6
2
次実対称行列の直交行列による対角化
2 次の正方行列は平面から平面への線形変換を表す．特に，直交行 列は任意の図形をそれと合同な図形に移す． x，y の 2 次方程式の係数から構成されるような 2 次の実対称 行列の固有値は必ず実数である．さらに嬉しいことに，2 次の実対 称行列は必ず直交行列によって対角行列に変形される．このことを 利用すれば，x，y の 2 次方程式の係数から構成される実対称行列 の 2 つの固有値の符号を調べることによって，その 2 次方程式が 表す曲線が楕円の仲間であるか，双曲線の仲間であるか，放物線の 仲間であるかを判定できる．6.1
直交行列と合同変換
≪直交行列とは≫ tP P = P tP = I を満たす実正方行列 P を 直交行列 という． この条件は P の転置行列が P の逆行列であることを示す． ≪直交行列は合同変換を表す≫ たとえば，つぎの行列は 2 次の直交行列である． ( −1 0 0 1 ) , ( 1 0 0 −1 ) , ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) , ( cos θ sin θ sin θ − cos θ ) 左から順番に，y 軸に関する対称変換，x 軸に関する対称変換，原点のまわり に θ だけ回転する変換，x 軸に関する対称変換の後に原点のまわりに θ だけ回 転する変換を表す行列である．これらの例には，変換前後の図形が合同である という共通の性質があるが，実は，以下に示すように，すべての直交行列は任 意の図形を合同な図形に移す合同変換を表す．実際，P を直交行列，x，y を 任意のベクトルとすると 内積 (P x, P y) =t(P x)(P y) =tx(tP P )y =txy = (x, y) (6.1) である．ここで x = y としてみれば，直交行列はベクトルの長さを変えないこ とが分かる．さらに，2 つのベクトルの内積も変えないから，ベクトルがなす 角も変えない．これは直交行列がすべての図形を合同な図形に写像することを 意味している（Figure 6.1 参照）． θ x y θ′ , , Px = x Py = y θ′=θ P Py Px Figure 6.1: 直交行列は合同変換を表す6.2
正規直交系
≪直交行列の列ベクトルと行ベクトル≫ n 次の直交行列 P の第 j 列ベクトル を vj （j = 1, 2,· · · , n）とする：P = ( v1 v2 · · · vn ) ．すると， tP P = tv 1 tv 2 .. . tv n ( v1 v2 · · · vn ) = tv 1v1 tv1v2 · · · tv1vn tv 2v1 tv2v2 · · · tv2vn .. . ... . .. ... tv nv1 tvnv2 · · · tvnvn である．つまり，tP P の (i, j) 成分は v i と vj の内積 tvivj = (vi, vj) である． したがって，条件 tP P = I は 内積 (vi, vj) = { 1 (i = j) 0 (i̸= j) (6.2) を意味する．すなわち，v1，v2，· · · ，vn はすべて長さ 1 のベクトルであり，し かも，互いに直交してしている．このようなベクトルの組は 正規直交系 と呼 ばれる． つぎに，直交行列の行ベクトルの性質を調べよう．n 次直交行列 P の第 i 行ベクトルを ui （i = 1, 2,· · · , n）とする：P = u1 u2 .. . un ．すると， P tP = u1 u2 .. . un (t u1 tu2 · · · tun ) = u1tu1 u1tu2 · · · u1tun u2tu1 u2tu2 · · · u2tun .. . ... . .. ... untu1 untu2 · · · untun である．つまり，P tP の (i, j) 成分は u i と uj の内積 uituj = (ui, uj) である． したがって，条件 P tP = I は 内積 (ui, uj) = { 1 (i = j) 0 (i̸= j) (6.3) を意味する．すなわち，行ベクトル u1，u2，· · · ，un も正規直交系である．以 上より，直交行列の列ベクトル全体は正規直交系，行ベクトル全体も正規直交 系 であることが分かる． ≪ 2 次の直交行列の決定≫ 2 次の直交行列 P = ( p q r s ) をすべて求めよう． p2+ r2 = 1 より p = cos θ，r = sin θ となる θ が存在する．また，q2+ s2 = 1 より q = cos α，s = sin α となる α が存在する．P の第 1 列ベクトルと第 2 列 ベクトルは直交するからしたがって，α = θ±π
