「数学5」(2変数関数の微分積分)
−37−
<
累次積分
1 >2
変数関数
f(x, y)が
a5x5b
，
c5y 5dの範囲で正
(プラス)であるとき，曲面
z = f(x, y)と
xy平面，および平面
x = a，x = b，y = c
，
y = dで囲まれた部分の体積を
Vとす る。図
2より
V = Z b
a
S(x)dx，S(x) = Z d
c
f(x, y)dy
だから
V = Z b
a
½Z d c
f(x, y)dy
¾ dx
(図1)
(図2)
となる。この種の積分を
るい
累
じ
次 積分または
ちく
逐
じ
次 積分という。
この積分を計算するには，まず
xを定数と思って
yに関する定積分を 計算して，x の関数
S(x)が得られたら，この関数を
xで積分すればよい。
例
Z 21
½Z 3 2
(4−x+xy+y2)dy
¾ dx
= Z 2
1
(∙
(4−x)y+1
2xy2+1 3y3
¸y=3 y=2
) dx
= Z 2
1
½µ
(4−x)×3 +9 2x+27
3
¶
− µ
(4−x)×2 +4 2x+8
3
¶¾ dx
= Z 2
1
½31 3 + 3
2x
¾ dx=
∙31 3 x+3
4x2
¸x=2 x=1
= 151 12
問 次の累次積分を計算せよ。
Z 2
1
½Z 3 1
¡x2−xy+ 1¢ dy
¾ dx
