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9 ２重積分と累次積分 演習問題解答例
教科書問題8.2、（１）〜（４）２通りの積分順序で計算する事。
（１）この領域Dは長方形であり、縦切りにしても横切りにしても全く同じ連立不等 式で表現されます。従って積分順序の変更は単純に入れ替えるだけで済みます。
ZZ
D
xy dxdy= Z 3
1
Z 1 0
xy dxdy
= Z 3
1
∑1 2x2y
∏1 0
dy
= Z 3
1
1 2y dy
=
∑1 4y2
∏3
1
= 2
ZZ
D
xy dxdy= Z 1
0
Z 3 1
xy dydx
= Z 1
0
∑1 2xy2
∏3 1
dx
= Z 1
0
4x dx
=£ 2x2§1
0
= 2
（２）積分領域を図示すると下図の通りです：
まず縦切りにして不等式で表現すると（上図中央）
0≤y≤ −x+ 1 0≤x≤1
ですから、累次積分に変形すると ZZ
D
(1−x−y)dxdy= Z 1
0
Z −x+1 0
(1−x−y)dydx
= Z 1
0
∑
(1−x)y−1 2y2
∏−x+1 0
dx
= Z 1
0
1
2(1−x)2dx
=
∑1
6(x−1)3
∏1
0
= 1 6 です。
また横切りにして（上図右）不等式で表現すると
0≤x≤ −y+ 1 0≤y≤1
ですからやはり累次積分に変形すれば ZZ
D
(1−x−y)dxdy = Z 1
0
Z −y+1 0
(1−x−y)dxdy
= Z 1
0
∑
(1−y)x−1 2x2
∏−y+1 0
dy
= Z 1
0
1
2(1−y)2dy
=1 6 となって同じ値になります。
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（３）積分領域を図示すると下図の通りです：
まず横切りにして（上図中央）領域を不等式表現して累次積分します。
D:
0≤x≤p 4−y2 0≤y≤2
ZZ
D
xy dxdy= Z 2
0
Z √
4−y2 0
xy dxdy
= Z 2
0
∑1 2x2y
∏√
4−y2 0
dy
= Z 2
0
1
2(4−y2)y dy
=
∑ y2−1
8y4
∏2
0
= 2
また、縦切りにして（上図右）同様にすれば同じ値になります。
D:
0≤y≤√ 4−x2 0≤x≤2
ZZ
D
xy dxdy= Z 2
0
Z √4−x2 0
xy dydx
= Z 2
0
∑1 2xy2
∏√4−x2 0
dx
= Z 2
0
1
2x(4−x2)dx
= 2
（４）積分領域を図示すると下図の通りです：
まず横切りにして（上図中央）領域を不等式表現して累次積分します。
D:
0≤x≤y 0≤y≤1 ZZ
D
ex−ydxdy= Z 1
0
Z y 0
ex−ydxdy
= Z 1
0
£ex−y§y 0dy
= Z 1
0
(1−e−y)dy
=£
y+ e−y§1 0
= e−1 同様に縦切り（上図右）にして累次積分します。
D:
x≤y≤1 0≤x≤1 ZZ
D
ex−ydxdy= Z 1
0
Z 1 x
ex−ydydx
= Z 1
0
£−ex−y§1 xdx
= Z 1
0
(1−ex−1)dx
=£
x−ex−1§1 0
= e−1
