第 7 章 本研究のまとめ 110
A.2 Backpropagation 法
A.2.3 不均一広がりと仮定した場合の Raman 散乱の影響
さらに，これと同様に他の三つの相関関数を計算すると，
⟨n(z, tˆ 1)ˆn†(z′, t2)⟩
=U(z, t1)U∗(z′, t2)Nn(t1−t2)δ(z−z′), (A.114)
⟨nˆ†(z, t1)ˆn(z′, t2)⟩
=U∗(z, t1)U(z′, t2)Nn(t1−t2)δ(z−z′), (A.115)
⟨ˆn†(z, t1)ˆn†(z′, t2)⟩
=−U∗(z, t1)U∗(z′, t2)Nn(t1−t2)δ(z−z′), (A.116) となる。従って，Eq. (A.69)にこれらを代入すると
Var⟨uA(L, t)|u(L, t)ˆ ⟩=Var⟨uA(0, t)|u(0, t)ˆ ⟩
−1 4
∫ L 0
∫ ∫
uA∗(z, t1)uA∗(z′, t2)U(z, t1)U(z, t2)Nn(t1−t2)dt1dt2dz +1
4
∫ L 0
∫ ∫
uA∗(z, t1)uA(z′, t2)U(z, t1)U∗(z, t2)Nn(t1−t2)dt1dt2dz +1
4
∫ L 0
∫ ∫
uA(z, t1)uA∗(z′, t2)U∗(z, t1)U(z, t2)Nn(t1−t2)dt1dt2dz
−1 4
∫ L 0
∫ ∫
uA(z, t1)uA(z′, t2)U∗(z, t1)U∗(z, t2)Nn(t1−t2)dt1dt2dz, (A.117) を計算すればよいことになる。このEq. (A.117)およびEq. (A.112)が本副節の結論となる。
となる。こうすればg2(Ω)は実関数となる。g2(Ω)を求めるために，まずFourier変換を計算すると，
∫ ∞
−∞
h′(t) exp(jΩt)dt=Ω20+γ2r Ω0
1 2j
∫ ∞
0
exp{−γrt+j(Ω + Ω0)t} −exp{−γrt+j(Ω−Ω0)t}dt +Ω20+γr2
Ω0
1 2j
∫ 0
−∞
exp{γrt+j(Ω + Ω0)t} −exp{γrt+j(Ω−Ω0)t}dt
=Ω20+γ2r Ω0
1 2j
{ −1
−γr+j(Ω + Ω0)+ 1
−γr+j(Ω−Ω0) }
+Ω20+γr2 Ω0
1 2j
{ 1
γr+j(Ω + Ω0)− 1 γr+j(Ω−Ω0)
}
=Ω20+γ2r Ω0
{ jγr
γr2+ (Ω−Ω0)2 − jγr γr2+ (Ω + Ω0)2
}
, (A.122)
となる。これをFourier逆変換すると，この関数がΩに対して反対称であるため，cosの項はゼロとなる。つ まり，
1 2π
Ω20+γr2 Ω0
∫ ∞
−∞
{ jγr
γr2+ (Ω−Ω0)2 − jγr
γr2+ (Ω + Ω0)2 }
exp(−jΩt)dΩ
=1 π
Ω20+γr2 Ω0
∫ ∞
0
{ γr
γ2r+ (Ω−Ω0)2− γr
γr2+ (Ω + Ω0)2 }
sin(Ωt)dΩ, (A.123)
となる。よってEq. (A.119)と見比べれば g2(Ω) = 1
π
Ω20+γ2r Ω0
{ γr
γr2+ (Ω−Ω0)2 − γr γr2+ (Ω + Ω0)2
}
, (A.124)
がg2(Ω)の正確な形である。より一般のRaman応答関数に対しては，一旦Eq. (A.121)のようにt= 0に対 して反対称になるように関数を書き直し，それをFourier変換し，その虚部に1/πをかければよい。
さて，このg2(Ω)を使い，均一広がりのときと同様に光の伝搬を表す非線形Schr¨odinger方程式とフォノン の時間発展に関する方程式を記述すると以下のようになる。
∂
∂z
Uˆ(z, t) =j∑
k≥2
jkβk
k!
