第７章 結論
７.２ 今後の研究課題
参考文献
1) Griffith, A.A. : The phenomena of rupture and flow in solids, Philosophical Transactions, Series A, Vol.221, pp.163–198, 1920.
2) Irwin, G.R. : Onset of fast crack propagation in high strength steel and aluminum alloys, Sagamore Research Conference Proceedings, Vol.2, pp.289-305, 1956.
3) Irwin, G.R. : Analysis of stress and strain near the end of a crack traversing a plate, Journal of Applied Mechanics, Vol.24, pp.361-364, 1957.
4) Irwin, G.R. : Plastic zone near a crack and fracture toughness, Sagamore research conference proceedings, Vol.4, Syracuse University Research Institute, Syracuse, NY, pp.63-78, 1961.
5) Dugdale, D.S. : Yielding in steel sheets containing slits, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol.8, pp.100-104, 1960.
6) Barenblatt, G.I. : The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture, Advances in Applied Mechanics, Vol.VII, Academic Press, pp.55-129, 1962.
7) Wells, A.A. : Unstable crack propagation in metals: cleavage and fast fracture, Proceedings of the Crack Propagation Symposium, Vol.1, Paper 84, Cranfield, UK, pp.210-230, 1961.
8) Rice, J.R. : A path independent integral and the approximate analysis of strain consideration by notches and cracks, Journal of Applied Mechanics, Vol.35, pp.379-386, 1968.
9) Hillerborg, A., Modéer M. and Petersson, P. E. : Analysis of Crack Formation and Crack Growth in Concrete by Means of Fracture Mechanics and Finite Elements, Cement and Concrete Research, Vol.6, No.6, pp.773-781, 1976.
10) RILEM Draft Recommendation (50-FMC) : Determination of the fracture energy of mortar and concrete by means of three-point bend tests on notched beams, Materials and Structures, Vol.18, No.106, pp.285-290, 1985.
11) 橘高義典，内田裕市，金子佳生，閑田徹志ほか：コンクリートの破壊特性の試験方法に関 する調査研究委員会報告，コンクリート工学年次論文集，Vol. 23，No. 1，pp.19-28，2001.
12) 竹内則雄，草深守人，武田洋，佐藤一雄，川井忠彦：ペナルティを用いたハイブリッド型 モデルによる離散化極限解析，土木学会構造工学論文集，Vol. 46A，pp.261-270，2000.
13) Rashid, Y.R. : Ultimate strength analysis of prestressed concrete pressure vessels, Nuclear engineering and design, Vol.7, pp.334-344, 1968.
Technology, 1988.
15) 出雲淳一，申鉉穆，前川宏一，岡村甫：正負繰り返し面内応力下におけるRC板要素の解 析モデル，土木学会論文集，408号，V-11，pp.51-60，1989.
16) 前川宏一，福浦尚之：疑似直行2方向ひび割れを有する平面RC要素の空間平均化構成モ デルの再構築，土木学会論文集，No.634，Vol.45，pp.157-176，1999．
17) Maekawa, K., Okamura, H., Pimanmas, A. : Non-linear mechanics of reinforced concrete, CRC Press, 2003.
18) Bazant, Z.P. and Oh, B.H. : Crack band theory for fracture of concrete, in Materials and Structures (RILEM, Paris), Vol.16, No.93, pp.155-177, 1983.
19) Sato, Y. and Naganuma, K. : Discrete-like crack simulation by smeared crack-based FEM for reinforced concrete, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.36, pp.2137-2152, 2007.
20) Ngo, D. and A. C. Scordelis. : Finite element analysis of reinforced concrete beams, ACI Journal, Vol. 64, No. 3, pp.152-163, 1967.
21) Miehe, C. and Gürses, E. : A robust algorithm for configurational-force-driven brittle crack propagation with R-adaptive mesh alignment, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.72, pp.127-155, 2007.
22) Belytschko T and Black T. : Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.45, No.5, pp.601-620, 1999.
23) Möes, N. and Belytschko, T. : Extended finite element method for cohesive crack growth, Engineering fracture mechanics Vol.69, No.7, pp.813-833, 2002.
24) Unger, J. F., Eckardt, S. and Könke, C. : Modelling of cohesive crack growth in concrete structures with the extended finite element method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.196, No.41, pp.4087–4100, 2007.
