8章 偏微分と重積分

８章 偏微分と重積分

8.1 偏微分とは

これまで微分を考える際、関数はy f(x)という形で、関数値が１つの変数x^に依存し

ている場合のみを扱ってきました。しかし一般に変数は１つとは決まっておらず 、

) , , ,

(x₁ x₂ x_n f

y  のように、複数の変数を持つ関数も考えなければなりません。そこで この節では今まで学んできた微分を一般化させ、複数の変数に対応した偏微分と呼ばれるも のについて説明します。これまでの微分を偏微分と区別したいとき、常微分という呼び方を 用います。

常微分は変数１つで、以下の書式で表わされていました。

) (x f

y ^⇒

dx dy

これに対して、変数が複数ある場合、どの変数で微分するかを明らかにする必要があり、ま た常微分と区別するために、微分のdを（ディーともラウンドとも読む）という記号に 変えて以下のように表わします。

) , , ,

(x₁ x₂ x_n f

y  ^⇒

xn

y x

y x

y











 , , ,

2 1

 それぞれの偏微分の意味は以下で定義されます。

h

x x x f x h x x f x

y _{i n i n}

i h

) , , , , ( ) , , , ,

lim ( ^{1 1}

0







  

 



 (8.1)

これは変数x_iだけを変化させており、他の変数は固定させたままですので、変数x_iについ ての変化率と考えられます。即ち、偏微分をする際には微分する以外の変数は常微分の定数 のような扱いで良いことになります。常微分と同様、上式が１つの値に定まるとき、関数

) , , ,

(x₁ x₂ x_n f

y  ^はx_iについて偏微分可能と言います。

偏微分の表記法としては、この他に

i

i x

x n i

i

f y x x x f x

y  



 



 ( ₁,, )

のようにも表わされます。偏微分は常微分と同様、関数の増減についての情報を与えてくれ ます。

それでは具体的に関数を偏微分してみましょう。

1) 1 2

2 2 2

2x1 x xx

y  

2 1 1

4x x x

y  



 ， _{2 1}

2

2x x x

y  





2) yx₁sinx₂

2 1

sinx x

y 



 ， _{1 2}

2

cosx x x

y 





3) ye^x12x22

2 2 2 1

1 1

2xe^{x x} x

y  



 ， ₂ ^{12 22}

2

2x e^{x x} x

y  





前に述べたように、例えば1) のx₁による偏微分y x₁を計算するには、x₂をある定数a^と

思って、yx₁²a²ax₁をx₁で普通に微分するのと同じで、

a dx x

dy  ₁

1

2 ⇒ _{1 2}

1

2x x x

y  





と考えます。他の例についても同じようにやってみて下さい。容易に理解できると思います。

8.2 高階の偏微分

常微分と同様に偏微分についても2階以上の微分が定義できます。以下の例について考え てみましょう。まず、1階の微分については、次のようになります。

2 2 1 3 2 3

1 2x x x

x

y  

2 1 2 1 1

2 3x xx x

y  



 ， ₂² ₁²

2

6x x x

y  





これをもう一度微分しますが、２つの変数でこれら２つの式を微分しますので、当然4種類 の2階微分が得られます。微分の書き方として、後から微分する変数を左側に書くことにな っています。

2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2

2 6 ) 2 3

( x xx x x

x x

y x x

y   



 







 





1 2 1 2 1 2 1

2 1 2

2

2 ) 2 3

( x xx x

x x

y x x x

y  



 



 











 







1 2 1 2 2 1 2

1 2 1

2

2 ) 6

( x x x

x x

y x x x

y  



 



 











 







2 2

1 2 2 2 2 2 2 2 2

12 ) 6

( x x x

x x

y x x

y  



 







 





ここで注意することは、2階微分した結果、

1 2

2

2 1

2

x x

y x

x y





 





 (8.2)

