均一広がりと仮定した場合の Raman 散乱の影響

Raman 散乱によるノイズ演算子に関するN(z, t1, t2)の導出

さて，Raman散乱によって付加される雑音についてであるが，分子振動は均一広がりの分布と不均一広が りの分布の両方を持っていると考えられる。本副節では均一広がりのみを仮定し，一本の共鳴周波数のみを持 つ場合の計算法を示す。前副節で示した条件から，ノイズ演算子nˆの交換関係を求めるためにはEq. (A.78)に 示すように摂動電界に対する線形化が必要となる。そのため，まず古典的なSchr¨odinger 方程式をまず示す。

Raman散乱を単一周波数の均一広がりのみと考えると，Raman応答関数は

h(t) = exp(−γrt) sin(Ω0t)s0(t), (A.85)

となる。ただしs0(t)は単位ステップ関数であり，tが負のときはゼロとなることを示す。また，Ω0とγrはそれぞれ フォノンの共鳴周波数とその減衰率(時定数の逆数)を表し，良く用いられる値はΩ0= 1/(32[fs]) = 3.1×10¹³[s⁻¹]

とγr= 1/(12.2[fs]) = 8.2×10¹³ [s⁻¹]である。また，一般にRaman応答関数は積分したときに1となるよう に規格化する必要がある。規格化した場合，この式は

h(t) = Ω²₀+γ² Ω0

exp(−γ_rt) sin(Ω₀t)s₀(t), (A.86) となる。ここで，Eq. (A.56)の摂動電界u(z, t)ˆ に対する伝搬方程式を再掲すると，

∂

∂zu(z, t) =jˆ ∑

k≥2

j^kβk

k!

∂^k

∂t^ku(z, t) + 2j(1ˆ −fr)γ|U(z, t)|²ˆu(z, t) +j(1−fr)γU²(z, t)ˆu^†(z, t) +jf_rγ

∫ t

−∞

h(t−τ)|U(z, τ)|²dτu(z, t) +ˆ jf_rγ

∫ t

−∞

h(t−τ)U^∗(z, τ)ˆu(z, τ)dτ U(z, t) +jf_rγ

∫ t

−∞

h(t−τ)U(z, τ)ˆu^†(z, τ)dτ U(z, t), (A.87) である。よってEq. (A.78)から

N(z, t1, t2) ={−P1(z, t1)−P₁^∗(z, t2)}δ(t1−t2)

=−jf_rγ [∫ t1

−∞

h(t₁−τ)U^∗(z, τ)δ(τ−t₂)dτ U(z, t₁)−

∫ t2

−∞

h(t₂−τ)U(z, τ)δ(t₁−τ)dτ U^∗(z, t₂) ]

, (A.88) となる。ここで，Eq. (A.87)の項のうち，右辺3項目と6項目はuˆ^†に依存するため，P1に含まれないことと，

右辺1, 2, 4項目は純虚数となるため消えることに注意する。このときt₂≥t₁であれば

N(z, t1, t2) =jfrγU(z, t1)U^∗(z, t2)h(t2−t1), (A.89) であり，t2< t1であれば

N(z, t₁, t₂) =−jf_rγU0(z, t₁)U^∗(z, t₂)h(t₁−t₂), (A.90) となる。今回の場合Eq. (A.85)を見ればこれらの式は以下のように書き換えることができる。

N(z, t1, t2) =jfrγΩ²₀+γ² Ω0

U(z, t1)U^∗(z, t2) exp(−γr|t2−t1|) sin{Ω0(t2−t1)}. (A.91)

フォノンの時間発展に由来するノイズの解析 これで[

ˆ

n(z, t1),nˆ^†(z^′, t2)]

の交換関係が求まったわけであるが，前述したようにこれだけでは不完全である。

Raman散乱に由来するノイズ演算子は元をたどればフォノンが熱浴(Reservoir)と結合しているために発生す

るので，フォノンの時間発展に関する式を計算する必要がある。Eq. (A.55)，Eq. (A.86)から，Raman散乱に 関する項は

jfrγ

∫ t

−∞

Ω²₀+γ_r² Ω0

exp{−γr(t−τ)}sin{Ω0(t−τ)} |U(z, τ)|²dτ U(z, t), (A.92) である。ここでフォノンの強度をˆb(z, t)で表すと，その時間発展を

∂

∂t

ˆb(z, t) =−γrˆb(z, t)−jΩ0ˆb(z, t) +jg0|U(z, t)|², (A.93)

と仮定する。この式は光の強度|U(z, t)|²によってフォノンが励起し，Ω0で振動しながらγrにより減衰して いく様子を表している。ここで，g0はフォノンと光の強度の結合の強さを表している。この式を解くと