25) Rabczuk, T. and Belytschko, T. : A three-dimensional large deformation meshfree method for arbitrary evolving cracks, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.196, No.29, pp.2777-2799, 2007.
26) Kawai, T. : New element models in discrete structural analysis，Journal of the Society of Naval Architects of Japan，No. 141, pp.174-180, 1977.
27) Cundall, P. A. : A computer model for simulating progressive large scale movements in blocky rock systems, Proceedings of the Symposium of the International Society of Rock Mechanics (Nancy，
France), Vol. 1, No. II-8, 1971.
28) Shi, G. H. and Goodman, R. E. : Generalization of two-dimensional discontinuous deformation
analysis for forward modeling, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol.13, No.4, pp.359-380, 1989.
29) 佐々木猛，大西有三，吉中龍之進：不連続変形法（DDA）とその岩盤工学への適用に関す る研究，土木学会論文集，No.493/Ⅲ-27，pp.11-20, 1994.
30) 伯野元彦：破壊のシミュレーション，森北出版，1997．
31) 竹内則雄：地盤力学における離散化極限解析，培風館，1991．
32) 竹内則雄，上田眞稔，上林厚志，鬼頭宏明ほか：鉄筋コンクリート構造の離散化極限解析 法，丸善，2005.
33) Gedik, Y. H., Nakamura, H., Yamamoto, Y., and Kunieda, M. : Evaluation of three-dimensional effects in short deep beams using a rigid-body-spring-model, Cement and Concrete Composites, Vol.33 (9–10), pp. 978–991, 2011.
34) 竹内則雄，大木裕久，上林厚志，草深守人：ハイブリッド型変位モデルにペナルティ法を 適用した離散化モデルによる材料非線形解析，日本計算工学会論文集 (Transactions of JSCES Paper No.20010002)，pp.53-62，2001.
35) 加藤勉，秋山宏，山内泰之：鋼材の応力－ひずみ履歴曲線に関する実験則，日本建築学会 大会学術講演梗概集，pp.937-938，1973．
36) 堺淳一，川島一彦：部分的な除荷・再載荷を含む履歴を表す修正Menegotto-Pintoモデルの 提案，土木学会論文集，No.738，I-64，pp.159-169，2003．
37) 山崎久雄，笠井和彦，小野喜信，金子洋文，貞末和史：繰り返し応力を受ける鋼材の曲線 履歴型モデル その1 解析モデルの概要，日本建築学会大会学術講演梗概集，pp.745-746，
2005．
38) Yamada, Y., Yoshimura, N., and Sakurai, T. : Plastic Stress–Strain matrix and its Application for the Solution of Elasto-Plastic Problem by a Finite Element Method, International Journal of Mechanical Sciences, Vol.10, pp. 343–354, 1968.
39) 竹内則雄，川井忠彦：すべり・接触・引張破壊を考慮した離散化極限解析法について，日 本鋼構造協会構造工学における数値解析法シンポジウム論文集，Vol.12，pp.311-316，1988．
40) 三橋博三，六郷恵哲，国枝稔：コンクリートのひび割れと破壊の力学，技報堂出版，第 1 版，2010．
41) 中村成春，橘高義典，三橋博三，内田裕市：コンクリートの引張軟化特性の標準試験方法 に関する基礎的検討，コンクリート工学論文集，第10巻，第1号，pp.151-164，1999.
42) Cornelissen, H. A. W., Hordijk, D. A. and Reinhardt, H. W. : Experiments and Theory for the
Fracture Energy of Concrete, pp.565-575, 1986.
43) Ratanalert, S. and Wecharatana, M. : Evaluation of the fictitious crack and two-parameter fracture models, Fracture Toughness and Fracture Energy : Test Methods for Concrete and Rock, Edited by Mihashi, H., Takahashi, H. and Wittmann, F.H., Balkema, pp.345-366, 1989.
44) Planas, J., Elices, M. and Toribio, J. : Approximation of cohesive crack models by R-TOD curves, Fracture of Concrete and Rock : Recent Developments, Edited by Shah, S.P., Swartz, S.E. and Barr, B., Elsevier Applied Science, pp.203-212, 1989.