となっている点です。これは偏微分の順番を変えることができることを表わしています。こ れに関して一般に、「n回偏微分可能で、n階偏導関数が連続であれば、偏微分は交換可能で ある」ということが知られています。ここに偏導関数とは、偏微分された関数です。

経済・経営分野で扱う関数は、絶対値などを含む場合を除いて、ほとんどこの性質を満た していますので、偏微分の順番にはあまり気を使わなくてよいと思います。

問題

前節の例で扱った関数に対して、2階微分まで求めよ。

1) y2x₁²x₂²x₁x₂ 2) yx₁sinx₂

3) ye^x12x22 解答

1) _{1 2}

1

4x x x

y  



 ， _{2 1}

2

2x x x

y  





₂ 4

1

2 



 x

y ， 1

1 2

2

2 1

2 





 







x x

y x

x

y ， ₂ 2

2

2 



 x

y

2) ₂

1

sinx x

y 



 ， _{1 2}

2

cosx x x

y 





₂ 0

1

2 



 x

y ， ₂

1 2

2

2 1

2

cosx x

x y x

x

y 





 





 ， _{1 2}

2 2 2

sinx x x

y 





3) ₁ ^{12 22}

1

2xe^{x x} x

y  



 ， ₂ ^{12 22}

2

2x e^{x x} x

y  





₂ (2 4 ₁²) ^{12 22}

1 2

x

ex

x x

y   



 ， _{1 2} ^{12 22}

1 2

2

2 1

2

4xx e^{x x} x

x y x

x

y  





 





 ， ₂ (2 4 ₂²) ^{12 22}

2 2

x

ex

x x

y   





8.3 全微分

関数y f(x₁,x₂)の変化について考えてみましょう。今、座標(x₁,x₂)^{が微少な量だけ変}

化して(x₁dx₁,x₂dx₂)になったとします。そのときy^座標の値ydy^は、

) ,

(x₁ dx₁ x₂ dx₂ f

dy

y   

となるので、変化した量dyは以下のように書けます。

2 2

2 1 2

2 1 1

1

2 2 1 2

2 1 1

2 1 2

2 1 2

2 1 2

2 1 1

2 1 2

2 1 1

) , ( ) ,

( )

, ( ) ,

(

) , ( ) ,

( ) ,

( ) ,

(

) , ( ) ,

(

dx dx

x x f dx x x dx f

dx

dx x x f dx x dx x f

x x f dx x x f dx x x f dx x dx x f

x x f dx x dx x f dy



 







 

























微少変化量が限りなく0に近づくとき、上の式は偏微分可能ならば、以下のように書けるこ とが分かります。ここに第1項のx₂dx₂はx₂に限りなく近づくと考えます。

2 2

2 1 1

1 2

1, ) ( , )

( dx

x x x dx f

x x x dy f







 (8.3a)

このdyのことを関数y f(x₁,x₂)の全微分といいます。

これを拡張して、一般のn^変数関数y f(x₁,x₂,,x_n)の全微分は以下のように表され ることが分かります。

n n

x dx dx y

x dx y x dy y



 

 

 



  ₂ 

2 1 1

(8.3b)

全微分はdx_i 0の極限で成り立つ式で、近似式としてもよく利用されますが、実際に変 化量dx_iが小さくても有限な場合には、さらに近似の精度を上げる必要も生じます。その際

にはTaylor展開に相当する式を利用します。ここに 2次の微少量まで求めた式を書いてお

きます。







 











 



n

i n

j

j i j i n

i

i i

dx x dx x dx y

x dy y

1 1

2

1 2

1

例えば、yx₁²x₂³の場合、上の式は以下のようになります。

   (2 26 6 ) 2

) 1 3

2

( x₁x₂³dx₁ x₁²x₂²dx₂ x₂³dx₁² x₁x₂²dx₁dx₂ x₁²x₂dx₂² dy

問題

以下の関数を全微分せよ。

1) ysinx₁x₂ 2) ye^x1sinkx₂ 3) z x²3y² 4) ye^{x12x22x32} 解答

1) dyx₂cosx₁x₂dx₁x₁cosx₁x₂dx₂cosx₁x₂(x₂dx₁x₁dx₂)

