平成 21 年度 九州大学２次試験後期日程 ( 数学問題 )150 分 理学部 ( 数学科 ) 3 月 12 日 数学 I ・ II ・ III ・ A ・ B ・ C
1 (1) 2 次の正方行列
A = Ã
cos
2θ cos θ sin θ cos θ sin θ sin
2θ
!
で表される移動 f によって点 P(1, k) は同じ点 P(1, k) に移るとする．た だし，0 < θ < π
2 とする．
(i) 点 P の y 座標 k を θ を用いて表せ．
(ii) 移動 f は，直線 y = kx 上の任意の点 (x, kx) を同じ点 (x, kx) に移す ことを示せ．
(iii) 移動 f は，直線 y = kx に垂直な直線 y = mx 上の点をすべて原点
(0, 0) に移すことを示せ．
(2) 2 次の正方行列 B で表される移動を g とする．この g によって，x 軸上の 任意の点は直線 y = 2x 上の点に移り，y 軸上の任意の点は直線 y = 3x 上 の点に移り，さらに直線 y = x 上の任意の点は直線 y = 5x 上の点に移る とする．このような行列 B をすべて求めよ．その中で特に点 C(1, 1) を点 D(−1, −5) に移す行列 B を決定せよ．
2 半径 1 の円 C の円周を n 等分した点 P1, · · · , P
nを順に結んでできる正 n 角形 を A
nとする．また，各 P
iにおける円 C の接線を考え，これらの接線の交点を 順に結んでできる正 n 角形で，円 C に外接するものを B
nとする．A
n，B
nの 面積をそれぞれ a
n，b
nとする．ただし，n = 3 とする．このとき，次の問いに 答えよ．
(1) a
n，b
nを求めよ．
(2) a
n= n
2b
nn
2+ b
n2，a
2n= √
a
nb
n， a
2nb
na
2n+ b
n= b
2n2 を示せ．
(3) a
6，b
6，a
12，b
12を計算し，b
12< 3.22 であることを示せ．
ただし， √
3 = 1.73205 · · · であることは使ってよい．
(4) 極限値 lim
n→∞
a
nと lim
n→∞
b
nを求めよ．
3 関数 y = f (x) は，すべての x に対して f (x) > 0 および (x2+ 1)f (x) =
Z
x0
½
t
2f
0(t) + 4t t
2+ 1 f (t)
¾ dt + 1 をみたすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) f
0(x) を f(x) を用いて表せ．
(2) 不定積分
Z f
0(x)
f (x) dx を計算し，それを利用して f(x) を求めよ．
(3) 関数 y = f(x) の極値を求めよ．
4 二者 A と B が対戦し，引き分けはないものとする．このとき，次の問いに答 えよ．
(1) 先に 4 勝した方が優勝するときめる．A が B に勝つ確率は 3
4 であるとき，
5 試合目までに A が優勝する確率を求めよ．
(2) 先に 4 勝した方が優勝するときめる．A が B に勝つ確率は 1
2 であるとき，
A が 4 勝 3 敗で優勝する確率と A が 4 勝 2 敗で優勝する確率の大小を比 べよ．
(3) 自然数 n と m が 1 5 m < n をみたしているとする．先に n 勝した方が優 勝するときめる．A が B に勝つ確率は 1
2 であるとき，A が n 勝 m 敗で優
勝する確率と A が n 勝 m − 1 敗で優勝する確率が同じであるようなすべ
ての組 (n, m) を求めよ．
解答例
1 (1) 行列 A = Ã
cos
2θ cos θ sin θ cos θ sin θ sin
2θ
!
の特性方程式は
λ
2− (cos
2θ + sin
2θ)λ + (cos
2θ· sin
2θ − cos θ sin θ· cos θ sin θ) = 0 すなわち λ
2− λ = 0 これを解いて λ = 0, 1
A − E = Ã
cos
2θ − 1 cos θ sin θ cos θ sin θ sin
2θ − 1
!
= Ã
− sin
2θ cos θ sin θ cos θ sin θ − cos
2θ
!