45) Yon, J.H., Hawkins, N.M. and Kobayashi, A.S. : Strain-rate sensitivity of concrete mechanical properties, ACI Materials Journal, Vol.89, No.2, pp.146-153, March-April, 1992.
46) Gopalaratnam, V.S. and Shah, S.P. : Softening response of plain concrete in direct tension, ACI Journal, Vol.82, No.3, pp.310-323, May-June, 1985.
47) Duda, H. and König, G. : Rheological material model for the stress-crack-width relation of concrete under monotonic and cyclic tension, ACI Materials Journal, Vol.88, No.3, pp.278-287, May-June, 1991.
48) Hillerborg, A. : Stability problems in fracture mechanics testing, Fracture of Concrete and Rock : Recent Developments, Edited by Shah, S.P., Swartz, S.E. and Barr, B., Elsevier Applied Science, pp.369-378, 1989.
49) Yankelevsky, D. Z., and Reinhardt, H. W. : Uniaxial behavior of concrete in cyclic tension, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol.115, No.1, pp.166-182, 1989.
50) 竹内則雄，上田眞稔，鬼頭宏明，樋口晴紀，上林厚志：ボロノイ分割を用いたRBSMによ る無筋コンクリート梁の寸法効果解析，構造工学論文集，40，pp.519-527，1994．
51) 冨田充宏，田中志野：デローニ三角分割を用いた鉄筋コンクリートはりの解析，石川工業 高等専門学校紀要，Vol.38，pp.65-69，2006.
52) 谷口健男：FEMのための要素自動分割 デローニー三角分割法の利用，森北出版，1992.
53) Saenz, L.P. : Discussion of ‘Equation for the stress-strain curve of concrete’, by Desayi and Krishnan, Journal of the American Concrete Institute, Vol.61, No.9, pp.1229-1235, 1964.
54) Popovics, S. : A numerical approach to the complete stress-strain curve of concrete, Cement and concrete research, Vol.3, pp.583-599, 1973.
55) 谷川恭雄，畑中重光，小阪義夫：高ひずみ領域に至るまでのコンクリートの応力度-ひずみ 度曲線の表示式，セメント技術年報，Vol.34，pp.242-245，1980．
56) 石川裕次：高強度材料を用いた柱部材の復元力特性，東京大学学位論文，2002.11．
57) Sinha, B.P., Gerstle, K.H.. and Tulin, L.G. : Stress-strain relations for concrete under cyclic loading,
Journal of the American Concrete Institute, Vol.61, No.2, pp.195-211, 1964.
58) 小阪義夫，谷川恭雄：高圧縮ひずみ領域におけるコンクリートの履歴特性，日本建築学会 大会学術講演梗概集，構造系，pp.449-450, 1978.
59) Kupfer, H.., Hilsdorf, H. K. and Rusch, H. : Behavior of Concrete Under Biaxial Stresses, ACI Journal Proceedings, Vol. 66, No.8, pp.656-666, 1969.
60) 日本建築学会：鉄筋コンクリート構造計算基準・同解説，丸善，2010．
61) 岡村甫，前川宏一：鉄筋コンクリートの非線形解析と構成則，技報堂出版，1991．
62) 日本コンクリート工学会編：破壊力学の応用研究会報告書，（社）日本コンクリート工学会，
1993.
63) RILEM TC90-FMA, Committee on Applications of Fracture Mechanics of Concrete - Round-Robin Analysis of Anchor Bolts -, Preliminary Report, May, 1991.
64) Lun, C.C. : Observation of Crack Growth from Anchor Bolt by Laser Speckle Method and Application of Fracture Mechanics, Master Thesis of Asian Institute of Technology, March, 1990.