2) dye^x1sinkx₂dx₁ke^x1coskx₂dx₂e^x1(sinkx₂dx₁kcoskx₂dx₂)

3) 2 2

3 3

y x

ydy dz xdx



 

4) dy2e^{x12x22x32}(x₁dx₁x₂dx₂ x₃dx₃)

8.4 関数の極値

５章で微分を用いて1変数関数の極値を求めましたが、ここではこれを多変数関数に拡張 してみましょう。特に2変数の場合は図に描けて分り易いのでしっかり学んでおきましょう。

1変数関数y f(x)^の場合、dy dx0^としてxの値を求め、その点でさらに2階微分して

2 2y dx

d の符号で極大か極小かを簡単に求めることができました。しかし、2 変数以上の 場合には厄介な状況が生じます。

2変数関数y f(x₁,x₂)の場合、常微分を偏微分に置き換えて、

0

1

 

 x

y ， 0

2

 

 x

y

とすることは容易に予想できます。しかし、2階微分をとると、3種類の2階微分が現れま す。

2 1 2

x y



 ，

2 2 2

x y



 ，

2 1

2

x x

y







これの正負によって関数の増減はどう決まるのでしょうか。

そもそも 2 変数以上の場合、関数の極値は極大と極小だけでは表現できません。x₁^方向

で見ると極小でも、x₂方向は極大であったり、またその逆も現れます。図 8-1 を見て下さ い。

鞍点

y x

z

図8-1 鞍点

このような極値は関数の形が馬の鞍に似ているため鞍点と呼ばれています。これは^あんてん 1変数関 数では決して現れることのなかった状況です。また、例え²y x₁² 0^，²y x₂²0^であ

っても、単純に極小値であると考えるのは早計過ぎます。以下でその判定の方法を見てみま しょう。

例として、yx₁²x₂²x₁x₂3x₂の極値を求めてみます。

偏微分すると、

0 2 _{1 2}

1





 

 x x

x

y ， 2 _{2 1} 3 0

2







 

 x x

x y

となり、この方程式より、以下の解を得ます。

2 , 1 ₂

1 x 

x ^のときy3

ここで与えられた座標点(x₁,x₂)を停留点と言います。

これで極値が分りましたので、極大・極小・鞍点を判定してみます。2階微分して、

2 2

1

2 



 x

y ， ₂ 2

2

2 



 x

y ， 1

1 2

2

2 1

2 





 







x x

y x

x y

より、この微分からヘッセ行列と呼ばれる行列を求めます。ヘッセ行列A^{は以下のように} 関数の2階微分を成分とした行列です。

j i

ij x x

a y





 ^{2 ，} A(a_ij)

この例の場合、ヘッセ行列は以下のようになります。



 







 























 

2 1

1 2

2 2 2 1 2 2

2 1 2 2 1 2

x y x

x y

x x y x

A y

この場合ヘッセ行列の成分はすべて定数ですが、一般には座標の関数です。

この行列Aを用いて極値の種類を判定する方法はいくつかありますが、ここではそのう ちの1つを紹介します。それは停留点におけるヘッセ行列の固有値を求め、その符号で判定 するという方法です。ここではヘッセ行列の成分が定数ですのでそのまま計算します。

0 ) 1 )(

3 ( 3 4 1

) 2 2 (

1 1

2 _{2 2}



















 

 t t t t t

t t

これから固有値はt3,1であると分かりますが、固有値がすべて正ですので、これは極小 値であると判定します。これ以外に固有値がすべて負の場合は極大、正と負の場合は鞍点と なります。