ベクトル Ã
1 k
!
は，A の固有値 1 に対するベクトルで，その 1 つのは Ã
cos θ sin θ
!
= cos θ Ã
1 tan θ
!
· · · ° 1
(i) ° 1 より k = tan θ (ii) 条件より，A
à 1 k
!
= Ã
1 k
!
であるから
xA Ã 1
k
!
= x à 1
k
!
すなわち A Ã x
kx
!
= Ã x
kx
!
よって，f により直線 y = kx 上の任意の点 (x, kx) は同じ点 (x, kx) に移る．
(iii) A Ã
− sin θ cos θ
!
= Ã
0 0
!
より，ベクトル Ã
− sin θ cos θ
!
は，A の固有値 0 に対する固有ベクトルで， ° 1 に垂直である．したがって，f によっ て，直線 y = mx 上の点をすべて原点に移す．
補足 A は対称行列であるから，固有値 0，1 に対する 2 つの固有ベクトル は垂直である
1．
7
を参照．(2) 題意より，実数 α，β を用いて B
à 1 0
!
= α Ã 1
2
! , B
à 0 1
!
= β Ã 1
3
!
· · · ° 1
上の 2 式から B Ã
1 1
!
= Ã
α + β 2α + 3β
!
· · · ° 2
このとき，点 (α + β, 2α + 3β) は，直線 y = 5x 上の点であるから 2α + 3β = 5(α + β) ゆえに 3α + 2β = 0
ここで，α = 2a，β = −3a とおくと (a は実数)， ° 1 より B
à 1 0 0 1
!
= Ã
α β
2α 3β
!
· · · ° 3
したがって B = Ã
2a −3a 4a −9a
!
(a は実数)
また，B によって点 C(1, 1) が点 (−1, −5) に移るから， ° 2 より Ã
α + β 2α + 3β
!
= Ã
−1
−5
!
これを解いて α = 2, β = −3
これを ° 3 に代入して B =
à 2 −3 4 −9
!
別解 Ã
2a −3a 4a −9a
!Ã 1 1
!
= Ã
−1
−5
!
であるから a = 1
よって B = Ã
2 −3 4 −9
!
2 (1) 2 つの面積 an
n および b
n2n は，下の図の部分の面積である．
O O
P
iP
i+1P
iP
i+1 2πn
π n
1 1
an
n bn
2n
したがって a
nn = 1
2 ·1
2sin 2π
n ， b
n2n = 1
2 ·1 tan π n よって a
n= n
2 sin 2π
n ， b
n= n tan π n (2) (1) の結果から
n
2b
nn
2+ b
n2= n
2·n tan π n n
2+ n
2tan
2π
n
= n tan π n 1 + tan
2π
n
= n sin π n cos π
n sin
2π
n + cos
2π n
= n
2 sin 2π n = a
n, a
nb
n= n
2 sin 2π
n ·n tan π
n = n sin π n cos n
π ×
n sin π n cos π
n
= n
2sin
2π n =
µ 2n
2 sin 2π 2n
¶
2= a
2n2, a
2nb
na
2n+ b
n= n sin π
n × n tan π n n sin π
n + n tan π n
= n sin π n cos π
n + 1 = 2n sin π
2n cos π
³ 2n
2 cos
2π 2n − 1
´ + 1
= n sin π 2n cos π
2n
= 1
2 ·2n tan π 2n = 1
2 b
2nn = 3 より，(1) の結果から a
n> 0，b
n> 0 よって a
n= n
2b
nn
2+ b
n2，a
2n= √
a
nb
n， a
2nb
na
2n+ b
n= b
2n2
(3) (1) の結果から
a
6= 6 2 sin 2π
6 = 3 √ 3
2 , b
6= 6 tan π
6 = 2 √ 3 さらに，(2) の結果より
a
12= p a
6b
6=
s 3 √
3 2 × 2 √
3 = 3,
b
12= 2a
12b
6a
12+ b
