_𝑎,𝑏^𝑇 𝝅̂_𝑎,𝑏∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 (4-22) ここで，各種ベクトル・行列は以下のように表される．

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𝒖_𝑎,𝑏 = 𝛻(𝑡_𝑎(𝑣_𝑎) ⋅ 𝑡_𝑏(𝑣_𝑏)) = [𝑡_𝑎⁽¹⁾(𝑣_𝑎) ⋅ 𝑡_𝑏(𝑣_𝑏)

𝑡_𝑎(𝑣_𝑎) ⋅ 𝑡_𝑏⁽¹⁾(𝑣_𝑏)] ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 (4-23) π

̂_𝑎,𝑏= [𝜋̂𝑎|𝑏

𝜋̂_𝑏|𝑎] ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 (4-24)

𝑼_𝑎,𝑏= 𝛻²(𝑡_𝑎(𝑣_𝑎) ⋅ 𝑡_𝑏(𝑣_𝑏))

= [𝑡_𝑎⁽²⁾(𝑣_𝑎) ⋅ 𝑡_𝑏(𝑣_𝑏) 𝑡_𝑎⁽¹⁾(𝑣_𝑎) ⋅ 𝑡_𝑏⁽¹⁾(𝑣_𝑏)

𝑡_𝑏⁽¹⁾(𝑣𝑏) ⋅ 𝑡_𝑎⁽¹⁾(𝑣𝑎) 𝑡𝑎(𝑣𝑎) ⋅ 𝑡_𝑏⁽²⁾(𝑣𝑏)] ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴

(4-25)

𝜮_𝑎,𝑏 = [ 𝑣𝑎𝑟[𝑉_𝑎] 𝑐𝑜𝑣[𝑉_𝑎, 𝑉_𝑏]

𝑐𝑜𝑣[𝑉_𝑎, 𝑉_𝑏] 𝑣𝑎𝑟[𝑉_𝑏] ] ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 (4-26) (4-23)と(4-25)における∇は偏微分の操作を表し，[𝜕/𝜕𝑣𝑎, 𝜕/𝜕𝑣𝑏 ]^𝑇のように定義される．

(4-10)-(4-12)と同様に，２次元以上の項は無視できるほど小さいことから，(4-16)の両辺に対し

て2次のテイラー級数近似を施す．Duncan (1977)の手法を適用すると，2変量リスクプレミ アムは以下に示す式の解として定義される．

u_𝑎,𝑏^𝑇 𝜋̂_𝑎,𝑏−1

2𝑡𝑟(U_𝑎,𝑏Σ_𝑎,𝑏) = 0 ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 (4-27)

(4-27)は2変量リスクプレミアムの組の集合を表しており，2変量リスクプレミアムの組は

特定されない．Duncan (1977) は一般化逆行列を用いてこれを特定している．図4-3に示す

ように，Duncan (1977)の方法は，原点と式(4-27)で表される解の集合との間の２次ノルムを

幾何学的に最小化することによって，２変量リスクプレミアムを特定する．この方法は簡便 であるものの，得られた２変量リスクプレミアムの組を解釈するための理論的な背景を持 たない．そこで，提案モデルでは，幾何学的解釈が可能になるように，2変量リスクプレミ アムの組を特定する．(4-19)と(4-27)で示される非線形連立方程式系を解くことによって，リ ンク移動時間の分散共分散行列は次のように表される．

Σ_T = 𝑋_T⁺∘ 𝑋_T⁺ (4-28)

𝑋_T⁺と𝑋_T⁺，そしてそれぞれの成分は以下の通りである．

X_T⁺ = [

𝑋_1|1⁺ ⋯ 𝑋_1||𝐴|⁺

⋮ ⋱ ⋮

𝑋_|𝐴||1⁺ ⋯ 𝑋_{|𝐴|||𝐴|}⁺

] (4-29)

X_T⁻ = [

𝑋_1|1⁻ ⋯ 𝑋_|𝐴||1⁻

⋮ ⋱ ⋮

𝑋_1||𝐴|⁻ ⋯ 𝑋_{|𝐴|||𝐴|}⁻

] (4-30)