ˆb(z, t) =jg0

∫ t

−∞

exp{−(γr+jΩ0)(t−τ)} |U(z, t)|²dτ, (A.94) となり，Raman散乱の項を

jfrγ

∫ t

−∞

Ω²₀+γ_r²

Ω₀ exp{−γr(t−τ)}sin{Ω0(t−τ)} |U(z, τ)|²dτ U(z, t)

=jfrγ 2g₀

Ω²₀+γ²_r

Ω₀ (ˆb(z, t) + ˆb^†(z, t))U(z, t), (A.95)

とすれば非線形Schr¨odinger方程式を無理なく満たす。さて，このような非線形Schr¨odinger方程式とフォノ ンの時間発展に関する式の連立方程式を量子化し，フォノンの時間発展の式に新たなノイズ演算子nˆb(z, t)を 加える。まず，非線形Schr¨odinger 方程式は以下のようになる。

∂

∂zU(z, t) =j∑

k≥2

j^kβ_k k!

∂^k

∂t^kU(z, t) +j(1−f_r)γ|U(z, t)|²U(z, t) +jf_rγ 2g0

Ω²₀+γ_r² Ω0

(ˆb(z, t) + ˆb^†(z, t))U(z, t).

(A.96) 同様にEq. (A.93)のフォノンの時間発展は

∂

∂t

ˆb(z, t) =−γrˆb(z, t)−jΩ0ˆb(z, t) +jg0|U(z, t)|²+ ˆnb(z, t), (A.97) となる。Equation (A.97)を解くとその解はEq. (A.94)にnˆb(z, t)の項が加わり，

ˆb(z, t) =jg0

∫ t

−∞

exp{−(γr+jΩ0)(t−τ)} |U(z, t)|²dτ+

∫ t

−∞

exp{−(γr+jΩ0)(t−τ)}ˆnb(z, t)dτ, (A.98) となる。この結果をEq. (A.96)に代入することでnˆのより正確な形を導くことができる。

∂

∂zU(z, t) =j∑

k≥2

j^kβk

k!

∂^k

∂t^kU(z, t) +j(1−fr)γ|U(z, t)|²U(z, t) +jfrγ 2g₀

Ω²₀+γ_r²

Ω₀ (ˆb(z, t) + ˆb^†(z, t))U(z, t)

=j∑

k≥2

j^kβ_k k!

∂^k

∂t^kU(z, t) +j(1−f_r)γ|U(z, t)|²U(z, t) +jf_rγ

∫ t

−∞

h(t−τ)|U(z, τ)|²dτ U(z, t)

+jfrγ 2g₀

∫ t

−∞

[

H(t−τ)ˆnb(z, τ) +H^∗(t−τ)ˆn^†_b(z, τ) ]

dτ U(z, t), (A.99)

となる。この式の下線部分がˆn(z, t)に等しいといえる。また，H(t)は H(t) =Ω²₀+γ_r²

Ω0

exp [(−γ−jΩ₀)t], (A.100)

となる。ˆn(z, t)の交換関係Eq. (A.70)，Eq. (A.70)および，Eq. (A.91)を満たすようにnˆb(z, t)の交換関係を 決めると

[ˆnb(z, t1),ˆnb(z^′, t2)] = [

ˆ

n^†_b(z, t1),ˆn^†_b(z^′, t2) ]

= 0, (A.101)

はすぐに導出される。これに対し，

[ ˆ

nb(z, t1),ˆn^†_b(z^′, t2) ]

は [n(z, tˆ ₁),ˆn^†(z^′, t₂)]

= f_r²γ² 4g²₀

∫ ∫ t1,t2

−∞,−∞

{(

H(t₁−τ₁)ˆn_b(z, τ₁) +H^∗(t₁−τ₁)ˆn^†_b(z, τ₁) ) (

H^∗(t₂−τ₂)ˆn^†_b(z^′, τ₂) +H(t₂−τ₂)ˆn_b(z^′, τ₂) )

−(

H^∗(t2−τ2)ˆn^†_b(z^′, τ2) +H(t2−τ2)ˆnb(z^′, τ2) ) (

H(t1−τ1)ˆnb(z, τ1) +H^∗(t1−τ1)ˆn^†_b(z, τ1) )}

×dτ₁dτ₂U(z, t₁)U^∗(z^′, t₂)

= f_r²γ² 4g²₀

∫ ∫ t1,t2

−∞,−∞

{

H(t₁−τ₁)H^∗(t₂−τ₂) [

ˆ

n_b(z, τ₁),ˆn^†_b(z^′, τ₂) ]

