[ 東京工業大学 1994 年前期 2 ]
双曲線 xy= −2 をCとする。C上の点 2
, ( 0)
P t t t
⎛ − ⎞ ≠
⎜ ⎟
⎝ ⎠ を,原点を中心とし反時計回りに角 度θだけ回転した点をQとする。
(1) Qの座標をθとtで表せ。
(2) θを固定しPがC上を動くとき,Qはどのような曲線をえがくか。その方程式を求めよ。
(3) Qのえがく曲線が,点( 3 1,+ 3 1)− を通るようなθの値を0< <θ 2π の範囲ですべて求めよ。
(1) cos sin sin cos 2
t t
θ θ
θ θ
⎛ ⎞
⎛ − ⎞⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜− ⎟
⎝ ⎠⎜⎝ ⎟⎠
cos 2 sin
sin 2cos
t t
t t
θ θ
θ θ
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠
より Q tcos 2 sin , sint 2cos
t t
θ θ θ θ
⎛ ⎞
+ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2) Q( ,X Y) とおく。
cos 2 sin
sin 2cos X t
t Y t
t
θ θ
θ θ
⎧ = +
⎪⎪⎨
⎪ = −
⎪⎩
"
"
①
②
であり,
①×sinθ−②×cosθ : 2 sin cos
X Y
θ − θ = t …③
①×cosθ +②×sinθ:Xcosθ +Ysinθ =t …④
③,④より t を消去して,Qのえがく曲線は (Xsinθ−Ycosθ)(Xcosθ +Ysinθ)=2
(3) Qのえがく曲線が点( 3 1,+ 3 1)− を通るので
( ) ( )
{ 3 1 sin+ θ − 3 1 cos− θ}{( 3 1 cos+ ) θ +( 3 1 sin− ) θ}=2
( 3 1)( 3 1 cos) 2θ ( 3 1)( 3 1 sin) 2θ
− − + + − + +{( 3 1+ ) (2− 3 1− )2}cos sinθ θ =2
2 2
2 cos θ 2sin θ 4 3 sin cosθ θ 2
− + + =
2 2
cos θ 1 cos θ 2 3 sin cosθ θ 1
− + − + =
( )
cosθ cosθ − 3 sinθ =0
よって cosθ =0 または 1 tanθ = 3 0< <θ 2π より 7 3
, , ,
6 2 6 2
π π π π
θ =