一般に、n^変数関数y f(x₁,x₂,,x_n) f(x)について以下の定理が成り立ちます。

定理 x0

x ^{において、} 0



 xi

y であり、ヘッセ行列が正（負）値定符号ならば、f(x)^はxx₀

で極小（大）である。

ここに、変数はx(x₁,x₂,,x_n)として模式的に行列で表現しています。また、正（負）

値定符号とは、^txAx^がxの値によらず常に正（負）であることを言います。この正（負）

値定符号性については、以下のような関係を利用して調べます。

定理

対称行列A(nn)が正（負）値定符号

⇔ 対称行列Aの固有値がすべて正（負）

⇔ 0, 0, 0, , 0

33 32 31

23 22 21

13 12 11

22 21

12 11

11     A 

a a a

a a a

a a a a

a a

a a （正値定符号）

0, 0, 0, ,( 1) 0

33 32 31

23 22 21

13 12 11

22 21

12 11

11     ⁿ A 

a a a

a a a

a a a a

a a

a a  （負値定符号）

我々が調べたのは最初の判定方法ですが、一般に3変数以上の場合は高次の方程式の解を求 めることになりますので、コンピュータがない場合、行列式の値を求める２番目の方法が有 効だと思います。また、ここに表わされた行列式を主行列式または主座行列式と呼びます。

問題

以下の関数の極値を求めよ。

1) yx₁²x₂²4x₁x₂6x₁

2) yx₁³3x₁²3x₂²6x₁x₂36x₁100

3) ue^{x2y2z2}

解答

1) 2 ₁ 4 ₂ 6 0

1







 

 x x

x

y ， 2 ₂ 4 ₁ 0

2





 

 x x

x

y より、極値は

2 , 1 ₂

1 x 

x ^のとき、y3

₂ 2

1

2 



 x

y ， ₂ 2

2

2 



 x

y ， 4

1 2

2

2 1

2 





 







x x

y x

x

y より、 



 



 2 4

4 A 2

4 12 ( 6)( 2) 0 2

4 4

2 ₂













 

 t t t t

t t

t6,2より、極値は鞍点である。

2) 3 ₁² 6 ₁ 6 ₂ 36 3( ₁² 2 ₁ 2 ₂ 12) 0

1

















 

 x x x x x x

x y

6 ₂ 6 ₁ 6( _{2 1}) 0

2









 

 x x x x

x

y より、極値は

x₁6,x₂6 ^のとき、y113 x₁2,x₂2 ^のとき、y140 ₂ 6 ₁ 6

1

2  



 x

x

y ， ₂ 6

2

2 



 x

y ， 6

1 2

2

2 1

2 





 







x x

y x

x

y より、

x₁x₂ 6 ^のとき、 



 







 

6 6

6 A 30

0 144 6 36

6

6

30 ₂







 





 t t

t t

0 180

18 



t より、極小値である。

x₁x₂ 2 ^のとき、 



 









 

6 6

6 A 18

0 144 6 12

6

6

18 ₂







 







 t t

t t

180 6





t より、鞍点である。

3) 2 ^{12 22 33} 0



 _x_x_x i

i

e x x

y より、極値は、

x₁x₂x₃0^のとき、y1 ₂ ( 2 4 ²) ^{12 22 32}

2

x x x i i

e x x

y _{  }





 

 ， 4 ^{12 22 32}

2

x x x j i j i

e x x x

x

y  _{  }





 (i j) より、

x₁x₂x₃0^のとき、 ₂ 2

2 



 xi

y ， 0

2 







j i x x

y (i j)

























2 0 0

0 2 0

0 0 2

A より、固有値はすべて2となり、極大値である。

8.5 重積分とは

これまでは多変数関数についての微分を見てきましたが、ここからは多変数関数について の定積分を学ぶことにします。多変数関数に関する積分を重積分と呼び、複数の積分記号を 重ねて表示します。以下は重積分の表現の例です。

 

 ^d

c b

a f x y dxdy

V ( , )

