微分積分学
2 No.9 2005.12.21
4. 二変数関数の積分 4.1 重積分と累次積分（解答）
担当：市原問題
17
次の積分を計算しなさい. (1)
∫
10
{∫
21
(x
2+ xy + 5y
2) dx }
dy
∫
10
{∫
2 1(x
2+ xy + 5y
2) dx }
dy =
∫
10
{[ x
33 + x
2y
2 + 5xy
2]
x=2x=1
} dy
=
∫
10
( 8 3 + 3y
2 + 5y
2)
dy = [ 8y
3 + 3y
24 + 5y
33 ]
y=1y=0
= 19 4 (2)
∫
10
{∫
y1
(x
2+ xy + 5y
2) dx }
dy
∫
10
{∫
y1
(x
2+ xy + 5y
2) dx }
dy =
∫
10
{[ x
33 + x
2y
2 + 5xy
2]
x=yx=1
} dy
=
∫
10
( 35y
36 − 5y
2− y 2 − 1
3 )
dy = [ 35y
424 − 5y
33 − y
24 − y 3
]
y=1 y=0= − 19 24
問題
18 D = { (x, y) | 0 5 x 5 1, 2 5 y 5 3 }
として,
次の重積分を計算しなさい. (1)
∫∫
D
xy
2dxdy
∫∫
D
xy
2dxdy =
∫
32
∫
10
xy
2dx dy =
∫
32
[ x
2y
22
]
x=1 x=0dy
=
∫
32
y
22 dy =
[ y
36
]
3 2= 19 6 (2)
∫∫
D
y
1 + xy dxdy
∫∫
D
y
1 + xy dxdy =
∫
32
∫
10
y
1 + xy dx dy
=
∫
32
[ log | 1 + xy | ]
x=1x=0dy =
∫
32
log | 1 + y | dy
ここで, t = 1 + y
とおくと, t
0= 1
となり,
また
, y
が2
から3
まで変化するとき, t
は3
から4
まで変化する.
よって,
=
∫
43
log | t | dt = [ t log | t | ]
43−
∫
43