∂k
∂tk
U(z, t) +ˆ j(1−fr)γ¯¯¯Uˆ(z, t)¯¯¯2U(z, t)ˆ +jfrγ
2
∫ ∞
0
g(Ω)(ˆbΩ(z, t) + ˆb†Ω(z, t))dΩ ˆU(z, t), (A.125)
∂
∂t
ˆbΩ(z, t) =−jΩˆbΩ(z, t) +jg(Ω)¯¯¯Uˆ(z, t)¯¯¯2. (A.126) ここで，Eq. (A.126)を解くと，
ˆbΩ(z, t) = ˆbΩ(z,−∞) exp(−jΩt) +jg(Ω)
∫ t
−∞
exp{−jΩ(t−τ)}¯¯¯Uˆ(z, t)¯¯¯2dτ, (A.127) とすることができる。今回のモデルでは減衰が無いため，線形損失によるノイズ演算子は登場しないが，初期 状態におけるフォノンの状態がランダムであるためにノイズ源となる。この連立方程式から，以下のような量
子非線形Schr¨odinger方程式が導出できる。
∂
∂z
Uˆ(z, t) =j∑
k≥2
jkβk k!
∂k
∂tk
U(z, t) +ˆ j(1−fr)γ¯¯¯Uˆ(z, t)¯¯¯2Uˆ(z, t) +jfrγ
∫ t
−∞
h′(t−τ)¯¯¯Uˆ(z, τ)¯¯¯2dτU(z, t)ˆ +jfrγ
2
∫ ∞
0
g(Ω){ˆbΩ(z,−∞) exp(−jΩt) + ˆb†Ω(z,−∞) exp(jΩt)}dΩ ˆU(z, t). (A.128) ここで，ˆbΩ(z,−∞)に対する交換関係が必要になるが，均一広がりのときと同様に，Eq. (A.70)，Eq. (A.70) およびEq. (A.91)からn(z, t)ˆ の交換関係を満たすように決める。すると，
[ˆbΩ(z,−∞),ˆbΩ′(z′,−∞) ]
=
[ˆb†Ω(z,−∞),ˆb†Ω′(z′,−∞) ]
= 0, (A.129)
となる。
[ˆbΩ(z,−∞),ˆb†Ω′(z′,−∞) ]
は均一広がりのときと同様に若干複雑になる。
[ˆn(z, t1),nˆ†(z′, t2)]
=fr2γ2 4
∫ ∫ ∞
0
g(Ω)g(Ω′)
[ˆbΩ(z,−∞),ˆb†Ω′(z′,−∞) ]
exp(−jΩt1+jΩ′t2)
−g(Ω)g(Ω′)
[ˆbΩ′(z′,−∞),ˆb†Ω(z,−∞) ]
exp(jΩt1−jΩ′t2)dΩdΩ′U(z, t1)U∗(z′, t2), (A.130) となるので，例によって
[ˆbΩ(z,−∞),ˆb†Ω′(z′,−∞) ]
=Aδ(Ω−Ω′)δ(z−z′)とおくと，
[n(z, tˆ 1),nˆ†(z′, t2)]
=fr2γ2 4
∫ ∞
0
g2(Ω){Aδ(z−z′) exp{−jΩ(t1−t2)} −Aδ(z′−z) exp{jΩ(t1−t2)}}dΩ
×U(z, t1)U∗(z′, t2)
=jfr2γ2 2
∫ ∞
0
g2(Ω)Aδ(z−z′) sin{Ω(t2−t1)}dΩU(z, t1)U∗(z′, t2), (A.131) となる。Eq. (A.119)，Eq. (A.121)を参考にすると，この式は
[n(z, tˆ 1),nˆ†(z′, t2)]
= jfr2γ2
2 Aδ(z−z′)h′(t2−t1)U(z, t1)U∗(z′, t2), (A.132) となる。この式はEq. (A.91)と等しくなるので，A= f2
rγ より，
[ˆbΩ(z,−∞),ˆb†Ω′(z′,−∞) ]
= 2
frγδ(Ω−Ω′)δ(z−z′), (A.133) となり，今回のノイズ源であるˆbΩ(z,−∞)の交換関係が求まった。ここから，ˆbΩ(z,−∞)の四つの相関関数を 求めると，温度T のときは以下のようになる。
⟨ˆbΩ(z,−∞)ˆbΩ′(z′,−∞)
⟩
=
⟨ˆb†Ω(z,−∞)ˆb†Ω′(z′,−∞)
⟩
= 0, (A.134)
⟨ˆbΩ(z,−∞)ˆb†Ω′(z′,−∞)
⟩
= [nΩ0(T) + 1] 2
frγδ(Ω−Ω′)δ(z−z′), (A.135)
⟨ˆb†Ω(z,−∞)ˆbΩ′(z′,−∞)
⟩
=nΩ0(T) 2
frγδ(Ω−Ω′)δ(z−z′). (A.136)
従って，ˆn(z, t)に対する相関関数は
⟨n(z, tˆ 1)ˆn(z′, t2)⟩=−fr2γ2 4
∫ ∫ ∞
0
g(Ω)g(Ω′)
⟨ˆbΩ(z,−∞)ˆb†Ω′(z′,−∞)
⟩
exp(−jΩt1+jΩ′t2) +g(Ω)g(Ω′)