2 + 2nπ（n = 0,±1, ±2, · · · ）である．α = θ +
π
2 + 2nπ ならば，cos α = cos(θ + π
2) = − sin θ，sin α = sin(θ +
π 2) = cos θ より P = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) (6.4) である．一方，α = θ− π 2 + 2nπ ならば，cos α = cos(θ− π 2) = sin θ，sin α = sin(θ− π 2) = − cos θ より P は P = ( cos θ sin θ sin θ − cos θ ) = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( 1 0 0 −1 ) (6.5) となる． まとめ： 2 次の直交行列 2 次の直交行列は原点のまわりの回転変換を表す行列 (6.4) か座標軸に関す る対称移動と原点のまわりの回転変換の合成を表す行列 (6.5) のいずれかで ある． 課題６−１ ( 0.8 0.6 r s ) が直交行列になるように r，s の値を定めよ． 課題６−２ つぎの行列が直交行列であるか否かを判定せよ．また，直交行列 である場合には，適切な角 θ を使って (6.4) か (6.5) の形に書き直せ． (1) 1 2 (√ 3 1 1 √3 ) (2) 1 2 (√ 3 1 1 −√3 ) (3) 1 2 (√ 3 1 −1 √3 ) (4) 1 2 (√ 3 1 −1 −√3 ) (5) 1 2 ( −√3 1 1 √3 ) (6) 1 2 ( −√3 1 1 −√3 ) (7) 1 2 ( −√3 1 −1 √3 ) (8) 1 2 ( −√3 1 −1 −√3 ) (9) ( −1 0 0 −1 ) (10) ( 1 0 0 −1 ) (11) ( 0 1 −1 0 ) (12) ( 0 1 1 0 )
6.3
実対称行列の固有値と固有ベクトル
≪ 2 次の実対称行列の固有値≫ 2 次の実対称行列 A = ( a b b d ) の固有方程式 は，det(A− λI) = (λ − a)(λ − d) − b2 よりλ2− (a + d)λ + ad − b2 = 0 (6.6) となる．判別式は D = (a + d)2− 4ad + 4b2 = (a− d)2+ 4b2 ≥ 0 であるので， 固有値は実数である．判別式が 0 になるのは a = d，b = 0 の場合だけに限る． したがって，スカラー行列 A = ( a 0 0 a ) の固有値だけが重解になり，それ以外 の実対称行列は相異なる実固有値を持つ． ≪ 2 次の実対称行列の固有ベクトル≫ スカラー行列については，すべての非零 ベクトルが固有ベクトルであるから，たとえば，v1 = ( 1 0 ) ，v2 = ( 0 1 ) と選 べば，2 つの固有ベクトルが正規直交系になる． スカラー行列ではない 2 次の実対称行列 A の相異なる固有値を λ1，λ2，対 応する固有ベクトルをそれぞれ v1，v2 とする．すると， λ1(tv1v2) = (λ1tv1)v2 = t(λ1v1)v2 = t(Av1)v2 = (tv1tA)v2 = (tv 1A)v2 = tv1(Av2) = tv1(λ2v2) = λ2(tv1v2) (6.7) である．λ1 ̸= λ2 より，(6.7) はtv1v2 = 0，つまり，v1 と v2 が直交することを 意味する．したがって，正規直交系になるように 2 つの固有ベクトル v1，v2 を選ぶことができる．
6.4
実対称行列の対角化