+H^∗(t₁−τ₁)H(t₂−τ₂) [

ˆ

n^†_b(z, τ₁),ˆn_b(z^′, τ₂) ]}

×dτ1dτ2U(z, t1)U^∗(z^′, t2), (A.102)

から計算される。ここで，

[ ˆ

nb(z, t1),nˆ^†_b(z^′, t2) ]

はt1とt2に対するδ関数を含むと考えられる。また，Eq. (A.70) がzに対するδ関数を含んでいることから，仮に，

[ ˆ

n_b(z, t₁),nˆ^†_b(z^′, t₂) ]

= Aδ(t₁−t₂)δ(z−z^′) とすると，

Eq. (A.102)は f_r²γ²

4g²₀

∫ ∫ t₁,t₂

−∞,−∞{H(t1−τ1)H^∗(t2−τ2)Aδ(τ1−τ2)δ(z−z^′)−H^∗(t1−τ1)H(t2−τ2)Aδ(τ2−τ1)δ(z^′−z)}        ×dτ₁dτ₂U(z, t₁)U^∗(z^′, t₂)

= f_r²γ² 4g²₀

∫ t_L

−∞{H(t1−τ)H^∗(t2−τ)−H^∗(t1−τ)H(t2−τ)}Aδ(z−z^′)dτ U(z, t1)U^∗(z^′, t2)

=−j1 2

{frγ g₀

Ω²₀+γ²_r Ω₀

}2∫ tL

−∞

exp{−γ_r(t₁+t₂−2τ)}sin{−Ω₀(t₁−t₂)}Aδ(z−z^′)dτ U(z, t₁)U^∗(z^′, t₂)

=j 1 4γr

{f_rγ g0

Ω²₀+γ_r² Ω0

}2

exp{−γ_r(t₁+t₂−2t_L)}sin{Ω₀(t₁−t₂)}Aδ(z−z^′)U(z, t₁)U^∗(z^′, t₂), (A.103) と変形できる。ここでtLはt1とt2のうち小さいほうを指す。この式をEq. (A.70)，Eq. (A.91)と見比べると

j 1 4γ_r

{frγ g₀

Ω²₀+γ_r² Ω₀

}2

exp{−γr(t1+t2−2tL)}sin{Ω0(t1−t2)}Aδ(z−z^′)U(z, t1)U^∗(z^′, t2)

=jfrγU(z, t1)U^∗(z^′, t2)Ω²₀+γ_r² Ω0

exp(−γr|t1−t2|) sin{Ω0(t1−t2)}δ(z−z^′). (A.104) よりA=^4g_f^20γr

rγ Ω₀

Ω²₀+γ_r² となる。よって [

ˆ

nb(z, t1),nˆ^†_b(z^′, t2) ]

= 4g₀²γr

f_rγ Ω0

Ω²₀+γ_r²δ(t1−t2)δ(z−z^′), (A.105)

となる。物理的にはnˆb(z, t)はフォノン場の減衰によって生じるため，線形損失と扱うことができる。そのた め，線形損失のときのn(z, t)ˆ と同様の相関関数を持つと考えられる。よって

⟨ˆnb(z, t1)ˆnb(z^′, t2)⟩=

⟨ ˆ

n^†_b(z, t1)ˆn^†_b(z^′, t2)

⟩

= 0 (A.106)

⟨ ˆ

nb(z, t1)ˆn^†_b(z^′, t2)

⟩

= [nΩ₀(T) + 1]4g²₀γr

frγ Ω0

Ω²₀+γ_r²δ(t1−t2)δ(z−z^′) (A.107)

⟨ ˆ

n^†_b(z, t₁)ˆn_b(z^′, t₂)

⟩

=n_Ω0(T)4g²₀γr

f_rγ Ω0

Ω²₀+γ_r²δ(t₁−t₂)δ(z−z^′), (A.108) となる。ここでnΩ0(T)は温度Tにおける平均フォノン数であり，Eq. (A.84)と同様に

n_Ω(T) = 1

e^~ΩkT −1, (A.109)

となる。ここからˆn(z, t)に対する相関関数を計算する。まず，⟨n(z, tˆ ₁)ˆn(z^′, t₂)⟩は

− (f_rγ

2g0

)2∫ ∫ t1,t2

−∞,−∞

{

H(t₁−τ₁)ˆn_b(z, τ₁) +H^∗(t₁−τ₁)ˆn^†_b(z, τ₁) } {

H(t₂−τ₂)ˆn_b(z^′, τ₂) +H^∗(t₂−τ₂)ˆn^†_b(z^′, τ₂) }

×dτ1dτ2U(z, t1)U(z^′, t2), (A.110)

