§ 8. 重積分と累次積分
1変数函数y=f(x)の区間[a, b]での積分：
a b
y =f(x)
x S+
S
S+：y=f(x)のグラフの正の部分とx軸が囲む面積 S ：y=f(x)のグラフの負の部分とx軸が囲む面積 とすると，
Z b a
f(x)dx=S+ S であった．
2変数函数z=f(x, y)の領域Dでの重積分：
（下図では赤円の内部または周が積分領域D） V+ V
V+：z =f(x, y)のグラフのz >0の部分とxy平面が囲む体積 V ：z =f(x, y)のグラフのz <0の部分とxy平面が囲む体積 とすると，
ZZ
D
f(x, y)dxdy:=V+ V ．
1. 長方形領域での積分
D:={(x, y) ; a5x5b, c5y 5d}を長方形領域といい，D= [a, b]⇥[c, d]とい うように表す．長方形領域での重積分を考えよう．
(1) f(x, y)=0のとき．重積分 ZZ
D
f(x, y)dxdyは，立体図形 (x, y, z) ; (x, y)2D, 05z 5f(x, y) の体積である．これはz軸の上下に無限に延びる直方体
{(x, y, z) ; (x, y)2D, zは任意}
を，下面はxy平面で，上面は曲面z =f(x, y)でカットしたもの1．
1焼きたての，まだスライスしていない，山切り食パンを連想すればよい．
1
平面x =tで切ったときの切り口の面積（断面積）
z=f(t, y)
x t y
c d をS(t)とすると，
ZZ
D
f(x, y)dxdy= Z b
a
S(t)dt． S(t) =
Z d c
f(t, y)dyであるから，結局 ZZ
D
f(x, y)dxdy = Z b
a
✓Z d c
f(x, y)dy
◆
dx （積分変数のtをxに書き換えた）．
今度は，求める体積を平面y=sによる断面積の積分と考えると ZZ
D
f(x, y)dxdy= Z d
c
✓Z b a
f(x, y)dx
◆ dy
(2) 以上の議論はf(x, y)<0のところがあっても，負の面積を考えればよいだけな ので，結局D= [a, b]⇥[c, d]のときは，
ZZ
D
f(x, y)dxdy=
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee Z b
a
✓Z d c
f(x, y)dy
◆ dx=
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee Z d
c
✓Z b a
f(x, y)dx
◆ dy.
波下線部の積分を累次積分あるいは逐次積分と呼ぶ．一々括弧をつけて書くのは面 倒なので，括弧を省略して，それぞれ
Z b a
Z d c
f(x, y)dydx,
Z d c
Z b a
f(x, y)dxdy
と書くことも多い．それぞれにおいて，dxとdyの順番に注意．括弧を略しただけ という約束なので，内側の積分から順に実行することになる．
例題 8.1. I = ZZ
D
(x+ 2y)2dxdy，ただしD:= [ 0, 1 ]⇥[ 0, 1 ]． 解. 累次積分に書き直すと
I = Z 1
0
✓Z 1 0
(x+ 2y)2dx
◆ dy=
Z 1 0
h (x+ 2y)3 3
i1
x=0dy = Z 1
0
(1 + 2y)3 (2y)3
3 dy
= Z 1
0
⇣4y2+ 2y+ 1 3
⌘dy=· · · · ちなみにyで先に積分すると
I = Z 1
0
✓Z 1 0
(x+ 2y)2dy
◆ dx=
Z 1 0
h (x+ 2y)3 6
i1
y=0dx= Z 1
0
(x+ 2)3 x3
6 dx
= Z 1
0
⇣x2+ 2x+ 4 3
⌘dx=· · · ·（同じ値になる）．
2
2. 長方形領域以外の領域での積分
D:={(x, y) ; x=0, y =0, 2x+y52}のときのI :=
ZZ
D
f(x, y)dxdy． (1) 平面x=tによる断面積をS(t)とすると，
1 2 x=t