≪ 2 次の実対称行列の回転行列による対角化≫ 2 次の実対称行列の固有ベクト ル v1，v2 は P = ( v1 v2 ) が直交行列になるように選べるだけではなく，−v2 も固有ベクトルであるから P = (v1 v2 ) が原点のまわりの回転を表すように できる．したがって，2 次の実対称行列は原点のまわりでの回転を表す回転行 列によって対角化できる． 例題６−１ つぎの実対称行列を回転行列によって対角化せよ． (1) ( 2 √3 √ 3 4 ) (2) ( 0 2 2 3 ) (3) ( 1 −1 −1 1 ) （解答例）各問に対して行列を A と書く． (1) 固有方程式 det(A− λI) = 2− λ √ 3 √ 3 4− λ = 0 を整理した (λ− 2)(λ − 4) − 3 = λ2− 6λ + 5 = (λ − 5)(λ − 1) = 0から，固有値 λ1 = 5，λ2 = 1 が得られる．λ1 = 5 に対応する固有ベクトルは A− λ1I = ( −3 √3 √ 3 −1 ) (1)/√3 −−−−→ (2)+(1) ( −√3 1 0 0 ) から v1 = 1 2 ( 1 √ 3 ) と選べる．係数 1 2 は |v1| = 1 にするためのものである． λ2 = 1 に対応する固有ベクトル v2 は，行基本変形 A− λ2I = ( 1 √3 √ 3 3 ) (2)−√3×(1) −−−−−−−→ ( 1 √3 0 0 ) から，v2 = 1 2 ( −√3 1 ) と選べる．係数 1 2 は |v1| = 1 とするためのもの である．以上より，A は原点のまわりでの回転行列 P = 1 2 ( 1 −√3 √ 3 1 ) = cosπ 3 − sin π 3 sinπ 3 cos π 3 によってtP AP = ( 5 0 0 1 ) と対角化される． (2) 固有方程式 det(A− λI) = −λ 2 2 3− λ = 0 を整理した −λ(3 − λ) − 4 = λ2− 3λ − 4 = (λ − 4)(λ + 1) = 0 から，固有値 λ1 = 4，λ2 =−1 が得られる．λ1 = 4 に対応する固有ベクトルは A− λ1I = ( −4 2 2 −1 ) (1)/2 −−−−→ (2)+(1) ( −2 1 0 0 ) から，v1 = 1 √ 5 ( 1 2 ) と選べる．係数 √1 5 は|v1| = 1 とするためのものである． λ2 =−1 に対応する固有ベクトル v2 は，行基本変形 A− λ2I = ( 1 2 2 4 ) (2)−2×(1) −−−−−−→ ( 1 2 0 0 ) から，v2 = 1 √ 5 ( −2 1 ) と選べる．係数 √1 5 は|v1| = 1 とするためのものである． 以上より，A は原点のまわりでの回転行列 P = √1 5 ( 1 −2 2 1 ) = ( cos α − sin α sin α cos α ) によってtP AP = ( 4 0 0 −1 ) と対角化される．ここに α は cos α = √1 5，sin α =
2 √ 5 を満たす角度である． (3) 固有方程式 det(A− λI) = 1− λ −1 −1 1− λ = 0 を整理した (λ− 1)2− 1 = λ2− 2λ = λ(λ − 2) = 0 から，固有値 λ1 = 2，λ2 = 0 が得られる．λ1 = 2 に対応する固有ベクトル v1 は，行基本変形 A− λ1I = ( −1 −1 −1 −1 ) (2)−(1) −−−−−→ (1)×(−1) ( 1 1 0 0 ) から，v1 = 1 √ 2 ( 1 −1 ) と選べる．係数 √1 2 は |v1| = 1 とするためのものであ る．λ2 = 0 に対応する固有ベクトル v2 は，行基本変形 A− λ1I = ( 1 −1 −1 1 ) (2)+(1) −−−−→ ( 1 −1 0 0 ) から，v2 = 1 √ 2 ( 1 1 ) と選べる．係数 √1 2 は |v1| = 1 とするためのもの である．以上より，A は原点のまわりでの回転行列 P = √1 2 ( 1 1 −1 1 ) = cos ( −π 4 ) − sin(−π 4 ) sin ( −π 4 ) cos ( −π 4 ) によってtP AP = ( 2 0 0 0 ) と対角化される． 課題６−３（ＴＡチェック） つぎの実対称行列を回転行列によって対角化せよ． ( 7 −3√3 −3√3 13 ) 課題６−４（ＴＡチェック） つぎの実対称行列を回転行列によって対角化せよ． ( 0 1 1 0 ) 課題６−５（ＴＡチェック） つぎの実対称行列を回転行列によって対角化せよ． ( 1 2 2 4 )