6= 2·3·2 √ 3 3 + 2 √
3 = 12 2 + √
3 = 12(2 − √ 3)
√ 3 = 1.73205 · · · であるから
b
12= 12(2 − √
3) < 12(2 − 1.732) = 3.216 < 3.22 (4) (1) の結果から
n→∞
lim a
n= lim
n→∞
n 2 sin 2π
n = lim
n→∞
π· sin
2πn2π n
= π·1 = π
n→∞
lim b
n= lim
n→∞
n tan π
n = lim
n→∞
π· sin
πnπ n
· 1
cos
πn= π·1· 1
1 = π
3 (1) (x2+ 1)f(x) = Z
x
0
½
t
2f
0(t) + 4t t
2+ 1 f (t)
¾
dt + 1 · · · (∗) (∗) の両辺を x について微分すると
2xf(x) + (x
2+ 1)f
0(x) = x
2f
0(x) + 4x x
2+ 1 f(x) 整理すると f
0(x) =
µ 4x
x
2+ 1 − 2x
¶ f (x) (2) f(x) > 0 より，(1) の結果から f
0(x)
f (x) = 4x
x
2+ 1 − 2x したがって
Z f
0(x) f(x) dx =
Z µ 4x
x
2+ 1 − 2x
¶ dx log f(x) = 2 log(x
2+ 1) − x
2+ log C ゆえに f (x) = C(x
2+ 1)
2e
−x2(C は積分定数)
(∗) に x = 0 を代入すると f (0) = 1 さらに上式より C = 1 よって f (x) = (x
2+ 1)
2e
`x2(3) (1) の結果から f
0(x) = − 2x(x + 1)(x − 1) x
2+ 1 f (x) f(x) > 0 により，f (x) の増減表は次のようになる．
x · · · −1 · · · 0 · · · 1 · · ·
f
0(x) + 0 − 0 + 0 −
f (x) % 極大 & 極小 % 極大 &
よって 極大値 f (−1) = f (1) = 4
e ，極小値 f (0) = 1
4 (1) A が B に勝つ確率が p のとき，A が B に対して x 勝 y 敗になる確率を P (x, y) とすると
P (x, y) =
x+yC
xp
x(1 − p)
y· · · (∗)
求める確率は，A が B に 4 連勝または 3 勝 1 敗の後に勝つ確率である．
p = 3
4 であるから，(∗) により µ 3
4
¶
4+ P (3, 1) × 3 4 =
µ 3 4
¶
4+
4C
3µ 3 4
¶
31 4 × 3
4
= µ 3
4
¶
4+
µ 3 4
¶
4= 81
128
(2) A が 4 勝 3 敗で優勝する確率は，A が B に 3 勝 3 敗の後に勝つ確率である．
p = 1
2 であるから，(∗) により P (3, 3) × 1
2 =
6C
3µ 1
2
¶
6× 1 2 = 5
32
A が 4 勝 2 敗で優勝する確率は，A が B に 3 勝 2 敗の後に勝つ確率である．
p = 1
2 であるから，(∗) により P (3, 2) × 1
2 =
5C
3µ 1
2
¶
5× 1 2 = 5
32
よって，A が 4 勝 3 敗で優勝する確率と A が 4 勝 2 敗で優勝する確率はと もに 5
32 で等しい．
(3) A が n 勝 m 敗で優勝する確率は，A が B に n − 1 勝 m 敗の後に勝つ確率 である．p = 1
2 であるから，(∗) により P (n − 1, m) × 1
2 =
m+n−1C
n−1µ 1
2
¶
m+n−1× 1 2
=
m+n−1C
n−1µ 1
2
¶
m+n· · · ° 1
A が n 勝 m − 1 敗で優勝する確率は，A が B に n − 1 勝 m − 1 敗の後に勝 つ確率である．p = 1
2 であるから，(∗) により P (n − 1, m − 1) × 1
2 =
m+n−2C
n−1µ 1
2
¶
m+n−2× 1 2
=
m+n−2C
n−1µ 1
2
¶
m+n−1· · · ° 2 1
° と ° 2 の確率は等しいので
m+n−1