𝑋_𝑎|𝑏⁺ = 𝑡_𝑎(𝑣_𝑎+ 𝜋̂_𝑎|𝑏) + 𝑡_𝑎(𝑣_𝑎+ 𝜋_𝑎)∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 (4-31) 𝑋_𝑎|𝑏⁻ = 𝑡_𝑎(𝑣_𝑎+ 𝜋̂_𝑎|𝑏) − 𝑡_𝑎(𝑣𝑎+ 𝜋_𝑎)∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 (4-32) 𝐴 ∘ 𝐵 (∀𝐴, 𝐵 ∈ ℝ^𝑛×𝑛)は，2つの行列A とBのハダマード積を意味する．分散共分散行列の 各要素は，2つのリスク成分，すなわち，𝑋_𝑎|𝑏⁺ と𝑋_𝑏|𝑎⁻ (または𝑋_𝑎|𝑏⁻ と𝑋_𝑏|𝑎⁺ ) (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴)の積と

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して表される．この形式は，リンク移動時間の共分散を，2 辺が𝑋_𝑎|𝑏⁺ と𝑋_𝑏|𝑎⁻ ，または𝑋_𝑎|𝑏⁻ と 𝑋_𝑏|𝑎⁺ で与えられる矩形の面積で表すことができることを意味する．

これまでの一連の定式化によって，リスクプレミアムと2変量リスクプレミアムは，上 記のように確率的リンク移動時間の積の平均と平均に対応して構造化される．リスクプレ ミアムと 2 変量リスクプレミアムを構造化することで，道路ネットワーク全体のリスクを リンクベースの指標で測定することができる．金融リスク管理の分野では，ポートフォリオ リスクはリスク要因の変動に依存する．本章では，ポートフォリオリスクとリスク要因がそ れぞれ確率的な総移動時間と確率的交通量に対応することを前提としている．この議論の 詳細は付録4Bで述べる．なお，(4-31)と(4-32)より，risk component 行列とリンク移動時間 の平均𝑣𝑎，リンク移動時間の平均に対応するリスクプレミアム𝜋𝑎そしてリンクコスト関数 が所与であるとき，π̂𝑎|𝑏 (∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴)は一意に求まる．

上記で定義したリスクプレミアムと 2 変量リスクプレミアムを用いて，リンク移動時 間の平均と分散共分散，経路移動時間の平均と分散はそれぞれ以下のように定義される．

𝐸[𝑇_𝑎] = 𝑡_𝑎(𝑣_𝑎+ 𝜋_𝑎)∀𝑎 ∈ 𝐴 (4-33) 𝑐𝑜𝑣[𝑇_𝑎, 𝑇_𝑏] = 𝑡𝑎(𝑣_𝑎+ 𝜋̂_𝑎|𝑏) ⋅ 𝑡_𝑏(𝑣_𝑏+ 𝜋̂_𝑏|𝑎) − 𝑡_𝑎(𝑣𝑎+ 𝜋_𝑎) ⋅ 𝑡𝑏(𝑣𝑏+ 𝜋_𝑏)∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 (4-34) 𝐸[𝑇_𝑤,𝑘] = ∑_{𝑘∈𝐾𝑤}𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝐸[𝑇_𝑎]∀𝑘 ∈ 𝐾_𝑤, ∀𝑤 ∈ 𝑊 (4-35)

var[𝑇_𝑤,𝑘] = var [ ∑ 𝛿_{𝑤,𝑘,𝑎}⋅ 𝑇_𝑎

𝑘∈𝐾_𝑤

]

= ∑ ∑ 𝛿𝑤,𝑘,𝑎⋅ 𝛿𝑤,𝑘,𝑏⋅ cov[𝑇𝑎, 𝑇𝑏]

𝑏∈𝐴 𝑎∈𝐴

∀𝑘 ∈ 𝐾𝑤, ∀𝑤 ∈ 𝑊

(4-36)