6.5
x
の
2
次方程式が表す図形
≪ x の 2 次方程式≫ はじめに x の 2 次方程式 ax2+ 2bx + c = 0 (a̸= 0) (6.8) が表す図形を考える．ここに，(6.8) が表す図形とは (6.8) を満たす点の集合， つまり (6.8) の実数解全体のことである．いうまでもなく，(6.8) を満たす点は， 判別式 D = b2 − ac が正ならば 2 つ，D = 0 ならば 1 つあり，D < 0 のとき は 1 つもない． 2 次方程式が表す図形の係数への依存性は，簡単な例 x2+ c = 0 (6.9) の場合にはつぎのようになる． • c < 0 ならば (6.9) を満たすのは x = −√−c と x =√−c の 2 点である． この範囲で c が 0 に近づくにつれて 2 点はしだいに近づく． • c = 0 で 2 点は原点で合体して 1 点になる． • c > 0 に対しては (6.9) を満たす点は存在しない． ≪空集合≫ 要素が何もない集合を空集合という．c > 0 の場合，(6.9) の左辺は 常に正であり，右辺は 0 である．したがって，(6.9) を満たす実数 x は 1 つも 存在しないので，この方程式が表す図形は空集合であるという．6.6
交差項
xy
の係数が
0
である
2
次方程式が表す曲線
≪ 2 次曲線≫ xy 平面において x と y の 2 次方程式 ax2 + 2bxy + cy2+ dx + ey + f = 0 (6.10) が表す図形を 2 次曲線 という．ここに，a，b，c，d，e，f はすべて定数であ り，2 次の項の係数 a，b，c の少なくとも 1 つは 0 ではない． 課題６−６ xy 平面上の 2 次曲線を表す一般式は (6.10) である．つぎの例に ついて，a∼ f の値を求めよ．ただし，α，β は正の定数である． (1) x 2 α2 + y2 β2 = 1 (2) x2 α2 + y2 β2 = 0 (3) x2 α2 + y2 β2 =−1 (4) x 2 α2 − y2 β2 = 1 (5) x2 α2 − y2 β2 = 0 (6) x2 α2 = 1 (7) x 2 α2 = 0 (8) x2 α2 =−1 (9) x2 α2 = y≪交差項 xy の係数が 0 である 2 次方程式≫ 課題６−６の例のように xy の 係数が 0 の場合 ax2+ cy2 + dx + ey + f = 0 (6.11) について，2 次方程式が表す図形を考えよう．(6.11) とこれに −1 を掛けた 2 次方程式は同じ図形を表す．また，x と y を交換した 2 次方程式は合同な図形 を表す．したがって，a > 0 であると考えてよいので，(6.11) は本質的にはつ ぎの 3 つに類別される． 楕 円 (E) 型： a > 0, c > 0 双曲線 (H) 型： a > 0, c < 0 放物線 (P) 型： a > 0, c = 0 課題６−７ 課題６−６の 2 次方程式が楕円 (E) 型，双曲線 (H) 型，放物線 (P) 型のいずれかであるかを判定せよ． ≪楕円とその仲間たち：１つの例≫ 楕円型の例として，第１章の (1.2) で扱った 5x2+ y2− 10x + 2y + f = 0 (6.12) を再び取り上げる．これを x，y の両方について平方完成して，整理すれば 5(x− 1)2+ (y + 1)2 = 6− f ⇔ (x − 1)2+(y + 1) 2 5 = 6− f 5 となる．したがって，(6.12) は • f = −9 のとき楕円（Figure 6.2 の左上）を表す． • f < 6 の範囲では楕円を表す．この範囲で f が 6 に近づくにつれて長径 も短径も小さくなる． • f = 6 では 1 点 ( 1 −1 ) を表す． • f > 6 のときには空集合を表す． 一般の楕円型については ≪楕円 (E) 型の 2 次方程式が表す図形≫ を参照せよ． ≪双曲線とその仲間たち：１つの例≫ 双曲線型の例として 4x2− y2+ 8x + 2y + f = 0 (6.13) を取り上げる．これを x，y の両方について平方完成して，整理すれば 4(x + 1)2− (y − 1)2 = 3− f ⇔ (x + 1)2− (y− 1) 2 4 = 3− f 4 となる．したがって，(6.13) は