t 2 2t
x y
O
S(t) =
Z 2 2t 0
f(t, y)dy したがって，I =
Z 1 0
S(t)dt．すなわち ZZ
D
f(x, y)dxdy = Z 1
0
✓Z 2 2x
0
f(x, y)dy
◆ dx．
(2) 一方，平面y=uによる断面積をV(u)とすると，
1 2
y =u 1 u2 u
x y
O
V(u) = Z 1 u2
0
f(x, u)dx したがって，I =
Z 2 0
V(u)du．すなわち ZZ
D
f(x, y)dxdy = Z 2
0
✓Z 1 y2 0
f(x, y)dx
◆ dy． 計算(1)では，D ={(x, y) ; 05x51, 05y52 2x}と見ていて，
計算(2)では，D =n
(x, y) ; 05y 52, 05x51 y 2
oと見ている．
•D={(x, y) ; a5x5b, '(x)5y5 (x)}のとき， y = (x)
y='(x)
a x
b ZZ
D
f(x, y)dxdy = Z b
a
✓Z (x) '(x)
f(x, y)dy
◆ dx．
•D={(x, y) ; c5y5d, '(y)5x5 (y)}のとき，
x= (y) x='(y)
c y ZZ d
D
f(x, y)dxdy = Z d
c
✓Z (y) '(y)
f(x, y)dx
◆ dy．
例題 8.2. D：x= 2，y=x，xy= 1によって囲まれる領域．
I = ZZ
D
x2y dxdyの計算．
3
解. D=n
(x, y) ; 15x52, 1
x 5y5xo
であるから
1 1
2
2 y=x
y= 1x
1
2 x
y
O I =
Z 2 1
✓Z x
1 x
x2y dy
◆ dx =
Z 2 1
x2h y2 2
ix y=x1 dx
= 12 Z 2
1
(x4 1)dx= 1 2
h x5
5 xi2 1 =· · ·
例題をxでの積分を先にしたらどうなるであろうか．D=D1[D2に注意．ただし D1 =n
(x, y) ; 1
2 5y51, 1
y 5x52o
, D2 =n
(x, y) ; 1 5y52, y 5x52o . ゆえに（こちらの方は計算の手間がかかる）
I = ZZ
D1
f(x, y)dxdy+ ZZ
D2
f(x, y)dxdy = Z 1
1 2
✓Z 2
1 y
x2y dx
◆ dy+
Z 2 1
✓Z 2 y
x2y dx
◆ dy
= Z 1
1 2
yh x3 3
i2
x=y1 dy+ Z 2
1
yh x3 3
i2
x=ydy= 1 3
Z 1
1 2
⇣8y 1 y2
⌘dy+ 1 3
Z 2 1
(8y y4)dy
= 13
h4y2+ 1 y
i1
1 2
+ 13
h4y2 y5 5
i2 1=· · ·
以上から，次の等式を得ている（どちらもIに等しい）．
Z 2 1
✓Z x
1 x
x2y dy
◆ dx=
Z 1
1 2
✓Z 2
1 y
x2y dx
◆ dy+
Z 2 1
✓Z 2 y
x2y dx
◆ dy
このようなことを，積分の順序交換という．上では計算の手間が積分の順序によっ て異なることがあるというのを見たが，さらに次のような例もある．
例題 8.3. I = Z 1
0
✓Z 1 y
e x2dx
◆
dyを計算せよ．（実はこのままでは計算できない．） 解. 与えられた累次積分は，
1 1
x y
O D:={(x, y) ; 0 5y 51, y 5x51}
とするときの重積分J = ZZ
D
e x2dxdyに等しい．ゆえに I =J =
Z 1 0
✓Z x 0
e x2dy
◆ dx=
Z 1 0
xe x2dx
= 1
2
he x2i1 0 = 1
2(1 e 1).
【宿題】(1) 原点，(⇡,⇡)，(⇡,0)を頂点とする三角形の内部または周上をDとする とき，
ZZ
D
sin(x y)dxdyを求めよ．
(2) 累次積分 Z 12
0
✓Z x x2
f(x, y)dy
◆
dxの積分領域を図示し，積分の順序を変更せよ．
4