⟨ˆb†Ω(z,−∞)ˆbΩ′(z′,−∞)
⟩
exp(jΩt1−jΩ′t2)dΩdΩ′U(z, t1)U(z′, t2)
=−frγ
2 δ(z−z′)U(z, t1)U(z′, t2)
∫ ∞
0
g2(Ω)[nΩ0(T) + 1] exp{−jΩ(t1−t2)}
+g2(Ω)nΩ0(T) exp{jΩ(t1−t2)}dΩ, (A.137) となる。従って，
Nn(t) =frγ 2
∫ ∞
0
g2(Ω) [(nΩ0(T) + 1) exp{−jΩ(t1−t2)}+nΩ0(T) exp{jΩ(t1−t2)}]dΩ, (A.138) とすれば，Eq. (A.113)-Eq. (A.116)はそのまま成り立ち，ˆn(z, t)の四つの相関関数が求まり，Eq. (A.69)のノ イズ演算子の部分が計算できる。これが本副節の主な結論となる。これらのうちいずれかを用いてRaman散 乱のノイズを解析することができる。
[1] G. P. Agrawal，小田垣 孝，山田 興一 訳：非線形ファイバー光学(吉岡書房，1997年原書第2版).
[2] Y. Lai and S.-S. Yu, Phys. Rev. A60, R781 (1999).
[3] A. Mecozzi and P. Kumar, Opt. Lett.22, 1232 (1997).
本研究は慶應義塾大学理工学部教授神成文彦博士の御指導の元で行われたものです。本研究を遂行するに あたりまして，細やかな御指導と適切なアドバイスを多々いただけたことに深く感謝しております。あっとい う間に過ぎ去った6年間ではありましたが，本研究を通じて数多くの貴重な経験をさせていただきました。こ の経験を生かし，社会へ貢献することで少しでも御指導に報いていければと思います。
また，本論文を執筆するにあたり，慶應義塾大学理工学部教授梅垣真祐博士，同教授津田裕之博士，同教授 佐々田博之博士には副査として御査読いただきました。筆者の乱文を丁寧に読み，御指導いただき，心より御 礼申し上げます。また，津田裕之博士には研究のためにレーザダイオードをお借りしました。快く貸していた だき，御支援いただいたことに感謝いたします。
本研究を開始した当初，全く知識や経験の無い筆者に基礎知識から数値解析の詳細，研究の進め方など多岐 にわたって強力にサポートしてくださった情報通信研究機構の武岡正裕博士には心から御礼申し上げます。ま た，第3章の実験は古用博人氏(東京電力株式会社)を中心として進めていきました。本研究の基礎を築き，筆 者には研究を開始した当初から御指導いただいたことに深く感謝いたします。
数値解析におきましてはティエンプラティープ・モンティエン博士に光ファイバ伝搬の計算に関するプログ ラムや基礎知識，光ファイバに関する知識についてご指導いただきました。実験におきましては同輩である多
田睦氏(アジレント・テクノロジー株式会社)は同じ研究班として助け合い，お互い良い研究ができたと思いま
す。後輩である田口修一氏(東京電力株式会社)や百瀬嘉則氏(環境省)，藤原悠二氏にも良く支えていただきま した。彼らの協力によって研究チームがよく機能し，より高いレベルの研究が可能になりました。研究チーム の皆には本当に感謝しております。現役生として，これからの研究を支えていく潮英岳氏，中込久幸氏，伊東 泰幸氏にも同じく感謝しております。彼らには今後も研究のレベルを保てるよう協力し，切磋琢磨していくよ うにお願いいたします。
鈴木重成博士(オリンパス株式会社)は当時情報通信研究機構で研究されていましたが，武岡博士は理論研 究が専門である一方，鈴木博士のアドバイスはまた別の視点からのものであり，参考になりました。筆者はた びたび情報通信研究機構でディスカッションをお願いしておりましたが，当時情報通信研究機構で研究されて いた和久井健太郎博士(富士通研究所)にもたびたび参加いただき感謝しております。このような貴重なディス カッションができるのもグループリーダーである佐々木雅英博士の協力があってのことであり，心より御礼申 し上げます。
また，本研究を通じて独立行政法人日本学術振興会に特別研究員として採用いただき，博士課程の3年間を 御支援いただきました。このことは研究継続のための精神的な支えとなりました。
最後に筆者の学生生活を全面的に支援していただいた家族に深く感謝を申し上げます。
2008年1月 廣澤 賢一