• f = 1 のとき双曲線（Figure 6.2 の右上）を表す． • f < 3 の範囲では x 軸方向に開いた双曲線を表す．この範囲で f が 3 に 近づくにつれて双曲線は 2 本の漸近線に近づく． • f = 3 のとき漸近線（Figure 6.2 左下）を表す． • f > 3 の範囲では y 軸方向に開いた双曲線を表す． 一般の双曲線型については≪双曲線 (H) 型の 2 次方程式が表す図形≫ を参照 せよ． 㸦᭤⥺㸧 㸦ᴃ㸧 㸦ᕪࡍࡿ┤⥺㸧 㸦ᨺ≀⥺㸧 2 2 ( 1) ( 1) 3 5 y x + − + = 2 2 ( 1) 1 ( 1) 4 2 y x − + − = 2 2 ( 1) ( 1) 0 4 y x − + − = 2 ( 1) 3 y = x+ − Figure 6.2: 典型的な 2 次曲線 ≪放物線とその仲間たち：１つの例≫ 放物線型の例として 2x2 + 4x + ey− 4 = 0 (6.14) を考える．これを x について平方完成して，整理すれば (−e)y = 2(x + 1)2− 6 となる．したがって，(6.14) は • e = −2 のとき放物線（Figure 6.2 の右下）を表す．
• e < 0 の範囲では下に凸の放物線を表す．この範囲で e が 0 に近づくに つれて放物線は平行な 2 直線 (x + 1)2 = 3 に近づく． • e = 0 のとき平行な 2 直線 (x + 1)2 = 3 を表す． • e > 0 の範囲では上に凸の放物線を表す． 一般の放物線型については ≪放物線 (P) 型の 2 次方程式が表す図形≫ を参照 せよ． ≪楕円 (E) 型の 2 次方程式が表す図形≫ 一般の楕円型を考えよう．(6.11) に おいて a > 0，c > 0 としてよい．(6.11) を平方完成すれば a ( x + d 2a )2 + c ( y + e 2c )2 = d 2 4a + e2 4c − f (a > 0, c > 0) となる．ここで，x1 =− d 2a，y1 =− e 2c，p = d2 4a + e2 4c − f 置けば a(x− x1)2+ c(y− y1)2 = p (a > 0, c > 0) と整理され，p の符号によりつぎのように分類される．． p > 0 ⇒ (x− x1) 2 α2 + (y− y1)2 β2 = 1 （楕円）( α =√p/a, β =√p/c ) p = 0 ⇒ (x− x1) 2 α2 + (y− y1)2 β2 = 0 （1 点）( α =√1/a, β =√1/c ) p < 0 ⇒ (x− x1) 2 α2 + (y− y1)2 β2 =−1 （空集合）( α =√−p/a, β =√−p/c ) (6.15) ≪双曲線 (H) 型の 2 次方程式が表す図形≫ 次に一般の双曲線型を考えよう． (6.11) において a > 0，c < 0 としてよい．(6.11) を平方完成すれば a ( x + d 2a )2 + c ( y + e 2c )2 = d 2 4a + e2 4c − f (a > 0, c < 0) となる．ここで，x1 =− d 2a，y1 =− e 2c，p = d2 4a + e2 4c − f と置けば a(x− x1)2− (−c)(y − y1)2 = p (a > 0, −c > 0) と整理され，p の符号によりつぎのように分類される．
p > 0 ⇒ (x− x1) 2 α2 − (y− y1)2 β2 = 1 （x 軸方向に開いた双曲線） ( α =√p/a, β =√−p/c ) p = 0 ⇒ (x− x1) 2 α2 − (y− y1)2 β2 = 0 （交差する 2 直線） ( α =√1/a, β =√−1/c ) p < 0 ⇒ (y− y1) 2 β2 − (x− x1)2 α2 = 1 （y 軸方向に開いた双曲線） ( α =√−p/a, β =√p/c ) (6.16) ≪放物線 (P) 型の 2 次方程式が表す図形≫ 一般の放物線型を考えよう．(6.11) で a > 0，c = 0 としてよい．