< 累次積分 2 >

「数学5」(2変数関数の微分積分)

−38−

<

^累次積分

f(x, y) > 0 のとき，曲面 z = f(x, y) と xy平面及び平面 x=a，x=b，y=c，y=d で囲まれた部分の体積 V は，前ページより

V = Z b

a

½Z d c

f(x, y)dy

¾ dx であった。一方，右図より

V = Z b

c

S(y)dy，S(y) = Z b

a

f(x, y)dx だから、

V = Z d

c

½Z b a

f(x, y)dx

¾ dy

である。よって Z b

a

½Z d c

f(x, y)dy

¾ dx=

Z d c

½Z b a

f(x, y)dx

¾ dy が成り立つ。これを累次積分の順序交換可能性という

例 ^{Z 3}

2

½Z 2 1

¡4−x+xy+y²¢ dx

¾ dy=

Z 3

2

½Z 2 1

¡4 +y²+ (y−1)x¢ dx

¾ dy

= Z 3

2

(∙¡

4 +y²¢

x+ (y−1)× 1 2x²

¸x=2 x=1

) dy

= Z 3

2

½µ¡

4 +y²¢

×2 + (y−1)×4 2

¶

− µ¡

4 +y²¢

+ (y−1)×1 2

¶¾ dy

= Z 3

2

½ y²+3

2y+ 5 2

¾ dy=

∙1 3y³+ 3

4y²+5 2y

¸y=3 y=2

= 151 12

問 次の累次積分を計算せよ。

Z 3

1

½Z 2 1

¡x²−xy+ 1¢ dx

¾ dy