積分は被積分関数を積分記号と変数の微小量とで挟むようにしますので、上の場合積分範 囲（積分領域ともいう）はx^についてa^からb、yについてc^からdです。またこの場合、

積分の順序は最初にxについて行い被積分関数をyだけの関数にし、後にyについて行い ます。この場合、x^{の積分範囲が}yの関数であっても構いません。この積分は、図8-2のよ うに関数が表わす曲面とxy平面との間の体積を表わしています。

a b

d c

z

y

x

図8-1 重積分の積分領域と体積

8.6 重積分の計算

それでは実際の計算をやってみましょう。

 

^

 ¹

0 2

0(x y)dxdy V

変数の順序から、まずy^{を定数と思って}xで積分します。この部分について、外側の積分 記号を１つ外して書いてみます。結果は当然y^{の関数になります。}

y xy

x dx y

x ) [ ] 2 2

( ₂^{1 2 2}₀

2

0     



その後、y^{で積分します。}

3 ] 2

[ ) 2 2

( ^{2 1}₀

1

0    





^{y dy y y}

V

計算は2段階に分けて行いましたが、表記上は連続して以下のように書きます。

3 ] 2

[ ) 2 2 ( ]

[ )

( ^{1 2 1}₀

0 1

0

2 0 2 2 1 1

0 2

0  



 



   

 

^{x y dxdy x xy dy y dy y y}

次の例は、x^{の積分領域が}yに依存している（関数になっている）場合です。

 

^

 ¹

0 0^y(x y)dxdy V

この積分領域はxy^{平面で見ると、図}8-2 の灰色部分の ような範囲になります。例えばyaのときx^は0から

aまでの積分になることから分かると思います。この場 合にも最初はyを定数とみなして計算しますので、最 初の例と何ら異なるところはありません。

2 2 2 0

2 2 1

0 2

3 2

] 1 [

)

(x y dx x xy ^y y y y

y      



これによって以下の結果を得ます。

2 ] 1 2 [

3 1

0 3 2 1 1

0

2  





^{y dy y}

V

連続して書くと以下のようになります。

2 ] 1 2[ 1 2

3

) (

] [

) (

1 0 1 3

0 2

1 0

2 2 2 1 1

0 0

2 2 1 1

0 0























 

y dy y

dy y y dy

xy x dy

dx y

x ^y

y

次は計算しやすい特殊な例で、変数分離形と呼ばれている関数の積分です。一般に、被積 分関数がx^の関数とyの関数の掛け算で、領域がお互いに依存しないとき、積分は２つの 積分の積として計算されます。





 

^{ } c^d

b a c

b b

a f(x)g(y)dxdy f(x)dx g(y)dy (8.4)

これはxについての積分結果が定数となり、yについての積分の際には関数の前に掛かっ た定数と同じ扱いになることから明らかです。一般に変数分離形の場合、もっと多くの変数 でも積分の積として計算できることは言うまでもありません。

問題

以下の積分を計算せよ。

1)

 

0^{1 } 1

0(x y)dxdy 2)

 

0 0^{1 y}(x^y)dxdy

3)

 

0^b 0^axydxdy 4)

 

0^{ }0 e^xydxdy

1

1 x

y

0 a

a

図8-2 積分領域

5)

 

1^e 0^y_x2_y2 ^dxdy

1

解答

1)

 

^{ }



^{ }



0^{1 }

1 0

1 0 1 2

0 1

0(x y)dxdy [x 2 xy] dy (12 y)dy

1 ] 2 2

[  ^{2 1}₀ 

 y y

2)

 

^{ }



^{ }



0^{1   }

2 1 2

0

1 1 2

0

1(x y)dxdy [x 2 xy]_ydy (12 y y 2 y )dy

y

2 1 ] 2 2

2

[  ²  ^{3 1}₀ 

 y y y

3) ^{2 2}

2 2 0

0

0 0 4

1 2

2 b a b

ydy a xdx

dy

xydx ^{a b}

b a











 