a > 0 を利用すれば (6.11) は a ( x + d 2a )2 + ey = d 2 4a − f (a > 0) と平方完成される．ここで，x1 =− d 2a，p = d2 4a − f と置けば a(x− x1)2+ ey = p (a > 0) と整理され，e が 0 であるか否かと p の符号によりつぎのように分類される． e = 0, p > 0 ⇒ (x− x1) 2 α2 = 1 （平行な 2 直線）( α =√p/a ) e = 0, p = 0 ⇒ (x− x1) 2 α2 = 0 （1 直線）( α =√1/a ) e = 0, p < 0 ⇒ (x− x1) 2 α2 =−1 （空集合）( α =√−p/a ) e̸= 0 ⇒ y = p e − a e(x− x1) 2 （放物線） (6.17) 以上に示したように，交差項 xy の係数が 0 である 2 次方程式は，必要な らば両辺に−1 を掛けたり，変数 x と y を交換したりし，適切な平方完成をす れば，標準形と呼ばれる (6.15)，(6.16)，(6.17) のいずれかに変形できる．
課題６−８（ＴＡチェック） つぎの 2 次方程式を標準形に変形し，どのよう な 2 次曲線を表すか判定せよ． (1) 9− x2− 4y2+ 4x + 24y = 0 (2) 28− x2+ 4y2+ 4x + 24y = 0 (3) x− 4y2+ 24y− 31 = 0 (4) 13− 4y2− 24y = 0 まとめ： 交差項の係数が 0 である 2 次方程式が表す図形 交差項 xy の係数が 0 である 2 次方程式 ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0 （|a| + |c| > 0）が表す図形はつぎの通りである． (E) ac > 0 ならば，楕円，1 点，または，空集合 (H) ac < 0 ならば，双曲線，または，交差する 2 直線 (P) ac = 0 ならば，放物線，平行な 2 直線，1 直線，または，空集合
6.7
一般の
2
次曲線
≪一般の 2 次方程式が表す 2 次曲線≫ x，y の 2 次方程式 (6.10) は 2 次の実 対称行列 A = ( a b b c ) ，1× 2 実行列 B =(d e)，実数 f を用いて ( x y)A ( x y ) + B ( x y ) + f = 0 (6.18) の形に書くことができる．また，A は回転を表す行列 P = ( p −q q p ) （p = cos θ， q = sin θ） によって tP AP = ( λ1 0 0 λ2 ) , λ1, λ2 : A の固有値 と対角化されることを学んだ．そこで，(6.10) ≡ (6.18) の x，y に変数変換 ( x y ) = P ( u v ) (6.19) を施すと，(6.10) ≡ (6.18) は (6.18) ⇔ (u v)tP AP ( u v ) + BP ( u v ) + f = 0 ⇔ (u v) (λ1 0 0 λ2 ) ( u v ) + BP ( u v ) + f = 0を経て，交差項 uv の係数が 0 である u，v の 2 次方程式 λ1u2+ λ2v2+ (dp + eq)u + (−dq + ep)v + f = 0 (6.20) に変換される．直交行列は合同変換を表すから，u，v の 2 次方程式 (6.20) が 表す 2 次曲線は x，y の 2 次方程式 (6.10) ≡ (6.18) が表す 2 次曲線と合同で ある．実際，直交行列 P を原点のまわりの θ だけの回転を表す行列として選 んだから，(6.20) が定める uv 平面上の図形を原点のまわりの θ だけの回転し たものが (6.10)≡ (6.18) によって定まる xy 平面上の図形となる． まとめ： 2 次方程式が表す図形 実対称行列 ( a b b c ) （|a| + |b| + |c| > 0） の固有値を λ1，λ2 とする．2 次 方程式 ax2+ 2bxy + cy2+ dx + ey + f = 0 が表す図形はつぎの通りである． (E) λ1λ2 > 0 ならば，楕円，1 点，または，空集合 (H) λ1λ2 < 0 ならば，双曲線，または，交差する 2 直線 (P) λ1λ2 = 0 ならば，放物線，平行な 2 直線，1 直線，または，空集合 ≪楕円とその仲間たち≫ 楕円とその仲間たちを表す 2 次方程式の例を提供しよ う． 