付録１ HPM の基礎方程式
付録１．１ 基礎方程式とハイブリッド法
HPMでは，式(2.2.1)に示すLagrange未定乗数を導入したハイブリッド型の仮想仕事式を用い ている．式(2.2.1)は次のように誘導される．
弾性問題の基礎方程式は，式(付1.1)～(付1.3)で与えられる．
in (付1.1)
(付1.2) (付1.3)
ここで， は Cauchy 応力テンソル， は単位体積当たりの物体力， はひずみテンソル， は 構成行列， は微分作用素， は の対称部分を表す． は変位ベクトル， は 付図 1.1 に示 すように 境界 で 囲ま れた領 域で ある ．ただ し，
であり， は変位が与えられる境界， は表面力
が与えられる境界で，以下の条件を満たしている．
(付1.4) (付1.5) ここで， は単位面積あたりの表面力であり， は境界 上の外向き法線ベクトルである．上 付きの ^ は既知量を表す．
付図 1.1 有界領域 と境界
式(付 1.1)に幾何学的境界条件を満たす仮想変位 を乗じて領域 について積分すると以下
の関係が得られる．
(付1.6)
ただし， 上で である．これに
(付1.7) なる関係とガウスの発散定理を用いると，次のような領域 に関する仮想仕事式が得られる．
(付1.8)
領域 は，付図1.2に示すように，閉境界 で囲まれたM個の部分領域 から構成されているものとする．すなわち，
ただし， (付1.9)
付図 1.2 部分領域
このとき，式(付1.8)の仮想仕事式は各部分の領域の和として以下のように表すことが出来る．
(付1.10)
付図1.3に示すように，辺 で隣接する2つの部分領域 と の共通の境界を とす ると， はつぎの条件を満たしている．
(付1.11)
付図 1.3 部分領域 と 間の境界
この境界 において付帯条件
(付1.12) を満たす必要がある．これを境界 におけるLagrange 未定乗数 を用いて，
(付1.13)
と表す．ただし， ならびに は，それぞれ部分領域 と における境界 上 の変位を表している． は の変分量を表している．隣接する2つの部分領域境界の辺の数 をN とし，式(付1.13)を仮想仕事式(付1.10)に導入すると，式(付1.14)に示す付帯条件を考慮し たハイブリッド型の仮想仕事式が得られる．これは，前出した式(2.2.1)と同じである．
(付1.14)
付録２ 係数行列の成分表示
付録２．１ 基礎方程式の成分表示
弾性問題の釣り合い方程式(付1.1)，応力－ひずみ関係式(付1.2)，ひずみ－変位関係式(付1.3) を成分表示すると，2次元平面応力問題の場合，それぞれ式(付2.1)，式(付2.2)，式(付2.3)と表 される．
(付2.1)
(付2.2)
ここで， はヤング係数， はポアソン比
(付2.3)
また，式(付1.5)の法線ベクトル および表面力 の成分は下式である．
(付2.4)
(付2.5)
以上より，領域 に関する仮想仕事式(付1.8)を成分表示すると，式(付2.6)で表される．
(付2.6)
付録２．２ 離散化方程式の成分表示
付図 2.1 に示すように，境界 で隣接する部分領域 ， の境界 上の変位を
， とすると，線形変位場 を表す式(2.2.7)より，それぞれ式(付2.7)，(付2.8)で 表される．
(付2.7) (付2.8) ここで， ， は剛体変位および剛体回転を表し， ， はそれぞれ部分領域 ， 内で一定なひずみを表す．また， ， ， ， は一時変位場を表す関数である．
上付きの ， はそれぞれ部分領域 ， に関するものであることを意味する．
付図 2.1 部分領域 と 間の境界 上の変位 ，
式(付2.7)，(付2.8)を成分表示すると，それぞれ式(付2.9)，(付2.10)と表される．ただし， ，
は境界 上の積分点の座標であり， ， は，自由度定義位置の座標である． ， は 自由度定義位置の剛体変位， は剛体回転を表しており， ， ， は，それぞれ部分領域 内で一定な値を持つ および 方向の垂直ひずみとせん断ひずみを表している．
(付2.9)
(付2.10)
境界 上の相対変位 は式(付2.11)（式(2.2.6)と同じ）で求められ，これを成分表示 したのが式(付2.12)である．
(付2.11)
(付2.12) ここに ， は，それぞれ境界 の法線方向および接線方向で定義される要素座標系に座 標変換するマトリックス ， の成分を表している．境界 が付図2.2のように 2 点 ， で定義されているとすると，部分領域 の境界 におけるt軸お よびn軸方向の単位ベクトル ， は下式となる．
(付2.13)
(付2.14)
ここに， (付2.15)
これより，座標変換マトリックス の成分は式(付2.16)となる．
(付2.16)
また，要素座標系は付図2.2のように隣接する要素で逆向きに定義しているので， は (付2.17) である．