 

4) 1² 1

0 0

0 0 







 

 

^{ exydxdy  e xdx  e ydy}

5)

 

^{e y}_{x  y} ^dxdy

 

1^e _y^y _ ^{d dy}

4

0 2 2

2

1 0 2 2

) tan 1 (

cos 1

1 ^ 





] 4 4[log 1

4 ¹

1





 _{ }





^e _y^{dy e y e}

8.7 積分の変数変換

通常の積分をする場合、変数変換が役に立ちましたので、これを重積分の場合に拡張して みましょう。ここでは最もよく利用される積分



^

 e dx

I ^x2

を用いて、変数変換について説明しましょう。

上の積分はそのまま初等関数を用いて積分することができません。これを実行するために はちょっとしたトリックが必要です。まず、I の代わりにI^{2を計算します。}

 





^









 





 





  

 e dx e dy e dxdy

I^{2 x2 y2 x2 y2}

ここでは変数分離形の性質を利用しています。これより今後以下の計算を考えることにしま す。

 

^









 dxdy e ^{x2 y2}

この積分の積分領域はxy平面全体で、このままの形では簡単に積分できません。そこでこ れを極座標と呼ばれる座標(r,)に変換します。これまでの座標(x,y)は軸が互いに直交し ており、直交座標と呼ばれています。

r y

θ

(x, y)

x 図8-3 直交座標と極座標

図8-3より、直交座標(x,y)から極座標(r,)への変換は以下のようになります。



 sin cos r y

r x





この関係から、x²y² r²の関係も成り立ちます。座標変換によって積分の微小面積dxdy

は以下のように変換されることが知られています。

 ^drd r

y dxdy x

) , (

) , (



  (8.5)

上式の行列式のような記号はヤコビアン（Jacobian）と呼ばれており、次のように定義され ます。























 















 













 y r y

x r x y

x

r y r x r

y x

) , (

) ,

( (8.6)

この極座標変換の場合、ヤコビアンは以下のようになります。

r r

r r

r r

y x

r y r x r

y x

















 















 





) sin (cos

sin ) sin ( cos cos

cos sin

sin cos

) , (

) , (

2

2 























また変数変換によって、積分する領域の表示形式も変わります。この場合、2次元平面全体 ですから、これを極座標で表現するには以下のようになります。



















 y

x ⇔



 2 0

0









r

これで準備は終りましたので、実際に計算してみます。極座標に直すと積分は以下のように 簡単に計算できるようになります。









 ^

























 

 

















   

 

2 2 1 2 ]

[ 1

2 ₀

2 0 0

0 2 0

2

2 2

2 2

r

r r

y x

e

d rdr e dr rd e dy

dx e

以上のことから、I² の結果を得ましたので、以下の答えが求まりました。









^

 dx e

I ^x2

この積分は非常に有名で、統計学等でもこれを応用した計算が多く現れます。

一般にn重積分に対しては以下の変換をすればよいことが知られています。

n n

n V n

n V n

du du u du u

u

x x u x

u u g

dx dx dx x x x f

u x

 

 









2 1 2

1 2 1 2

1

2 1 2

1

) , , , (

) , , , ) ( , , (

) , , , (



 













(8.7)

ここに、被積分関数は座標変換によって形が変わり、積分領域も変更されます。

) , , , ( )

, , ,

( _{1 2 ( , , , ) 1 2}

2

1u u n

u x

n x g u u u

x x x f

n i

i 

 __

Vx：x^{で表した積分領域，} V_u：u^{で表した積分領域}

ヤコビアンはn行n列の行列式になっています。

n n n

n

n n

n n

u x u

x u

x

u x u

x u

x

u x u

x u x

u u u

x x x























 











 





















2 1

2 2

2 2 1

1 1

2 1 1

2 1

2 1

) , , , (

) , , ,

( (8.8)