x = θ − sin θ y = 1 − cos θ (0 ≦ θ ≦ 2π)

面積を求めなさい

x

y サイクロイド

x = θ − sin θ y = 1 − cosθ

(0 ≦ θ ≦ 2π) と x ^{軸で囲まれた部分} の面積を求めなさい。

x ^{の範囲は？} (x = θ − sin θ) 0 ≦ θ ≦ 2π ^のときの x ^{の範囲を求めよう。}

θ 0 2π x

0 2π

x ^{の範囲は？} (x = θ − sin θ) 0 ≦ θ ≦ 2π ^のときの x ^{の範囲を求めよう。}

θ 0 2π x

0 2π

θ = 0 のとき x = 0 − sin 0

= 0 − 0

= 0

x ^{の範囲は？} (x = θ − sin θ) 0 ≦ θ ≦ 2π ^のときの x ^{の範囲を求めよう。}

θ 0 2π x 0

2π

θ = 0 ^のとき x = 0 − sin 0

= 0 − 0

= 0

x ^{の範囲は？} (x = θ − sin θ) 0 ≦ θ ≦ 2π ^のときの x ^{の範囲を求めよう。}

θ 0 2π x 0

2π

θ = 2π^のとき x = 2π − sin 2π

= 2π − 0

= 2π

x ^{の範囲は？} (x = θ − sin θ) 0 ≦ θ ≦ 2π ^のときの x ^{の範囲を求めよう。}

θ 0 2π x 0 2π

θ = 2πのとき x = 2π − sin 2π

= 2π − 0

= 2π

y ^{の範囲は？} (y = 1 − cosθ) 問題を解くには関係ないが

0 ≦ θ ≦ 2π ^のとき、y ^の範囲は 0 ≦ y ≦ 2 ^と なる。だからグラフはつぎのようになる。

π 2π

1 2

x

サイクロイド x = θ − sinθ, y = 1 − cos θ

1 2

1−cosθ

0 2π_x

y 求める面積は x ^の範囲 0 2π ^で 1−cosθ ^を 積分すればよいので、答 えはこれだ。

∫ _2π

0

(1 − cos θ) dx

サイクロイド x = θ − sinθ, y = 1 − cos θ 後は

∫ _2π

0

(1 − cosθ)dx を計算するだけだ。

θ ^と dx だと計算できないので、計算しやすい θ にそろえるため x = θ − sinθ ^の両辺を θ ^で微 分する。

サイクロイド x = θ − sinθ, y = 1 − cos θ x = θ − sin θ ^を微分

dx

dθ = (θ − sin θ)^′ dx

dθ = (θ)^′ − (sin θ)^′ dx

dθ = 1 − cos θ

サイクロイド x = θ − sinθ, y = 1 − cos θ dx

dθ = 1 − cos θ

dx = (1 − cosθ)dθ ^となる。

だから =

∫ _2π

0

(1 − cos θ) dx

=

∫ 2π 0

(1 − cos θ)(1 − cos θ)dθ

サイクロイド x = θ − sinθ, y = 1 − cos θ

=

∫ _2π

0

(1 − cos θ)(1 − cos θ)dθ

=

∫ 2π 0

(1 − 2 cos θ + cos² θ)dθ 計算を続けるため、2 ^{倍角公式を変形した式} cos² θ = 1 + cos 2θ

2 を利用して

サイクロイド x = θ − sinθ, y = 1 − cos θ

=

∫ _2π

0

(

1 − 2 cos θ + 1 + cos 2θ 2

) dθ

=

∫ _2π

0

(

1 − 2 cos θ + 1

2 + cos 2θ 2

) dθ

サイクロイド x = θ − sinθ, y = 1 − cos θ

=

∫ _2π

0

(

1 − 2 cos θ + 1

2 + cos 2θ 2

) dθ

=

∫ _2π

0

(

1 − 2 cos θ + 1

2 + cos 2θ 2

) dθ

=

∫ _2π

0

( 3

2 − 2 cos θ + 1

2 cos 2θ )

dθ

サイクロイド x = θ − sinθ, y = 1 − cos θ

∫ 3

2 dθ = 3

2 θ + C

∫

cos θ dθ = sin θ + C

∫

cos 2θ dθ = 1

2 sin 2θ + C ^{を利用して}

（公式だと思ってよいです）

サイクロイド x = θ − sinθ, y = 1 − cos θ

=

∫ 2π 0

( 3

2 − 2 cosθ + 1

2 cos 2θ )

dθ

=

[ 3

2 θ − 2 sinθ + 1

2 · 1

2 sin 2θ

]2π 0

=

[ 3

2 θ − 2 sin θ + 1

4 sin 2θ

]2π 0

面積を求めなさい

=

[ 3

2 θ − 2 sin θ + 1

4 sin 2θ

]2π 0

=

( 3

2 · 2π − 2 sin 2π + 1

4 sin 2 · 2π )

−

( 3

2 · 0 − 2 sin 0 + 1

4 sin 0 )

面積を求めなさい

=

( 3

2 · 2π − 2 sin 2π + 1

4 sin 2 · 2π )

−

( 3

2 · 0 − 2 sin 0 + 1

4 sin 0 )

= (

3π − 2 · 0 + 1

4 · 0 )

− (0 − 0 + 0)

= 3π