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問題（「解析力学と相対論」から）
３次元極座標のニュートン方程式
ポテンシャルが
V
で与えられているときのニュートン方程式を極座標で表せ．ただし，極座 標への座標変換はx = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ (1)
で与えられる．
まず，極座標のパラメータへの変化方向の単位ベクトルを次のように定義する．
e
r≡ r r =
sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ
cos θ
, e
θ= ∂e
r∂θ =
cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ
− sin θ
, e
ϕ= ∂e
rsin θ∂ϕ =
− sin ϕ cos ϕ
0
(2)
これらは正規直行基底をなす．基底のパラメータによる微分は
∂e
θ∂θ = − e
r, ∂e
θ∂ϕ = cos θe
ϕ, ∂e
ϕ∂θ = 0 , ∂e
ϕ∂ϕ = − sin θe
r− cos θe
θ(3)
さらに，パラメータが時間によるとして基底の時間微分を計算するとe ˙
r= ˙ θ ∂e
r∂θ + ˙ ϕ ∂e
r∂ϕ = ˙ θe
θ+ ˙ ϕ sin θe
ϕ(4)
˙
e
θ= ˙ θ ∂e
θ∂θ + ˙ ϕ ∂e
ϕ∂ϕ = − θe ˙
r+ ˙ ϕ cos θe
ϕ(5) e ˙
ϕ= ˙ ϕ ∂e
ϕ∂ϕ = − ϕ(sin ˙ θe
r+ cos θe
θ) (6)
これらを使うと，極座標での位置ベクトルはx = re
r(7)
速度ベクトルは
˙ x = d
dt (re
r) = ˙ re
r+ r e ˙
r= ˙ re
r+ r θe ˙
θ+ r ϕ ˙ sin θe
ϕ(8)
加速度ベクトルはx ¨ = d
dt ( ˙ x) = d
dt ( ˙ re
r+ r θe ˙
θ+ r ϕ ˙ sin θe
ϕ)
= re ¨
r+ ˙ r( ˙ θe
θ+ ˙ ϕ sin θe
ϕ)
+ ˙ r θe ˙
θ+ r θe ¨
θ− r θ ˙
2e
r+ r θ ˙ ϕ ˙ cos θe
ϕ+ ˙ r ϕ ˙ sin θe
ϕ+ r ϕ ¨ sin θe
ϕ+ r ϕ ˙ θ ˙ cos θe
ϕ− r ϕ ˙
2sin θ(sin θe
r+ cos θe
θ)
= (¨ r − r θ ˙
2− r ϕ ˙
2sin
2θ)e
r+ (r θ ¨ + 2 ˙ r θ ˙ − r ϕ ˙
2sin θ cos θ)e
θ+ (r ϕ ¨ sin θ + 2 ˙ r ϕ ˙ sin θ + 2r θ ˙ ϕ ˙ cos θ)e
ϕ(9)
一方ポテンシャル項を求めるためには，極座標による勾配∇
が必要になる．座標変換の式から∂
∂r = ∂x
∂r
∂
∂x + ∂y
∂r
∂
∂y + ∂z
∂r
∂
∂z = ∂x
∂r · ∇ = e
r· ∇ (10)
2
同様に
∂
∂θ = ∂x
∂θ · ∇ = r ∂e
r∂θ · ∇ = re
θ· ∇ (11)
∂
∂ϕ = ∂x
∂ϕ · ∇ = r ∂e
r∂ϕ · ∇ = r sin θe
ϕ· ∇ (12)
よって，∇
の極座標基底の方向への成分がe
r· ∇ = ∂
∂r , e
θ· ∇ = ∂
r∂θ , e
ϕ· ∇ = ∂
r sin θ∂ϕ (13)
とわかる．つまり，
∇ = e
r∂
∂r + e
θ∂
r∂θ + e
ϕ∂
r sin θ∂ϕ (14)
である．よって，ニュートン方程式
m x ¨ = −∇ V (15)
を，極座標の基底の成分に分解すると極座標表示のニュートン方程式が求まる．
m(¨ r − r θ ˙
2− r ϕ ˙
2sin
2θ) = − ∂V
∂r m(r θ ¨ + 2 ˙ r θ ˙ − r ϕ ˙
2sin θ cos θ) = − ∂V r∂θ m(r ϕ ¨ sin θ + 2 ˙ r ϕ ˙ sin θ + 2r θ ˙ ϕ ˙ cos θ) = − ∂V
r sin θ∂ϕ (16)
babababababababababababababababababababab
このように，ニュートン方程式を極座標で書くと非常に複雑になる．ラグランジアンを 使った方法ではこの方程式が直接得られるわけなので，ラグランジュに感謝するべきだろ う．２次元の場合と同様に
ϕ
方向には角運動量が現れている．実際方程式はd
dt (m ϕr ˙
2sin
2θ) = − ∂V
∂ϕ (17)
と書くことができる．これは，ポテンシャル
V
がϕ
によらないならば（ϕ
が循環座標な らば）L
z= m ϕr ˙
2sin
2θ (18)
が保存することを意味する．
L
zは，z
軸周りの角運動量になっている．３次元極座標のラグランジアン
ポテンシャルが
V (r)
で与えられているときの粒子のラグランジアンを極座標で表せ．ただし，極座標への座標変換は
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ (19)
で与えられる．
速度ベクトルは
˙
x = ˙ re
r+ r θe ˙
θ+ r ϕ ˙ sin θe
ϕ(20)
3
で与えられ，基底ベクトルの直交性を使うと