定期刊行誌掲載論文（主論文に関連する原著論文）
1. K. Hirosawa, H. Furumochi, A. Tada, F. Kannari, M. Takeoka, and M. Sasaki, “Photon Number Squeezing of Ultrabroadband Laser Pulses Generated by Microstructure Fibers”, Phys. Rev. Lett.
94, 203601 (2005).
2. K. Hirosawa, F. Kannai, M. Takeoka, and M. Sasaki, “Quantum correlated pulse-pair generation during pulse-trapping propagation in optical fibers”, Phys. Rev. A76, 043817 (2007).
3. K. Hirosawa, Y. Momose, H. Ushio, Y. Fujiwara, and F. Kannari, “Purification of Squeezed Vacuum Pulse Generated from a Sagnac Loop Fiber Using Linear Optics and Conditional Homodyne Detection”, Jpn. J. Appl. Phys. (採録決定済み)
定期刊行誌掲載論文（その他の論文）
1. M. Tianprateep, K. Hirosawa, and F. Kannari, “Numerical Analysis of Amplitude-to-Phase Noise Conversion in a Self-Referencing Scheme Using Ultrashort White-Continuum Light Generated by Mi-crostructure Fibers”, Jpn. J. Appl. Phys. 45, L89 (2006).
2. A. Tada, K. Hirosawa, F. Kannari, M. Takeoka, and M. Sasaki, “Photon-number squeezing in a soli-tonlike Raman Stokes component during propagation of ultrashort pulses in a microstructure fiber”, J. Opt. Soc. Am. B24, 691 (2007).
国際会議論文（査読付きの full-length papers ）
1. K. Hirosawa*, Y. Momose, Y. Fujiwara, F. Kannari, S. Suzuki, M. Takeoka, and M. Sasaki, “Generation of 1.5 µm Squeezed Vacuum Pulse Using a Sagnac Loop Interferometer”, in the proceedings of The 6th Asia Pacific Laser Symposium (APLS2008), Nagoya, Japan, January 30-February 1, 2008, paper 31Aa10. (The Review of Laser Engineering Supplemental Volume 2008, p. 1031)
2. H. Furumochi*, A. Tada, K. Hirosawa, F. Kannari, M. Takeoka, and M. Nakazawa, “Photon number Squeezing of ultrabroadband pulses generated by microstructure fibers”, in the proceedings of 14th Inter national Conference on Ultrafast Phenomena, Niigata, Japan, July 25-30, 2004, paper ThD38 (Ultrafast Phenomena XIV, Springer Series in Chemical Physics Vol.79, p. 873)