例題６−２ つぎの 2 次方程式を標準形に変形し，どのような 2 次曲線を表 すか判定せよ． (1) 2x2+ 2√3xy + 4y2− (5 +√3)x + (1− 5√3)y− 9 = 0 (2) 2x2+ 2√3xy + 4y2− (5 +√3)x + (1− 5√3)y + 6 = 0 (3) 2x2+ 2√3xy + 4y2− (5 +√3)x + (1− 5√3)y + 11 = 0 （解答例）A = ( 2 √3 √ 3 4 ) ，B = (−(5 +√3) 1− 5√3) と置けば，どの方 程式も ( x y)A ( x y ) + B ( x y ) + f = 0 と表現される．(1) なら f = −9，(2) なら f = 6，(3) なら f = 11 であ
る. 例題６−１ (1) によれば A は原点のまわりでの π/3 回転を表す行列 P = 1 2 ( 1 −√3 √ 3 1 ) によって tP AP = ( 5 0 0 1 ) と対角化される． 変数変換 ( x y ) = P ( u v ) を施せば， BP =(−(5 +√3) 1− 5√3) 1 2 ( 1 −√3 √ 3 1 ) =(−10 2) であるから，変換後の 2 次方程式は 5u2+ v2− 10u + 2v + f = 0 ⇔ 5(u − 1)2+ (v + 1)2 = 6− f (6.21) となる．したがって，(1) は楕円を，(2) は 1 点 ( 1 −1 ) を，(3) は空集合を表す． f =−9 のときの (6.21) (u− 1)2+(v + 1) 2 5 = 3 が表す楕円を Figure 6.3 左側に示す．これを原点のまわりで π/3 回転したもの が (1) で定まる xy 平面上の楕円（Figure 6.3 右側）である． π/3 回転
O
u
v
O
y
x
Figure 6.3: (1) が定める楕円：左は uv 平面上，右は xy 平面上 課題６−９ つぎの 2 次方程式を標準形に変形し，どのような 2 次曲線を表 すか判定せよ（課題６−３参照のこと）． (1) 7x2− 6√3xy + 13y2+ 4√3x + 4y− 12 = 0 (2) 7x2− 6√3xy + 13y2+ 4√3x + 4y + 4 = 0 (3) 7x2− 6√3xy + 13y2+ 4√3x + 4y + 5 = 0≪双曲線とその仲間たち≫ 双曲線とその仲間たちを表す 2 次方程式の例を提供 しよう． 例題６−３ つぎの 2 次方程式を標準形に変形し，どのような 2 次曲線を表 すか判定せよ． (1) 4xy + 3y2+√4 5x + 18 √ 5y + 1 = 0 (2) 4xy + 3y2+√4 5x + 18 √ 5y + 3 = 0 (3) 4xy + 3y2+√4 5x + 18 √ 5y + 5 = 0 （解答例）A = ( 0 2 2 3 ) ，B = ( 4 √ 5 18 √ 5 ) と置けば，どの方程式も ( x y)A ( x y ) + B ( x y ) + f = 0 と表現される．(1) なら f = 1，(2) なら f = 3，(3) なら f = 5 である. 例 題６−１ (2) によれば A は原点のまわりでの回転行列 P = √1 5 ( 1 −2 2 1 ) = ( cos α − sin α sin α cos α ) によって tP AP = ( 4 0 0 −1 ) と対角化される．ここに α は cos α = √1 5，sin α = 2 √ 5 を満たす角度である． 変数変換 ( x y ) = P ( u v ) を施せば， BP = ( 4 √ 5 18 √ 5 ) 1 √ 5 ( 1 −2 2 1 ) =(8 2) であるから，変換後の 2 次方程式は 4u2− v2+ 8u + 2v + f = 0 ⇔ 4(u + 1)2− (v − 1)2 = 3− f (6.22) となる．したがって，(1)，(3) は双曲線を，(2) は交差する 2 直線を表す． f = 1 のときの (6.22) は (u + 1)2−(v− 1) 2 4 = 1 2 となるが，これが表す双 曲線を Figure 6.4 左側に示す．これを原点のまわりで α 回転したものが (1) で 定まる xy 平面上の双曲線（Figure 6.4 右側）である． f = 3 のときの (6.22) は (u + 1)2− (v− 1) 2 4 = 0 となるが，これが表す交 差する 2 直線を Figure 6.5 左側に示す．これを原点のまわりで α 回転したも のが (2) で定まる xy 平面上の交差する 2 直線（Figure 6.5 右側）である．
