１
.次の累次積分を計算して下さい。
（１）
Z 1
−1
Z 1
0
xy2dxdy
（２）
Z 1
0
Z y 0
√2xy
x2+ 1dxdy
配点： （１）
20点、（２）
15点 シラバス達成度目標：ア、エ 解答例（１）
Z 1
−1
Z 1
0
xy2dxdy= Z 1
−1
∑1 2x2y2
∏1
0
dy
= Z 1
−1
1 2y2dy
=
∑1 6y3
∏1
−1
= 1 3
解答例（２）
Z 1
0
Z y 0
√2xy
x2+ 1dxdy
= Z 1
0
h2yp
x2+ 1iy 0dy
= Z 1
0
(2yp
y2+ 1−2y)dy
=
∑2
3(y2+ 1)32 −y2
∏1
0
=2
3232 −1−2 3
=4√ 2−5
3
単純な書き間違い等のミスは、
１回で−３点、
複数回で−６点。
計算ミスは １回で−４点、
複数回で−８点などとする。
この変形が出来て６点、
１回目の積分が完了していれ ば８点。
単純な書き間違い等のミスは、
１回で−２点、
複数回で−４点。
計算ミスは １回で−３点、
複数回で−５点などとする。
２
.次の２重積分を計算して下さい。
（１）
Z Z
D1
cos(x+y)dxdy, D1 :
0≤x≤π 0≤y≤π
（２）
Z Z
D2
(x2+y)dxdy
配点： （１）
10点、（２）
15点 シラバス達成度目標：ア 解答例（１）
Z Z
D1
cos(x+y)dxdy= Z π
0
Z π
0
cos(x+y)dxdy
= Z π
0
[sin(x+y)]π0dy
= Z π
0 {sin(y+π)−siny}dy
= [−cos(y+π) + cosy]π0
=−cos 2π+ cosπ−(−cosπ+ cos 0)
=−4
解答例（２） 領域
D2は、連立不等式：
0≤y≤ −x+ 1 0≤x≤1
で表されるので、題意の２重積分は累次積分に直して計算でき、
Z Z
D2
(x2+y)dxdy= Z 1
0
Z −x+1 0
(x2+y)dydx
= Z 1
0
∑
x2y+1 2y2
∏−x+1 0
dx
= Z 1
0
Ω
x2(1−x) +1
2(1−x)2 æ
dx
= Z 1
0
µ
−x3+ 3
2x2−x+1 2
∂ dx
=
∑
−1 4x4+1
2x3−1 2x2+1
2x
∏1
0
= 1 4
を得る。
単純な書き間違いや計算ミスは、
１回で−２点、
複数回で−４点。
積分の算ミスは １回で−３点、
複数回で−５点などとする。
単純な書き間違い等のミスは、
１回で−２点、
複数回で−４点。
計算ミスは １回で−３点、
複数回で−５点などとする。
積分範囲のミスは−５点。
惜しいものは−４点。
３
.次の累次積分を、積分順序を交換してから計算して下さい。
Z 4
0
Z 2
√y
x2y dxdy
配点：
10点 シラバス達成度目標：ア
解答例 積分領域を
Dとすると、これは下図の様な領域である：
これは連立不等式：
0≤y≤x2 0≤x≤2
で表す事が出来るので、これを元に累次積分に直すと
Z 40
Z 2
√y
x2y dxdy= Z Z
D
x2y dxdy
= Z 2
0
Z x2 0
x2y dydx
であるからこれを計算すれば
= Z 2
0
∑1 2x2y2
∏x2 0
dx
= Z 2
0
1 2x6dx
=
∑ 1 14x7
∏2
0
= 27 14
= 64 7
が分かる。
領域を勘違いしている 場合は−４点。
領域は合っているが、
不等式を間違えたものは計算 ミスとして−３点。
単純な書き間違い等のミスは、
１回で−２点、
複数回で−４点。
計算ミスは １回で−３点、
複数回で−５点などとする。
交換せずに計算したものは最高で６点としてミス を減点してゆく。
また、単にxとyの範囲を入れ替えただけのものは ５点とする。
４
.次の２重積分を、極座標に変換して計算して下さい。
Z Z
D3
x dxdy
配点：
15点 シラバス達成度目標：ウ
解答例
x=rcosθ, y=rsinθと置けば、領域
D3は、
0≤r≤1
−π4 ≤θ≤ 3π4
と表され、また被積分関数は
rcosθとなり、変数変換のヤコビアンは
rとなる ので、題意の積分は
Z Z
D3
x dxdy= Z 3π4
−π4
Z 1
0
(rcosθ)r drdθ
と変換される。これを計算すれば
= Z 3π4
−π4
∑1
3r3cosθ
∏1
0
dθ
= Z 3π4
−π4
1
3cosθ dθ
=
∑1 3sinθ
∏3π4
−π4
=
√2 3
を得る。
ここのミスは−４点。
積分領域をいくつかに区切り、
誤って全体は一部の何倍かであ るなどとして計算したものは
−５点。
単純な書き間違い等のミスは、
１回で−２点、
複数回で−４点。
計算ミスは １回で−３点、
複数回で−５点などとする。
極座標に変換していないものは最高８点として 本来より若干少なめに減点してゆく。計算ミス
は複数回あれば−４点とする。
５
.回転放物面
z= 1−x2−y2と
xy-平面で囲まれた立体の体積を求めて 下さい。
配点：
15点 シラバス達成度目標：イ、ウ
解答例 この回転放物面と
xy-平面との交わりは円：
x2+y2 = 1であるが、
この円上では常に放物面が上（
z軸正の向き）にあるため、求める体積
Vは
V = Z Z
x2+y2≤1
(1−x2−y2)dxdy
となるが、ここで極座標に変換して計算すれば
= Z 2π
0
Z 1
0
(1−r2)r drdθ
= 2π
∑1 2r2−1
4r4
∏1
0
= π 2
である事が分かる。
積分領域を間違えたものは−５点。
ここがきっちり書けていれば８点を目処 とする。
単純な書き間違い等のミスは、
１回で−２点、
複数回で−３点。
計算ミスは １回で−３点、
複数回で−５点などとする。
例えば１／４だけ計算しておいて後で４倍す るつもりが忘れてしまった様なケースは計算
ミスとして処理する。