の平均値となる。従って

⟨n(z, tˆ ₁)ˆn(z^′, t₂)⟩

=− (frγ

2g0

)2∫ ∫ t₁,t₂

−∞,−∞

{

H(t1−τ1)H^∗(t2−τ2)

⟨ ˆ

nb(z, τ1)ˆn^†_b(z^′, τ2)

⟩

+H^∗(t1−τ1)H(t2−τ2)

⟨ ˆ

n^†_b(z, τ1)ˆnb(z^′, τ2)

⟩}

      ×dτ1dτ2U(z, t1)U(z^′, t2)

=− (f_rγ

2g0

)2∫ ∫ t₁,t₂

−∞,−∞

{

H(t₁−τ₁)H^∗(t₂−τ₂)[n_Ω0(T) + 1]4g²₀γ_r frγ

Ω₀

Ω²₀+γ²_rδ(τ₁−τ₂)δ(z−z^′)       +H^∗(t₁−τ₁)H(t₂−τ₂)n_Ω0(T)4g²₀γ_r

frγ Ω₀

Ω²₀+γ_r²δ(τ₁−τ₂)δ(z−z^′) }

dτ₁dτ₂U(z, t₁)U(z^′, t₂)

=−frγγr

Ω²₀+γ_r² Ω0

δ(z−z^′)U(z, t1)U(z^′, t2)

×

∫ tL

−∞

exp{−γ_r(t₁+t₂−2τ)−jΩ₀(t₁−t₂)}[n_Ω0(T) + 1] + exp{−γ_r(t₁+t₂−2τ) +jΩ₀(t₁−t₂)}n_Ω0(T)dτ

=−f_rγ 2

Ω²₀+γ_r² Ω0

δ(z−z^′)U(z, t1)U(z^′, t2) exp(−γr(t1+t2−2tL)

×[(nΩ₀(T) + 1) exp{−jΩ0(t1−t2)}+nΩ₀(T) exp{jΩ0(t1−t2)}]. (A.111) となる。例によってtLはt1，t2の低い方である。式が複雑で若干見通しが悪いため，Nn(t)を以下のように 定義する。

N_n(t) =frγ 2

Ω²₀+γ_r²

Ω₀ exp(−γ_r|t|){(n_Ω0(T) + 1) exp(−jΩ₀t) +n_Ω0(T) exp(jΩ₀t)}. (A.112) すると，⟨n(z, tˆ 1)ˆn(z^′, t2)⟩は

⟨ˆn(z, t1)ˆn(z^′, t2)⟩=−U(z, t1)U(z^′, t2)Nn(t1−t2)δ(z−z^′). (A.113)

さらに，これと同様に他の三つの相関関数を計算すると，

⟨n(z, tˆ ₁)ˆn^†(z^′, t₂)⟩

=U(z, t₁)U^∗(z^′, t₂)N_n(t₁−t₂)δ(z−z^′), (A.114)

⟨nˆ^†(z, t₁)ˆn(z^′, t₂)⟩

=U^∗(z, t₁)U(z^′, t₂)N_n(t₁−t₂)δ(z−z^′), (A.115)

⟨ˆn^†(z, t₁)ˆn^†(z^′, t₂)⟩

=−U^∗(z, t₁)U^∗(z^′, t₂)N_n(t₁−t₂)δ(z−z^′), (A.116) となる。従って，Eq. (A.69)にこれらを代入すると

Var⟨u^A(L, t)|u(L, t)ˆ ⟩=Var⟨u^A(0, t)|u(0, t)ˆ ⟩

−1 4

∫ L 0

∫ ∫

u^A∗(z, t₁)u^A∗(z^′, t₂)U(z, t₁)U(z, t₂)N_n(t₁−t₂)dt₁dt₂dz +1

4

∫ L 0

∫ ∫

u^A∗(z, t1)u^A(z^′, t2)U(z, t1)U^∗(z, t2)Nn(t1−t2)dt1dt2dz +1

4

∫ L 0

∫ ∫

u^A(z, t₁)u^A∗(z^′, t₂)U^∗(z, t₁)U(z, t₂)N_n(t₁−t₂)dt₁dt₂dz

−1 4

∫ L 0

∫ ∫

u^A(z, t1)u^A(z^′, t2)U^∗(z, t1)U^∗(z, t2)Nn(t1−t2)dt1dt2dz, (A.117) を計算すればよいことになる。このEq. (A.117)およびEq. (A.112)が本副節の結論となる。

ドキュメント内 パルス生成に関する研究 (ページ 129-134)