f = 5 のときの (6.22) は (v− 1) 2 4 − (u + 1) 2 = 1 2 となるが，これが表す双 曲線を Figure 6.6 左側に示す．これを原点のまわりで α 回転したものが (3) で 定まる xy 平面上の双曲線（Figure 6.6 右側）である． α 回転
O
u
O
v
y
x
1
cos
5
α =
2
sin
5
α =
Figure 6.4: (1) が定める双曲線：左は uv 平面上，右は xy 平面上 α 回転O
u
O
v
y
x
1
cos
5
α =
2
sin
5
α =
Figure 6.5: (2) が定める交差する 2 直線：左は uv 平面上，右は xy 平面上 α 回転O
u
O
v
y
x
1
cos
5
α =
2
sin
5
α =
Figure 6.6: (3) が定める双曲線：左は uv 平面上，右は xy 平面上 課題６−１０ つぎの 2 次方程式を標準形に変形し，どのような 2 次曲線を 表すか判定せよ（課題６−４参照のこと）． (1) 2xy + 4√2x + 2√2y + 7 = 0 (2) 2xy + 4√2x + 2√2y + 8 = 0 (3) 2xy + 4√2x + 2√2y + 9 = 0≪放物線とその仲間たち≫ 放物線とその仲間たちを表す 2 次方程式の例を提供 しよう． 例題６−４ つぎの 2 次方程式を標準形に変形し，どのような 2 次曲線を表 すか判定せよ． (1) x2+ y2− 2xy + 2√2x− 2√2y = 0 (2) x2+ y2− 2xy + 2√2x− 2√2y + 2 = 0 (3) x2+ y2− 2xy + 2√2x− 2√2y + 4 = 0 (4) x2+ y2− 2xy +√2x− 3√2y− 4 = 0 （解答例）A = ( 1 −1 −1 1 ) ，B =(2√2 −2√2) と置けば，(1)，(2)，(3) は ( x y)A ( x y ) + B ( x y ) + f = 0 と表現される．(1) なら f = 0，(2) なら f = 2，(3) なら f = 4 である. 例題６− １ (3) によれば A は原点のまわりでの−π/4 回転を表す行列 P = √1 2 ( 1 1 −1 1 ) によって tP AP = ( 2 0 0 0 ) と対角化される． 変数変換 ( x y ) = P ( u v ) を施せば， BP =(2√2 −2√2) 1√ 2 ( 1 1 −1 1 ) =(4 0) であるから，変換後の 2 次方程式は 2u2+ 4u + f = 0 ⇔ 2(u + 1)2 = 2− f ⇔ (u + 1)2 = 1− f/2 (6.23) となる．したがって，(6.23) は，f = 0 のときは平行な 2 直線 u =−2，u = 0， f = 2 のときは 1 直線 u =−1，f = 4 のときは空集合を表す． (1)，(2)，(3) の場合と同じ 2 次実対称行列 A を用い，B = (√2 −3√2)， f =−4 と置けば (4) も ( x y)A ( x y ) + B ( x y ) + f = 0
と表現される．変数変換 ( x y ) = P ( u v ) を施せば， BP =(√2 −3√2) 1√ 2 ( 1 1 −1 1 ) =(4 −2) であるから，変換後の 2 次方程式は 2u2 + 4u− 2v − 4 = 0 ⇔ 2(u + 1)2− 2v = 6 ⇔ (u + 1)2− v = 3 (6.24) となる．したがって，(4) は放物線を表す．この放物線を Figure 6.7 左側に示 す．これを原点のまわりで −π/4 回転したものが (4) で定まる xy 平面上の放 物線（Figure 6.7 右側）である．
